圆锥曲线轨迹方程经典例题.pdf
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1、实用标准 文档大全 轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆的例题: 1、 必修 2 课本 P124B 组 2:长为 2a 的线段的两个端点在x轴和y轴上移动,求线段AB 的中点 M 的轨迹方程: 必修 2 课本 P124B 组:已知 M 与两个定点( 0,0) ,A(3,0)的距离之比为 2 1 ,求点 M 的轨迹方程 ;(一般地:必修2 课 本 P144B 组 2:已知点 M(x,y)与两个定点 21,M M的距离之比为一个常数m;讨论点M(x,y)的轨迹方程(分m=1, 与m1 进行讨论) 2、 必修2 课本P122 例5:线段AB 的端点B 的坐标是(4,3) ,端点A 在圆 1) 1( 22
2、yx上运动,求AB 的中点 M 的轨迹。 (2013 新课标 2 卷文 20)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长 为22,在 y轴上截得线段长为 32。(1)求圆心的 P的轨迹方程; (2)若P点到直线 xy 的距离为 2 2 ,求圆P的方程。 如图所示,已知P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一点, A、B 是圆上两动点,且满足 APB=90,求 矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 . 解:设 AB 的中点为R,坐标为 (x,y),则在 RtABP 中, |AR|=|PR|.又因为 R 是弦 AB 的中点, 依垂径定理:在RtOAR 中,|AR|2=|AO|2|OR
3、| 2 =36(x 2+y2)又|AR|=|PR|=22 )4(yx所以有 (x 4)2+y2=36 (x2+y2),即 x2+y24x10=0 因此点 R 在一个圆上,而当R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q(x,y) , R(x1,y1) , 因 为 R 是PQ 的 中 点 , 所 以x1= 2 0 , 2 4 1 y y x , 代 入 方 程x 2+y2 4x 10=0, 得 2 4 4) 2 () 2 4 ( 22xyx 10=0 整理得: x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 . 在平面直角坐标系xOy中,点)3 ,0(A,直线42:xyl设圆C的半径为1,圆心
4、在l上(1)若圆心C也在直 线1xy上,过点A作圆C的切线,求切线的方程; (2)若圆C上存在点M,使MOMA2,求圆心C的横坐标a的取值范围 (2013 陕西卷理20)已知动圆过定点)0 ,4(A,且在y轴上截得弦MN的长为 8. M B A 实用标准 文档大全 (1)求动圆圆心的轨迹C的方程; (2)已知点)0 ,1(B,设不垂直于x轴的直线 l与轨迹C交于不同的两点QP, ,若x轴是PBQ的角平分线, 证明 直线l过定点。 二、椭圆类型: 3、定义法: (选修 2-1P50第 3 题)点 M(x,y)与定点 F(2,0)的距离和它到定直线8x 的距离之比为 2 1 ,求点 M 的轨迹方程
5、 .(圆锥曲线第二定义) 讨论:当这个比例常数不是小于1,而是大于1,或等于1 是的情形呢?(对应双曲线,抛物线) 4、 圆 锥 曲 线 第 一 定 义 : ( 选 修2-1P50 第2 题 ) 一 个 动 圆 与 圆 056 22 xyx外切,同时与圆0916 22 xyx内切,求 动圆的圆心轨迹方程。 5、 圆锥曲线第一定义:点 M( 00,y x)圆 1 F9)1( 22 yx上的一个动点, 点 2 F (1,0)为定点。线段 2 MF的垂直平分线与 1 MF相交于点Q(x,y),求点 Q 的 轨迹方程 ;(注意点 2 F(1,0)在 圆内 ) 6、 其他形式:(选修 2-1P50例 3
6、)设点 A,B 的坐标分别是( -5,0) , ( 5,0) ,直线 AM,BM相交于点M,且他们的斜 率的乘积为 9 4 ,求点 M 的轨迹方程 :(是一个椭圆) (讨论当他们的斜率的乘积为 9 4 时可以得到双曲线) (2013 新课标 1 卷 20) 已知圆:M1)1( 22 yx, 圆:N9)1( 22 yx, 动圆P与圆M外切并且与圆N内切, 圆心P的轨迹为曲线C。( 1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于BA,两 点,当圆P的半径最长时,求AB Q F1F2 M M F1F2 实用标准 文档大全 (2013 陕西卷文20)已知动点),(yxM到直线
7、4: xl 的距离是它到点)0, 1 (N的距离的 2倍。 (1)求动点 M 的轨迹C的方程 (2)过点)3 ,0(P的直线m与轨迹C交于BA,两点,若A是PB的中点,求直线 m的斜率。 三、双曲线类型: 8、圆锥曲线第一定义:点M( 00, y x)圆 1 F1)1( 22 yx上的一个动点 , 点 2 F(1,0)为定点。线段 2 MF的垂直平分线与 1 MF相交于点Q(x,y),求点 Q 的轨迹方程 ;(注意点 2 F(1,0)在 圆外 ) 定义法: (选修 2-1P59例 5)点 M(x,y)与定点 F(5,0)的距离和它到定直线 5 16 x的距离之比为 4 5 ,求点 M 的轨迹方
8、 程.(圆锥曲线第二定义) 四、抛物线类型:10、定义法:(选修 2-1)点 M(x,y)与定点 F(2,0)的距离和它到定直线2x的距离相等,求 点 M 的轨迹方程。 (或:点M(x,y)与定点 F(2,0)的距离比它到定直线3x的距离小1,求点 M 的轨迹方 程。 ) (2013 陕西卷文20)已知动点),(yxM到直线4: xl的距离是它到点)0, 1(N的距离的2倍。(1)求动点M的轨 迹C的方程 ( 2)过点)3 ,0(P的直线m与轨迹 C交于BA, 两点,若 A是PB的中点,求直线m的斜率 已知三点(0,0)O,( 2,1)A,(2,1)B,曲线C上任意一点( , )M x y满足
9、 |()2MAMBOMOAOB。 (1)求曲线C的方程; )在直角坐标系xOy 中,曲线C1的点均在 C2: (x-5)2y 2=9 外,且对 C1上任意一点 M,M 到直线 x=2 的距离等 于该点与圆C2上点的距离的最小值. Q F1F2 M 实用标准 文档大全 ()求曲线C1的方程; (湖北)设 A是单位圆 x 2+y2=1上的任意一点, i 是过点 A与x轴垂直的直线,D是直线 i 与x轴的交点,点 M 在直线 l 上, 且满足丨 DM 丨=m 丨DA 丨( m0,且 m 1)。当点 A在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线 C。 (I )求曲线 C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求焦
10、点坐标; (辽宁) 如图,椭圆 0 C: 22 22 1(0 xy ab ab ,a,b 为常 数 ) , 动 圆 222 11 :Cxyt, 1 bta。点 12 ,AA分别为 0 C的左, 右顶点, 1 C与 0 C相 交于 A,B,C,D 四点。 ()求直线 1 AA与直线 2 A B交点 M 的轨迹方程 ; (四川)如图,动点 M 到两定点( 1,0)A、(2,0)B构成 MAB,且2MBAMAB,设动点M 的轨迹为 C。 ()求轨迹 C的方程; ()设直线2yxm与y轴交于点 P, 与轨迹C相交于点QR、,且| |PQPR, 求 | | PR PQ 的取值范围。 1.( )已知椭圆的
11、焦点是F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得 |PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的轨迹是 ( ) A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线 2.( )设 A1、A2是椭圆 49 22 yx =1 的长轴两个端点,P1、P2是垂直于 A1A2的弦的端点, 则直线 A1P1与 A2P2 交点的轨迹方程为( ) A.1 49 22 yx B.1 49 22 xy C.1 49 22 yx D.1 49 22 xy 二、填空题 3.( )ABC 中, A 为动点, B、C 为定点, B( 2 a ,0),C( 2 a ,0),且满足条件sinCsinB= 2 1 sinA
12、,则动点 A 的 轨迹方程为 _. 4.( )高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距 10 m, 如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A( 5,0)、B(5,0),则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_. 三、解答题 5.( )已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,且 |AB|=|BC|=6, O切直线 l 于点 A,又过 B、C 作 O异于 l 的两切线,设这两切线交于点P,求点 P 的轨迹方程 . 实用标准 文档大全 6.( )双曲线 2 2 2 2 b y a x =1 的实轴为A1A2,点 P 是双曲线上的一个动点,引 A1QA1P,A2QA2P,A1Q 与
13、A2Q 的交点为Q,求 Q 点的轨迹方程. 8.( )已知椭圆 2 2 2 2 b y a x =1(ab0),点 P 为其上一点, F1、F2为椭圆的焦点, F1PF2的外角平分线为 l, 点 F2关于 l 的对称点为Q,F2Q 交 l 于点 R. (1)当 P 点在椭圆上运动时,求R 形成的轨迹方程; (2)设点 R 形成的曲线为C,直线 l:y=k(x+2a)与曲线 C 相交于 A、 B两点,当 AOB 的面积取得最大值时,求 k 的值 . 一、 1.解析: |PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,动点
14、Q 到定点 F1的距离等于定 长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆 . 2.解析:设交点P(x,y),A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P 共线, 3 0 0 x y xx yy A2、P2、P 共线, 3 0 0 x y xx yy 解得 x0=1 49 , 1 49 , 3 , 9 222 0 2 0 0 yxyx x y y x 即代入得 二、 3.解析:由 sinCsinB= 2 1 sinA,得 cb= 2 1 a,应为双曲线一支, 且实轴长为 2 a ,故方程为) 4 ( 1 3 1616 2 2 2 2 a x a y a x . 答案
15、:) 4 ( 1 3 1616 2 2 2 2 a x a y a x 4.解析:设P(x,y) ,依题意有 2222 )5( 3 )5( 5 yxyx ,化简得 P 点轨迹方程为4x 2+4y2 85x+100=0. 答案: 4x 2+4y285x+100=0 三、 5.解: 设过 B、C 异于 l 的两切线分别切O于 D、 E两点,两切线交于点P.由切线的性质知: |BA|=|BD |, |PD|=|PE|, |CA|=|CE|,故 |PB|+|PC|=|BD|+|PD |+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18 6=|BC|,故由
16、椭圆定义知,点P 的轨迹是以B、C 为两焦点的椭圆,以l 所在的直线为 x 轴,以 BC 的中点为原点,建立坐标系,可求得动点P 的轨迹方程为 7281 22 yx =1(y 0) 6.解:设 P(x0,y0)(x a),Q(x,y). A1(a,0),A2(a,0). 实用标准 文档大全 由条件 y ax y axxx ax y ax y ax y ax y 22 0 00 0 0 0 0 )( 1 1 得 而点 P(x0,y0)在双曲线上, b 2x 0 2a2y 0 2=a2b2. 即 b2(x2)a2( y ax 22 ) 2=a2b2 化简得 Q 点的轨迹方程为:a2x2b2y2=a
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