圆锥曲线的知识点归纳与解题方法技巧.pdf
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1、实用标准文案 精彩文档 圆锥曲线解题方法技巧 第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 倾斜角与斜率tan,0,)k 21 21 yy k xx 点 00 (,)P xy到直线0AxByC的距离 00 22 AxByC d AB 夹角公式:直线 111 222 : : lyk xb lyk xb 夹角为,则 21 21 tan 1 kk k k (3)弦长公式 直线ykxb上两点 1122 (,),(,)A x yB xy间的距离 22 2121 ()()ABxxyy 2 12 1ABkxx 22
2、1212 (1)()4kxxx x 12 2 1 1AByy k (4)两条直线的位置关系 () 111 222 : : lyk xb lyk xb 1212 llk k=-1 212121/ bbkkll且 () 1111 2222 :0 :0 lA xB yC lA xB yC 121212 0llA AB B 1212211221 / /0llA BA BACA C-=0且-或 111 222 ABC ABC 者( 222 0A B C) 两平行线距离公式 实用标准文案 精彩文档 11 22 : : lykxb lykxb 距离 12 2 | 1 bb d k 11 22 :0 :0 l
3、AxByC lAxByC 距离 12 22 |CC d AB 2、圆锥曲线方程及性质 1. 圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F1,F2的距离的 和等于常数2a, 且此常数2a一定要大于 21F F, 当常数等于 21F F时,轨迹是线段 F1F2, 当常数小于 21F F时,无轨迹;双曲线中,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常 数2a,且此常数2a一定要小于 |F 1F2 | ,定义中的“绝对值”与2a|F 1F2| 不可忽视。 若2a|F 1F2 | ,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a|F 1F2 | ,则轨迹不存 在。若去掉定
4、义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程 2222 (6)(6)8xyxy表示的曲线是 _(答:双曲线的左支) 2. 圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准 位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时1 2 2 2 2 b y a x (0ab) ,焦点在y 轴上时 2 2 2 2 b x a y 1 (0ab) 。方程 22 AxByC表示椭圆的充要条件是什么?(ABC 0,且 A,B,C 同号, AB) 。椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程: 22 1(0,0) xy mnmn mn 且 距离式方程: 2222 ()()2xcyxcy
5、a 参数方程:cos ,sinxayb 若Ryx,, 且623 22 yx, 则yx的最大值是 _, 22 yx的最小值是 _ (答: 5,2 ) (2) 双曲线: 焦点在 x轴上: 2 2 2 2 b y a x =1, 焦点在 y轴上: 2 2 2 2 b x a y 1 (0,0ab) 。 方程 22 AxByC表示双曲线的充要条件是什么?(ABC 0,且 A,B异号) 。 如设中心在坐标原点O,焦点 1F、2F在坐标轴上,离心率2e的双曲线 C过点 )10, 4(P,则 C的方程为 _(答: 22 6xy) (3)抛物线:开口向右时 2 2(0)ypx p,开口向左时 2 2(0)yp
6、x p,开口向 上时 2 2(0)xpy p,开口向下时 2 2(0)xpy p。 实用标准文案 精彩文档 3. 圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由 x 2 , y 2 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 如已知方程1 21 22 m y m x 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m的取值范围是 _ (答: ) 2 3 , 1()1,() (2)双曲线:由 x 2 , y 2 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中, a最大, 222 abc,在双曲线中, c最大,
7、 222 cab。 4. 圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以1 2 2 2 2 b y a x (0ab)为例) :范围:,axabyb; 焦点:两个焦点(,0)c;对称性:两条对称轴0,0xy,一个对称中心( 0,0 ) ,四 个顶点(,0),(0,)ab, 其中长轴长为 2a , 短轴长为 2b; 准线:两条准线 2 a x c ; 离心率: c e a ,椭圆01e,e越小,椭圆越圆; e越大,椭圆越扁。 如(1)若椭圆 1 5 22 m yx 的离心率 5 10 e ,则m的值是 _(答: 3 或 3 25 ) ; (2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时,则
8、椭圆 长轴的最小值为 _(答:22) (2)双曲线(以 22 22 1 xy ab (0,0ab)为例) :范围: xa或,xa yR;焦 点:两个焦点(,0)c;对称性:两条对称轴0,0xy,一个对称中心( 0,0 ) , 两个顶点(,0)a,其中实轴长为 2a ,虚轴长为 2b,特别地,当实轴和虚轴的长相 等时, 称为等轴双曲线, 其方程可设为 22 ,0xyk k; 准线:两条准线 2 a x c ; 离心率: c e a ,双曲线1e,等轴双曲线2e,e越小,开口越小, e 越大,开口越大;两条渐近线: b yx a 。双曲线的方程的形式有两种 标准方程: 22 1(0) xy m n
9、 mn 距离式方程: 2222 | ()()| 2xcyxcya (3)抛物线(以 2 2(0)ypx p为例) :范围:0,xyR;焦点:一个焦点(,0) 2 p , 其中 p 的几何意义是:焦点到准线的距离;对称性:一条对称轴0y,没有对称中 实用标准文案 精彩文档 心, 只有一个顶点(0,0 ) ; 准线:一条准线 2 p x;离心率: c e a , 抛物线1e。 如设Raa, 0,则抛物线 2 4axy的焦点坐标为 _(答: ) 16 1 ,0( a ) ; 5、点 00 (,)P xy和椭 圆1 2 2 2 2 b y a x (0ab)的关系 : (1) 点 00 (,)P xy
10、在椭圆外 22 00 22 1 xy ab ; (2)点00(,)P xy在椭圆上 2 2 0 2 2 0 b y a x 1; (3)点00(,)P xy在椭圆内 22 00 22 1 xy ab 6. 记住焦半径公式: (1) 00 ;xaexaey椭圆焦点在轴上时为焦点在 y轴上时为,可简记为“左加右减,上 加下减” 。 (2) 0 |xe xa双曲线焦点在轴上时为 (3) 11 |,| 22 pp xxy抛物线焦点在轴上时为焦点在 y轴上时为 7. 椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 设 11, y xA、 22, y xB,baM,为椭圆1
11、 34 22 yx 的弦 AB 中点则有 1 34 2 1 2 1 yx ,1 34 2 2 2 2 yx ;两式相减得0 34 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 34 21212121 yyyyxxxx AB k= b a 4 3 2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什么? 如果有两个参数怎么办? 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使 用 判 别 式0 , 以及 根 与 系数 的 关 系 , 代 入 弦 长 公式 , 设 曲 线 上 的 两 点 1122 (,),(,)A xyB xy,将这两点代入曲线方程得到 1
12、2 两个式子,然后 1 -2 ,整体消 元 ,若有两个字母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦 点,则可以利用三点A、B、F 共线解决之。若有向量的关系,则寻找坐标之间的关 实用标准文案 精彩文档 系,根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为ykxb,就意味着 k 存在。 例 1、已知三角形 ABC的三个顶点均在椭圆8054 22 yx上,且点 A是椭圆短轴的一个 端点(点 A在 y 轴正半轴上) . (1)若三角形 ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC的方程 ; (2)若角 A为 0 90,AD垂直 BC于 D,试求点 D的轨迹方程 . 分析:第一问抓住“重心” ,利用点差
13、法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率,从而 写 出 直 线BC 的 方 程 。 第 二 问 抓 住 角A 为 0 90可 得 出AB AC, 从 而 得 016)(14 212121 yyyyxx,然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程; 解:(1) 设 B ( 1 x, 1 y) ,C( 2 x, 2 y),BC 中点为 ( 00,y x),F(2,0)则有1 1620 ,1 1620 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx 两式作差有0 16 )( 20 )( 21212121 yyyyxxxx 0 45 00 kyx (1) F(2,0) 为三角形重心,所以由2 3 21 xx
14、 ,得3 0 x,由0 3 4 21 yy 得2 0 y,代 入(1)得 5 6 k 直线 BC的方程为02856yx 2) 由 AB AC得016)(14 212121 yyyyxx(2) 设直线 BC方程为8054, 22 yxbkxy代入,得080510)54( 222 bbkxxk 2 21 54 10 k kb xx, 2 2 21 54 805 k b xx 2 22 21 2 21 54 804 , 54 8 k kb yy k k yy代入( 2)式得 0 54 16329 2 2 k bb ,解得)(4 舍b或 9 4 b 直线过定点( 0,) 9 4 ,设 D (x,y )
15、 ,则1 4 9 4 x y x y ,即0163299 22 yxy 实用标准文案 精彩文档 所以所求点 D的轨迹方程是)4() 9 20 () 9 16 ( 222 yyx。 4、设而不求法 例 2、如图,已知梯形ABCD 中CDAB2,点 E分有向线段AC所成的比为,双曲线 过 C 、D 、E三点,且以 A、B为焦点当 4 3 3 2 时,求双曲线离心率e的取值范围。 分析:本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运 算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy,如图,若设 Ch c , 2 ,代入1 2 2 2 2 b y a x ,求得 h,
16、进而求得, EE xy再代入1 2 2 2 2 b y a x , 建立目标函数( , , ,)0f a b c,整理( ,)0f e,此运算量可见是难上加难. 我们对 h可 采取设而不求的解题策略, 建立目标函数( , , ,)0f a b c,整理( ,)0f e, 化繁为简 . 解法一:如图,以 AB为垂直平分线为y轴,直线 AB为x轴,建立直角坐标系xOy, 则 CD y轴因为双曲线经过点C、D,且以 A、B 为焦点,由双曲线的对称性知C、D关 于y轴对称 依题意,记A0 , c ,C h c , 2 ,E 00, y x,其中| 2 1 ABc为双曲线 的半焦距,h是梯形的高,由定比
17、分点坐标公式得 12 2 1 2 0 c c c x, 1 0 h y 设双曲线的方程为1 2 2 2 2 b y a x ,则离心率 a c e 由点 C 、E在双曲线上,将点C 、E的坐标和 a c e代入双曲线方程得 1 4 2 22 b he , 1 11 2 4 2 22 b he 实用标准文案 精彩文档 由式得1 4 2 2 2 e b h , 将式代入式,整理得 2144 4 2 e , 故 1 3 1 2 e 由题设 4 3 3 2 得, 4 3 2 3 1 3 2 2 e 解得107e 所以双曲线的离心率的取值范围为10,7 分析:考虑,AEAC 为焦半径 , 可用焦半径公式
18、 , ,AEAC 用,E C的横坐标表示,回避 h的计算 , 达到设而不求的解题策略 解法二:建系同解法一,, EC AEaexACaex , 2 2 121 E c c c x,又 1 AE AC ,代入整理 1 3 1 2 e ,由题设 4 3 3 2 得, 4 3 2 3 1 3 2 2 e 解得107e 所以双曲线的离心率的取值范围为10,7 5、判别式法 例 3 已知双曲线 1 22 : 22 xy C ,直线 l 过点0 ,2A,斜率为 k ,当10k时,双曲 线的上支上有且仅有一点B到直线 l 的距离为2,试求 k 的值及此时点 B的坐标。 分析 1:解析几何是用代数方法来研究几
19、何图形的一门学科,因此,数形结合必然 是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有” 这个微观入手, 对照草图, 不难想到: 过点 B 作与 l 平行的直线,必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的 判别式0. 由此出发,可设计如下解题思路: 10)2(:kxkyl 把直线 l 的方程代入双曲线方程,消去y,令判别式 0 直线 l 在 l 的上方且到直线l 的距离为2 实用标准文案 精彩文档 kkkxyl22 2 2: 的值解得 k 解题过程略 . 分析 2:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓“有 且仅有一点 B 到直线l的距离为2” ,相当于化归的方程
20、有唯一解. 据此设计出如下解 题思路: 简解:设点)2,( 2 xxM为双曲线 C上支上任一点,则点M到直线 l 的距离为: 2 1 22 2 2 k kxkx 10k 于是,问题即可转化为如上关于x的方程 . 由于10k,所以kxxx 2 2,从而有 .2222 22 kxkxkxkx 于是关于x的方程 ) 1(222 22 kkxkx 02) 1(2 ,)2)1(2(2 2 22 2 2 kxkk kxkkx .02)1(2 ,022) 1(22) 1(221 2 2 2222 kxkk kkxkkkxk 由10k可知: 方 程022) 1(22)1(221 2 2222 kkxkkkxk
21、的 二 根 同 正 , 故 转化为一元二次方程根的问题 求解 问题 关于 x 的方程102 1 22 2 2 k k kxkx 有唯一解 实用标准文案 精彩文档 02) 1(2 2 kxkk恒成立,于是等价于 022)1(22)1(221 2 2222 kkxkkkxk. 由如上关于x的方程有唯一解,得其判别式0,就可解得 5 52 k. 点评:上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思 维的优越性 . 例 4 已知椭圆 C:和点 P(4,1) ,过 P作直线交椭圆于 A、B两点,在线 段 AB上取点 Q ,使,求动点 Q的轨迹所在曲线的方程 . 分析:这是一个轨迹问题
22、,解题困难在于多动点的困扰,学生往往不知从何入手。 其实,应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此,首先是选定参数,然后想方设法 将点 Q的横、纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的. 由于点),(yxQ的变化是由直线 AB的变化引起的,自然可选择直线AB的斜率 k 作为 参数,如何将yx,与 k 联系起来?一方面利用点Q在直线 AB上;另一方面就是运用题目 条件:来转化 . 由 A、B、P、Q 四点共线,不难得到 )(8 2)(4 BA BABA xx xxxx x ,要建 立x与 k 的关系,只需将直线AB的方程代入椭圆 C的方程,利用韦达定理即可. 通过这样的分析,可以看出,虽
23、然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,已 经做到心中有数 . 将直线方程代入椭圆方程,消去y,利用韦达定理 利用点 Q 满足直线 AB 的方程: y = k (x4)+1,消去参数k 点 Q 的轨迹方程 QB AQ PB AP )(8 2)(4 BA BABA xx xxxx x kfx 实用标准文案 精彩文档 在得到kfx之后,如果能够从整体上把握,认识到:所谓消参,目的不过是得到关 于yx,的方程(不含 k) ,则可由1)4(xky解得 4 1 x y k,直接代入kfx即可得 到轨迹方程。从而简化消去参的过程。 简解:设),(),(, 2211 yxQyxByxA,则由 QB AQ
24、PB AP 可得: xx xx x x 2 1 2 1 4 4 , 解之得: )(8 2)(4 21 2121 xx xxxx x(1) 设直线 AB的方程为:1)4(xky,代入椭圆 C的方程,消去 y 得出关于 x 的一 元二次方程: 08)41 (2)41(412 222 kxkkxk(2) . 12 8)41(2 , 12 )14(4 2 2 21 2 21 k k xx k kk xx 代入(1) ,化简得: . 2 34 k k x (3) 与1)4(xky联立,消去 k 得:.0)4(42xyx 在(2)中,由0246464 2 kk,解得 4 102 4 102 k ,结合(
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