人教a版选修1-1课时教案:3.4生活中的优化问题举例.pdf
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1、教学目标: 1 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用 2 提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点 :利用导数解决生活中的一些优化问题 教学难点 :利用导数解决生活中的一些优化问题 教学过程 : 一创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问 题 通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具这一节,我们 利用导数,解决一些生活中的优化问题 二新课讲授 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以 下几个方面: 1、与几何有关的最值问题; 2、与物理学有关的最值问题; 来
2、源学* 科 * 网 Z * X* X* K 3、与利润及其成本有关的最值问题; 4、效率最值问题。 解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数 关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立 适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个 过程中,导数是一个有力的工具 三典例分析 例 1海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示 的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm 2, 上、下两边各空 2dm,左、右两边各空1dm 。 如何设计海报的尺
3、寸,才能使四周空心面积最小? 解:设版心的高为xdm ,则版心的宽为 128 x dm,此时四周空白面积为 128512 ( )(4)(2)12828,0S xxxx xx 。 求导数,得 2 512 ( )2S x x 。 令 2 512 ( )20S x x ,解得16(16xx舍去)。 于是宽为 128128 8 16x 。 当(0,16)x时, ( )S x 0. 因此,16x是函数( )S x的极小值,也是最小值点。所以,当版心高为16dm,宽为 8dm 时,能使四周空白面积最小。 答:当版心高为16dm,宽为 8dm 时,海报四周空白面积最小。 例 2饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
4、 ( 1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些? (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 【背景知识】:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是 2 0.8 r分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售1 mL 的饮料,制造商可获 利 0.2 分 ,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题:()瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? ()瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小? 解:由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是 3 3224 0. 20. 80. 8, 06 33 r yfrrrrr 令 2 0.8 (2 )0frrr解得2r(0r舍
5、去) 当0, 2r时,0fr;当2, 6r时,0fr 当半径2r时,0fr它表示fr单调递增,即半径越大,利润越高; 当半径2r时,0fr它表示fr单调递减,即半径越大,利润越低 (1)半径为2cm 时,利润最小,这时20f,表示此种瓶内饮料的利润还不够 瓶子的成本,此时利润是负值 (2)半径为 6cm 时,利润最大 换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什么发现? 有图像知:当3r时,30f,即瓶子的半径为3cm 时,饮料的利润与饮料瓶的 成本恰好相等;当3r时,利润才为正值 当0, 2r时,0fr,fr为减函数,其实际意义为:瓶子的半径小于2cm 时,瓶子的半径越大
6、,利润越小,半径为2cm 时,利润最小 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于m,每比特所占用的磁道长度不得小 于n。为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题: 现有一张半径为R的磁盘,它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域 (1)是不是r越小,磁盘的存储量越大? (2)r为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)? 解:由题意知:存储量=磁道数每磁道的比特数。 设存储区的半径介于r与 R之间, 由于磁道之间的宽度必需大于m,且最外面的磁道 不存储任何信息,故磁道数最多可达 Rr m 。由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大 存储量,最内一条
7、磁道必须装满,即每条磁道上的比特数可达 2 r n 。所以,磁盘总存储 量 ( )f r Rr m 2 r n 2 ()r Rr mn (1)它是一个关于r的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是r越小,磁盘的存 储量越大 (2)为求( )f r的最大值,计算( )0fr 2 ( )2frRr mn 令( )0fr,解得 2 R r 当 2 R r时,( )0fr;当 2 R r时,( )0fr 因此 2 R r时,磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 2 2 4 R mn 例 4 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用 的材料最省? 解:设圆柱的高为h,底半径为
8、R,则表面积 S=2Rh+2 R 2 由 V=R 2h,得 2 V h R ,则 来源 : Z xxk. Co m S(R)= 2 R 2 V R + 2 R 2=2V R +2R 2 令 2 2 () V s R R +4R=0 解得, R= 3 2 V ,从而 h= 2 V R = 2 3 () 2 V V = 3 4V =2 3 V 即 h=2R 因为 S(R) 只有一个极值,所以它是最小值 答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省 变式: 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时,它的高与底面半径应怎样选取,才 能使所用材料最省? 提示:S=2Rh+ 2 2 Rh= R RS 2 2 2
9、建立数学模型 V(R)= R RS 2 2 2 R 2 = 32 2 1 )2( 2 1 RSRRRS )( RV)=0 2 6 RSRhRRhR2226 22 四课堂练习 1用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作的容器的底面的一边 比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积(高为1.2 m, 最大容积 3 1.8m) 5课本练习课本 P 104 五回顾总结 1利用导数解决优化问题的基本思路: 2解决优化问题的方法:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型,再通 过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决在这个过程中,导数往往是一
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