人教A版数学必修二教案:§4.3.2空间两点间的距离公式.pdf
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1、4.3.2 空间两点间的距离公式 一、教材分析 平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易 到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平 面直角坐标系中的方程x 2+y2=r2 表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程 x 2 +y 2+z2 =r 2 表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学 习的兴趣 . 二、教学目标 1知识与技能 使学生掌握空间两点间的距离公式 2过程与方法 3情态与价值观 通过空间两点间距离公式的推
2、导,使学生经历从易到难,从特殊到一般的认识过程 三、教学重点与难点 教学重点: 空间两点间的距离公式. 教学难点: 一般情况下 ,空间两点间的距离公式的推导. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 (一)导入新课 思路 1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计, 它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空 间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容. 思路 2.我们知道 ,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即 d=|x1-x2|;平面直角坐标系中 ,两 点之间的距离是d= 2 1
3、2 2 12 )()(yyxx.同学们想 ,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算 呢?又有什么样的公式呢?因此我们学习空间两点间的距离公式. (二)推进新课、新知探究、提出问题 平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么?它是如何推导的? 设 A(x,y,z) 是空间任意一点,它到原点的距离是多少?应怎样计算? 给你一块砖 ,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. 同学们想 ,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算? 平面直角坐标系中的方程x2+y2=r 2 表示什么图形?在空间中方程x2+y2+z2=r 2 表示什么图形? 试根据 推导两点之间的距离公式. 活动: 学
4、生回忆 ,教师引导 ,教师提问 ,学生回答 ,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师 引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想 ,发散思维 .学生回忆学过的数学知识,回想当时的推 由平面上两点间 的距离公式,引 入空间两点距离 公式的猜想 先推导特殊情况 下空间两点间的 距离公式 推导一般情况下 的空间两点间的 距离公式 导过程; 解决这一问题 ,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解;首先考虑问题的实 际意义 ,直接度量 ,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.回顾平 面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式
5、;学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜 想;利用的道理 ,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导 . 讨论结果: 平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d= 2 12 2 12 )()(yyxx,它是利用直角 三角形和勾股定理来推导的. 图 1 如图 1,设 A(x,y,z) 是空间任意一点,过 A 作 AB xOy 平面 ,垂足为B,过 B 分别作 BDx 轴,BEy 轴, 垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、 BOD是直角三角形,所以 BO 2=BD2+OD2,AO2=AB2 +BO 2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,
6、因此 A 到原点的距离是 d= 222 zyx. 利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边 长的平方的和来算. 由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d= 2 12 2 12 )()(yyxx,是同名坐标的差的平 方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d= 2 12 2 12 2 12 )()()(zzyyxx,即在 原来的基础上,加上纵坐标差的平方. 平面直角坐标系中的方程x2+y 2=r2 表示以原点为圆心,r 为半径的圆 ;在空间 x2+y2+z2=r 2 表示以原点为 球心 ,r 为半径的球面;后者正是前者的推广. 图
7、2 如图 2,设 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点 ,我们来计算这两点之间的距离. 我 们 分 别 过P1P2作xOy平 面 的 垂 线 ,垂 足 是M,N, 则M(x 1,y1,0),N(x2,y2,0), 于 是 可 以 求 出 |MN|= 2 12 2 12 )()(yyxx. 再过点 P1作 P1HP2N,垂足为 H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以 |HP2|=|z2-z1|. 在RtP1HP2中,|P1H|=|MN|= 2 12 2 12 )()(yyxx,根据勾股定理,得 |P1P2|= 2 2 2 1 |HPHP= 2 21
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- 人教 数学 必修 教案 4.3 空间 两点 距离 公式
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