一元二次方程讲义.pdf
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1、实用文档 标准文案 一元二次方程讲义 考点一、概念 (1) 定义: 只含有一个未知数 ,并且 未知数的最高次数是 2 ,这样的 整式方程 就是一元二次 方程。 (2) 一般表达式:)0(0 2 acbxax 注:当 b=0时可化为0 2 cax 这是一元二次方程的配方式 (3) 四个特点: (1) 只含有一个未知数;(2) 且未知数次数最高次数是2; (3) 是整式方程 要 判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是, 再对它进行整理如 果能整理为)0(0 2 acbxax的形式,则这个方程就为一元二次方程(4)将方程 化为一般形式:0 2 cbxax时,应满足( a0) (4
2、) 难点: 如何理解“未知数的最高次数是2” : 该项系数不为“ 0” ; 未知数指数为“ 2” ; 若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题 : 例 1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是() A 1213 2 xx B 02 11 2 xx C 0 2 cbxaxD 12 22 xxx 变式: 当 k 时,关于 x 的方程32 22 xxkx是一元二次方程。 例 2、方程0132mxxm m 是关于 x 的一元二次方程,则m的值为。 考点二、方程的解 概念: 使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。 应用: 利用根的概念求代数式的值; 典型例
3、题 : 例 1、已知32 2 yy的值为 2,则124 2 yy的值为。 例 2、 关于 x 的一元二次方程042 22 axxa的一个根为 0, 则 a的值为。 说明: 任何时候,都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制. 例 3、已知关于 x 的一元二次方程00 2 acbxax的系数满足bca,则此方程必有一 根为。 说明: 本题的关键点在于对“代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1 ”巧解代数式的值。 实用文档 标准文案 例 4、已知ba,是方程04 2 mxx的两个根,cb,是方程058 2 myy的两个根,则m的 值为。 例 5、已知ba,012 2 aa,012 2 bb,求ba
4、 变式: 若012 2 aa,012 2 bb,则 a b b a 的值为。 6、方程0 2 acxcbxba的一个根为() A 1 B 1 C cb D a 7、若 yx 则yx324,0352。 考点三、方程解法 (1)基本思想方法:解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。 (2)方法: 直接开方法;因式分解法;配方法;公式法 类型一、直接开方法:就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。 用直接开平方法解形如mxmmx其解为:,0 2 对于max 2 , 22 nbxmax等形式均适用直接开方法 典型例题 : 例 1、解方程:;0821 2 x(2)7)13 2 x(;09
5、13 2 x (4) 22 21619xx(5)1116249 2 xx 例 2、解关于 x 的方程:0 2 bax 3. 下列方程无解的是() A.123 22 xx B.02 2 x C.xx132 D.09 2 x 实用文档 标准文案 类型二、配方法 基本步骤 :1.先将常数c 移到方程右边 2.将二次项系数化为1 3.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4. 方程左边成为一个完全平方 式: 在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。 典型例题 : 例 1、试用配方法说明32 2 xx的值恒大于 0,4710 2 xx的值恒小于 0。 例 2、已知 x、
6、y 为实数,求代数式742 22 yxyx的最小值。 变式:若91232 2 xxt,则 t 的最大值为,最小值为。 例 3、已知,x、yyxyx01364 22 为实数,求 y x的值。 变式 1:已知04 11 2 2 x x x x,则 x x 1 . 变式 2:如果4122411bacba, 那么cba32的值为。 例 4、分解因式:3124 2 xx 类型三、因式分解法 :把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因 式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一 次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法
7、 0 21 xxxx 21, xxxx或 实用文档 标准文案 方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0” , 方程形式:如 22 nbxmax,cxaxbxax,02 22 aaxx 分解方法 : 提公因式 , 利用平方差与完全平方公式, 十字相乘法 针对练习 : 例 1、3532xxx的根为() A 2 5 x B 3x C 3, 2 5 21 xx D 5 2 x 例 2. (1) 22 1694ba( 平方差 ) (2) yxyxyx 3234 268( 提公因式 ) (3) 22 )(4)(nmnm(平方差 ) (4)96 2 aa ( 完全平方式 ) (5 ) 22 36
8、12yxxy ( 完全平方式 ) (6)4)(5)( 2 baba(十字相乘法) (7) 22 127qpqp(十字相乘法)(8) 32 )2(2)2(5mnnmn( 提公因式 ) 例 3、若04434 2 yxyx,则 4x+y 的值为。 例 4、方程06 2 xx的解为() A.23 21 ,xx B.23 21 ,xx C.33 21 ,xx D.22 21 ,xx 例 5、解方程:0432132 2 xx 实用文档 标准文案 例 6、已知0232 22 yxyx, 则 yx yx 的值为。 变式:已知0232 22 yxyx, 且0,0 yx, 则 yx yx 的值为。 例 7、解下列
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