圆锥曲线的知识要点及结论个人的总结.pdf
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1、实用标准文案 精彩文档 圆锥曲线知识要点及重要结论 一、椭圆 1 定义平面内到两定点 21,F F的距离的和等于常数)2(2 21F Faa的点P的轨迹叫做椭 圆. 若 21 2FFa,点P的轨迹是线段 21F F. 若 21 20FFa,点P不存在 . 2 标准方程)0(1 2 2 2 2 ba b y a x ,两焦点为)0,(),0 ,( 21 cFcF. )0(1 2 2 2 2 ba b x a y ,两焦点为),0(),0( 21 cFcF. 其中 222 cba. 3 几何性质 椭圆是轴对称图形,有两条对称轴. 椭圆是中心对称图形,对称中心是椭圆的中心. 椭圆的顶点有四个,长轴长
2、为 a2 ,短轴长为 b2 ,椭圆的焦点在长轴上. 若椭圆的标准方程为)0(1 2 2 2 2 ba b y a x ,则bybaxa,; 若椭圆的标准方程为)0( 1 2 2 2 2 ba b x a y ,则ayabxb,. 二、双曲线 1 定义平面内到两定点 21,F F的距离之差的绝对值等于常数)20(2 21F Faa的点的 轨迹叫做双曲线. 若 21 2FFa,点P的轨迹是两条射线. 若 21 2FFa,点P不存在 . 2 标准方程)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x ,两焦点为)0,(),0 ,( 21 cFcF. )0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x
3、 ,两焦点为),0(),0( 21 cFcF. 其中 222 bac. 3 几何性质 双曲线是轴对称图形,有两条对称轴;双曲线是中心对称图形,对称中心是双曲线的中心. 双曲线的顶点有两个 21, A A,实轴长为a2,虚轴长为b2,双曲线的焦点在实轴上. 若双曲线的标准方程为)0, 0(1 2 2 2 2 ba b y a x ,则Ryaxax,或; 若双曲线的标准方程为)0,0( 1 2 2 2 2 ba b x a y ,则Rxayay,或. 实用标准文案 精彩文档 4 渐近线 双曲线)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 有两条渐近线x a b y和x a b y. 即0 2
4、 2 2 2 b y a x 双曲线)0,0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 有两条渐近线x b a y和x b a y. 即0 2 2 2 2 b x a y 双曲线的渐进线是它的重要几何特征,每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线,但对于同一 组渐进线却对应无数条双曲线. 与双曲线)0,0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 共渐进线的双曲线可表示为)0( 2 2 2 2 b y a x . 直线与双曲线有两个交点的条件,一定要“消元后的方程的二次项系数 0”和“0” 同时成立 . 5 等轴双曲线:实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线. 等轴双曲线的标准方程为)0( 1
5、2 2 2 2 a a y a x 或)0(1 2 2 2 2 a a x a y . 等轴双曲线的渐近线方程为xy. 6 共轭双曲线:实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线. 如:)0, 0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的共轭双曲线为)0,0(1 2 2 2 2 ba a x b y ,它们的焦点到 原点的距离相等,因而在以原点为圆心, 22 ba为半径的圆上 . 且它们的渐近线都是 x a b y和x a b y. 三、抛物线 1 定义平面内与一个定点F和一条定直线Fl(不在l上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线. 定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.
6、2 标准方程 (1) )0(2 2 ppxy,焦点为)0, 2 ( p ,准线方程为 2 p x,抛物线张口向右. (2) )0(2 2 ppxy,焦点为)0 , 2 ( p ,准线方程为 2 p x,抛物线张口向左. (3) )0(2 2 ppyx,焦点为) 2 ,0( p ,准线方程为 2 p y,抛物线张口向上. (4) )0(2 2 ppyx,焦点为) 2 , 0( p ,准线方程为 2 p y,抛物线张口向下. 其中p表示焦点到准线的距离. 3 几何性质 抛物线是轴对称图形,有一条对称轴. 若方程为)0(2 2 ppxy或)0(2 2 ppxy, 实用标准文案 精彩文档 则对称轴是x
7、轴,若方程为)0(2 2 ppyx或)0(2 2 ppyx,则对称轴是y轴. 若抛物线方程为)0(2 2 ppxy,则Ryx,0. 若抛物线方程为)0(2 2 ppxy,则Ryx,0. 若抛物线方程为)0(2 2 ppyx,则Rxy,0. 若抛物线方程为)0(2 2 ppyx,则Rxy,0. 圆锥曲线的一些重要结论 【几个重要结论】 1 已知椭圆)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的两焦点为)0 ,(),0,( 21 cFcF,),( 00 yxP为椭圆上一 点,则)1()()( 2 2 0 22 0 2 0 2 01 a x bcxycxPF a a cx a a cx acx
8、a xc 0202 0 2 2 0 2 )(2 因为axa 0 ,caa a cx cac a cx c 00 0 ,, 所以a a cx PF 0 1 . 同理, a cx aPFaPF 0 12 2. 已知双曲线)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的左、右焦点分别为)0 ,(),0,( 21 cFcF,),( 00 yxP为 双曲线上一点,则a a cx PF 0 1 ,a a cx PF 0 2 . 2 椭圆)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的两焦点为 21,F F,P为椭圆上一点,若 21PF F,则 21PF F的面积为 2 tan cos1 sin 2
9、 2 b b . 解:根据椭圆的定义可得aPFPF2 21 由余弦定理可得cos24 21 2 2 2 1 2 21 2 PFPFPFPFFFc 实用标准文案 精彩文档 由得)cos1(244 21 22 PFPFca. 从而 cos1 2 2 21 b PFPF 所以, 21F PF的面积为 2 tan cos1 sin sin 2 12 2 21 b b PFPF 双曲线)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的两焦点为 21, F F,P为其上一点,若 21PF F,则 21PF F的面积为 2 cot cos1 sin sin 2 12 2 21 b b PFPF. 3 已
10、知椭圆)0(1: 2 2 2 2 ba b y a x C,NM ,是C上关于原点对称的两点,点P是椭圆 上任意一点,当直线PNPM ,的斜率都存在,并记为 PNPM kk,时,那么 PM k与 PN k之积是 与点P位置无关的定值. 解:设),(),( 1100 yxMyxP,则),( 11 yxN. 01 01 01 01 , xx yy k xx yy k PNPM ,从而 2 1 2 0 2 1 2 0 01 01 01 01 xx yy xx yy xx yy kk PNPM . 又因为),(),( 1100 yxMyxP都在椭圆上,故1, 1 2 2 1 2 2 1 2 2 0 2
11、 2 0 b y a x b y a x . 两式相减得,0 2 2 1 2 0 2 2 1 2 0 b yy a xx ,因而 2 2 2 1 2 0 2 1 2 0 a b xx yy 即 2 2 a b kk PNPM . 类似结论 已知双曲线)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x .NM ,是C上关于原点对称的两点,点P是双曲线 上任意一点,当直线PNPM ,的斜率都存在,并记为 PNPM kk,时,那么 PM k与 PN k之积是 与点P位置无关的定值. 【常用方法】 1 在求轨迹方程时,若条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则可以用定义求轨迹方 程,这是常用求轨迹的
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