人教A版数学必修二教案:§4.2.1直线与圆的位置关系(2).pdf
《人教A版数学必修二教案:§4.2.1直线与圆的位置关系(2).pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教A版数学必修二教案:§4.2.1直线与圆的位置关系(2).pdf(9页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、第 2 课时 (一)导入新课 思路 1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船 正西 70 km 处,受影响的范围是半径长为30 km 的圆形区域 .已知港口位于台风中心正北40 km 处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? 图 2 分析: 如图 2,以台风中心为原点O,以东西方向为x 轴,建立直角坐标系,其中 ,取 10 km 为 单位长度 . 则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O 的圆的方程为x 2+y2=9; 轮船航线所在的直线l 的方程为4x+7y-28=0. 问题归结为圆心为O 的圆与直线l 有无公共点 .因此我们继续研究直线与圆的位
2、置关系. (二)推进新课、新知探究、提出问题 过圆上一点可作几条切线?如何求出切线方程? 过圆外一点可作几条切线?如何求出切线方程? 过圆内一点可作几条切线? 你能概括出求圆切线方程的步骤是什么吗? 如何求直线与圆的交点? 如何求直线与圆的相交弦的长? 讨论结果:过圆上一点可作一条切线,过圆x 2+y2=r2 上一点 (x0,y0)的切线方程是 x0x+y0y=r 2; 过圆 (x-a) 2+(y-b)2=r2 上一点 (x0,y0)的切线方程是 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r 2. 过圆外一点可作两条切线,求出切线方程有代数法和几何法.代数法的关键是把直线与 圆相切这个几
3、何问题转化为联立它们的方程组只有一个解的代数问题.可通过一元二次方程 有一个实根的充要条件 =0去求出 k 的值 ,从而求出切线的方程.用几何方法去求解,要充 分利用直线与圆相切的几何性质,圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出 k 的值 . 过圆内一点不能作圆的切线. 求圆切线方程,一般有三种方法,一是设切点 ,利用中的切线公式法;二是设切线的斜 率,用判别式法 ;三是设切线的斜率,用图形的几何性质来解,即圆心到切线的距离等于圆的半 径(d=r), 求出 k 的值 . 把直线与圆的方程联立得方程组,方程组的解即是交点的坐标. 把直线与圆的方程联立得交点的坐标,结合两点的距离公式来求;再
4、就是利用弦心距、 弦长、半径之间的关系来求. (三)应用示例 思路 1 例 1 过点 P(-2,0)向圆 x2+y 2=1 引切线 ,求切线的方程 . 图 3 解 : 如 图3,方 法 一 : 设 所 求 切 线 的 斜 率 为k, 则 切 线 方 程 为y=k(x+2), 因 此 由 方 程 组 , 1 ),2( 22 yx xky 得 x2+k 2(x+2)2=1. 上述一元二次方程有一个实根, =16k 4-4(k2+1)(4k2-1)=12k2-4=0,k= 3 3 , 所以所求切线的方程为y= 3 3 (x+2). 方法二 :设所求切线的斜率为k,则切线方程为y=k(x+2), 由于
5、圆心到切线的距离等于圆的 半径 (d=r),所以 d= 2 1 |2| k k =1,解得 k= 3 3 . 所以所求切线的方程为y= 3 3 (x+2). 方法三:利用过圆上一点的切线的结论.可假设切点为(x0,y0),此时可求得切线方程为 x0x+y0y=1. 然后利用点 (-2,0)在切线上得到-2x0=1,从中解得 x0=- 2 1 . 再由点 (x0,y0)在圆上 ,所以满足 x0 2+y 0 2 =1,既 4 1 +y0 2=1,解出 y 0= 2 3 . 这样就可求得切线的方程为 2 2 1 0 2 3 2 0 x y , 整理得 y= 3 3 (x+2). 点评 :过圆外一点向
6、圆可作两条切线;可用三种方法求出切线方程,其中以几何法“d=r” 比较好 (简便 ). 变式训练 已知直线 l 的斜率为k,且与圆 x 2 +y 2=r2 只有一个公共点,求直线 l 的方程 . 活动: 学生思考 ,观察题目的特点,见题想法 ,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提 示,直线与圆只有一个公共点,说明直线与圆相切.可利用圆的几何性质求解. 图 4 解:如图 4,方法一 :设所求的直线方程为y=kx+b, 由圆心到直线的距离等于圆的半径,得 d= 2 1 | k b =r,b= r 2 1k,求得切线方程是y=kx r 2 1k. 方法二 :设所求的直线方程为y=kx+b, 直线
7、 l 与圆 x 2+y2=r2 只有一个公共点,所以它们组成 的方程组只有一组实数解,由 222 , ryx bkxy ,得 x 2+k2(x+b)2=1,即 x2(k2+1)+2k2bx+b2=1, =0 得 b= r 2 1k,求得切线方程是y=kx r 2 1k. 例 2 已知圆的方程为x2+y 2+ax+2y+a2=0,一定点为 A(1,2), 要使过定点 A(1,2) 作圆的切线有两 条,求 a 的取值范围 . 活动: 学生讨论 ,教师指导 ,教师提问 ,学生回答 ,教师对学生解题中出现的问题及时处理, 利用几何方法 ,点 A(1,2) 在圆外 ,即到圆心的距离大于圆的半径. 解 :
8、将圆的方程配方得(x+ 2 a ) 2+(y+1)2 = 4 34 2 a ,圆心C 的坐标为( 2 a , 1),半径 r= 4 34 2 a , 条件是 43a20,过点 A(1,2) 所作圆的切线有两条,则点 A 必在圆外 , 即 22 ) 12() 2 1 ( a 4 34 2 a . 化简 ,得 a 2 +a+90,由 ,034 ,09 2 2 a aa 解得 3 32 a 3 32 ,aR. 所以 3 32 a 3 32 . 故 a 的取值范围是 ( 3 32 , 3 32 ). 点评 :过圆外一点可作圆的两条切线,反之经过一点可作圆的两条切线,则该点在圆外.同 时注意圆的一般方程
9、的条件. 思路 2 例 1 已知过点M(-3,-3) 的直线 l 被圆 x 2+y2+4y-21=0 所截得的弦长为 45,求直线 l 的方程 . 活动: 学生思考或讨论,教师引导学生考虑问题的思路,求直线l 的方程 ,一般设点斜式, 再求斜率 .这里知道弦长,半径也知道 ,所以弦心距可求,如果设出直线的方程,由点到直线的距 离等于弦心距求出斜率;另外也可利用弦长公式,结合一元二次方程根与系数的关系求解. 解法一: 将圆的方程写成标准形式有x 2+(y+2)2=25,所以圆心为 (0,-2),半径为 5.因为直线 l 被圆 x 2+y2+4y-21=0 所截得的弦长为 45,所以弦心距为 22
10、 )52(5=5,圆心到直线 的距离为5,由于直线过点M(-3,-3), 所以可设直线l 的方程为y+3=k(x+3), 即 kx-y+3k-3=0. 根据点到直线的距离公式,圆心到直线的距离为5,因此d= 1 |332| 2 k k =5,两边平 方整理得2k2-3k-2=0,解得 k= 2 1 ,k=2. 所以所求的直线l 的方程为 y+3= 2 1 (x+3) 或 y+3=2(x+3), 即 x+2y+9=0 或 2x-y+3=0. 解法二: 设直线 l 和已知圆 x 2+y2+4y-21=0 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的斜率为k, 由于直线过点M(-3,-
11、3), 所以可设直线l 的方程为y+3=k(x+3), 即 y=kx+3k-3. 代入圆的方程 x 2+y2+4y-21=0, 并整理得 (1+k2)x2+2k(3k-1)x+(3k-1)2-25=0.结合一元二次方程根与系数的关系 有 x1+x2= 2 1 ) 13(2 k kk ,x1 x2= 2 2 1 25)13( k k . |AB|= 2 21 22 21 22 21 2 21 2 21 )(1()()()()(xxkxxkxxyyxx 4)(1 ( 21 2 21 2 xxxxk 因为|AB|=45,所以有(1+k 2) (x1+x2) 2-4x 1 x2 =80. 把 式 代
12、入 式 ,得 (1+k 2) 2 1 )13(2 k kk 2-4 2 2 1 25)13( k k =80. 经 过 整 理 ,得 2k 2 -3k-2=0, 解得k= 2 1 ,k=2. 所以所求的直线l 的方程为y+3= 2 1 (x+3) 或y+3=2(x+3), 即 x+2y+9=0 或 2x-y+3=0. 点评 :解法一突出了适当地利用图形的几何性质有助于简化计算,强调图形在解题中的 作用 ,加强了数形结合;解法二是利用直线被曲线截得的弦长公式求出斜率后求直线方程,思 路简单但运算较繁. 变式训练 已知圆 C:x 2+(y-1)2=5,直线 l:mx-y+1-m=0. (1)求证:
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 人教 数学 必修 教案 4.2 直线 位置 关系
链接地址:https://www.31doc.com/p-5445602.html