中学考试压轴题突破几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等).pdf
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1、实用文档 文案大全 中考压轴题突破:几何最值问题大全(将军饮马、造桥 选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等) 一、基本图形 最值问题在几何图形中分两大类: 定点到定点 :两点之间,线段最短; 定点到定线 :点线之间,垂线段最短。 由此派生:定点到定点 :三角形两边之和大于第三边; 定线到定线 :平行线之间,垂线段最短; 定点到定圆 :点圆之间,点心线截距最短(长); 定线到定圆 :线圆之间,心垂线截距最短; 定圆到定圆 :圆圆之间,连心线截距最短(长)。 举例证明: 定点到定圆 :点圆之间,点心线截距最短(长)。 已知 O 半径为 r,AO=d,P 是 O 上一点,求AP 的最大值和最小值。 实用文档
2、 文案大全 证明:由“两点之间,线段最短”得AP AO+PO ,AO AP+PO ,得 d-r AP d+r ,AP 最小时点P 在 B 处,最大时点P 在 C 处。即过圆心和定 点的直线截得的线段AB 、AC 分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和 大于第三边”,其实质也是由“两点之间,线段最短”推得)。 上面几种是解决相关问题的基本图形,所有的几何最值问题都是转化成上 述基本图形解决的。 二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式,如圆与线这些 图形不是直接给出,而是以符合一定条件的动点的形式确定的;再如过定 点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。 类型分三种情况:(1)
3、直接包含基本图形;(2)动点路径待确定; (3)动线(定点)位置需变换。 (一)直接包含基本图形 例 1. 在 O 中,圆的半径为6,B=30 , AC 是 O 的切线,则CD 的最 小值是。 简析:由 B=30 知弧AD 一定,所以D 是定点, C 是直线 AC 上的动点, 即为求定点D 到定线 AC 的最短路径,求得当CDAC 时最短为3。 (二)动点路径待确定 实用文档 文案大全 例 2. ,如图,在 ABC 中,ACB=90, AB=5 ,BC=3 ,P 是 AB 边上的 动点(不与点B 重合),将 BCP 沿 CP 所在的直线翻折,得到B CP,连 接 B A,则 B A 长度的最小
4、值是。 简析: A 是定点, B 是动点,但题中未明确告知B 点的运动路径,所以需 先确定 B 点运动路径是什么图形,一般有直线与圆两类。此题中B 的路径 是以C 为圆心, BC 为半径的圆弧,从而转化为定点到定圆的最短路径为 AC-BC=1。 实用文档 文案大全 实用文档 文案大全 实用文档 文案大全 例 3. 在ABC 中,AB=AC=5,cos ABC=3/5,将 ABC 绕点 C 顺时针旋 转,得到 ABC ,点 E 是 BC 上的中点,点F 为线段AB 上的动点,在 ABC绕点 C 顺时针旋转过程中,点F 的对应点是F,求线段EF长度的 最大值与最小值的差。 简析: E 是定点, F
5、 是动点,要确定F点的运动路径。先确定线段AB 的 运动轨迹是圆环,外圆半径为BC,内圆半径为AB边上的高, F是 AB 上任意一点,因此F的运动轨迹是圆环内的任意一点,由此转化为点E 到 圆环的最短和最长路径。 E 到圆环的最短距离为EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8,E 到圆环的最长距离为 EF1=EC+CF1=3+6=9,其差为7.2 。 (三)动线(定点)位置需变换 线段变换的方法:(1)等值变换:翻折、平移; 实用文档 文案大全 (2)比例变换:三角、相似。 【翻折变换类】典型问题:“将军饮马” 例 4. 如图, AOB=30,点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点, O
6、P 平分AOB ,且 OP=6 ,当PMN的周长最小值为。 简析:动线段(或定点)应居于动点轨迹的两侧,本题的三条动线段PM 、 MN 、PN 在 OA 、OB 的内侧。所以本题的关键是把定线段变换到动点轨 迹的两侧,从而把三条动线段PM 、MN 、PN 转化为连接两点之间的路径。 如图,把点P 分别沿OA 、OB翻折得P1、P2,PMN的周长转化为 P1M+MN+P2N ,这三条线段的和正是连接两个定点P1、P2之间的路径, 从而转化为求P1、P2两点之间最短路径,得PMN的周长最小值为线段 P1P2OP 6。 例 5. 如图,在锐角 ABC 中,AB=4 ,BAC=45, BAC 的平分线
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