二次函数图像与性质完整归纳.pdf
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1、实用标准文档 文案大全 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式: 2 yax 的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2 yaxc 的性质: 上加下减。 3. 2 ya xh的性质: 左加右减。 4. 2 ya xhk 的性质: a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a向上 00, y轴 0x时,y随 x 的增大而增大;0x时,y随 x 的增大而减小;0x时,y有最小值0 0a向下 00,y轴 0x时,y随 x 的增大而减小;0x时,y随 x 的增大而增大;0x时,y有最大值0 a的符号开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a向上 0c, y轴 0x时,y
2、随 x 的增大而增大;0x时,y随 x 的增大而减小;0x时,y有最小值 c 0a向下 0c,y轴 0x时,y随 x 的增大而减小;0x时,y随 x 的增大而增大;0x时,y有最大值 c a 的符号开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a向上 0h, X=h xh时,y随 x 的增大而增大;xh时,y 随 x的增大而减小;xh时,y有最小值0 0a向下 0h,X=h xh时,y随 x 的增大而减小;xh时,y 随 x的增大而增大; xh时,y有最大值0 a 的符号开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a向上 hk, X=h xh时,y随 x 的增大而增大;xh时,y 随 x的增大而减小;xh时,y有最小值
3、k 0a向下 hk,X=h xh时,y随 x 的增大而减小;xh时,y 随 x的增大而增大;xh时,y有最大值k 实用标准文档 文案大全 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:将抛物线解析式转化成顶点式 2 ya xhk ,确定其顶点坐标hk,; 保持抛物线 2 yax 的形状不变,将其顶点平移到hk,处,具体平移方法如下: 向右 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位 y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2 y=ax 2+k y=ax2 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移,负左
4、移;k值正上移,负下移” 概括成八个字“左加右减,上加下减” 方法二: cbxaxy 2 沿y轴平移 :向上(下)平移m个单位,cbxaxy 2 变成 mcbxaxy 2 (或mcbxaxy 2 ) cbxaxy 2 沿轴平移:向左(右)平移m个单位,cbxaxy 2 变成 cmxbmxay)()( 2 (或cmxbmxay)()( 2 ) 三、二次函数 2 ya xhk与 2 yaxbxc的比较 从解析式上看, 2 ya xh k 与 2 yaxbxc是两种不同的表达形式,后者通过配 方可以得到前者,即 2 2 4 24 bacb ya x aa ,其中 2 4 24 bacb hk aa
5、, 四、二次函数 2 yaxbxc图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数 2 yaxbxc 化为顶点式 2 ()ya xhk,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为:顶点、与y轴的交点0c,、以及0c,关于对称轴对称的点2hc,、 与 x 轴的交点 1 0x , 2 0x ,(若与 x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与 y轴的交点 . 实用标准文档 文案大全 五、二次函数 2 yaxbxc的性质 1. 当0a时,抛物线开口向上,对称轴为 2 b x a ,
6、顶点坐标为 2 4 24 bacb aa , 当 2 b x a 时,y随 x 的增大而减小; 当 2 b x a 时,y随 x的增大而增大; 当 2 b x a 时,y有最小值 2 4 4 acb a 2. 当0a时,抛物线开口向下,对称轴为 2 b x a ,顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ,当 2 b x a 时,y随 x 的增大而增大;当 2 b x a 时,y随 x 的增大而减小;当 2 b x a 时,y 有最大值 2 4 4 acb a 六、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式: 2 yaxbxc ( a ,b, c 为常数,0a) ; 2. 顶点式: 2 ()ya
7、xhk ( a ,h,k为常数,0a) ; 3. 两根式: 12 ()()ya xxxx(0a, 1 x , 2 x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标) . 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写 成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即 2 40bac时,抛物线的解析式才可以用交 点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数 2 yaxbxc 中, a作为二次项系数,显然0a 当0a时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; 当0a时,抛物线开口向下,a的值
8、越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大 总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a 的大小决 定开口的大小 2. 一次项系数b 在二次项系数a 确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴 在0a的前提下, 当0b时,0 2 b a ,即抛物线的对称轴在y轴左侧; 当 0b 时,0 2 b a ,即抛物线的对称轴就是y轴; 当0b时,0 2 b a ,即抛物线对称轴在y轴的右侧 实用标准文档 文案大全 在 0a 的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b时,0 2 b a ,即抛物线的对称轴在y轴右侧; 当0b时,0 2 b a ,即抛物线的对称轴就是y轴; 当0b时,0 2
9、 b a ,即抛物线对称轴在y轴的左侧 总结起来,在a 确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置 ab的符号的判定:对称轴 a b x 2 在y轴左边则0ab,在y轴的右侧则0ab, 概括的说就是“左同右异” 总结: 3. 常数项 c 当0c时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正; 当0c时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0; 当0c时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总结起来,c 决定了抛物线与y轴交点的位置 总之,只要abc, , 都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确
10、定二次函数解析式,通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的 解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便一般来说,有如下几种情 况: 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式 八、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称 2 ya xb xc关于 x轴对称后,得到的解析式是 2 yaxbx c ; 2 ya xhk 关于 x 轴对称后,得到的
11、解析式是 2 ya xh k ; 2. 关于y轴对称 2 ya xb xc关于y轴对称后,得到的解析式是 2 yaxbx c; 2 ya xhk 关于y轴对称后,得到的解析式是 2 ya xh k ; 实用标准文档 文案大全 3. 关于原点对称 2 ya xb xc关于原点对称后,得到的解析式是 2 yaxbx c; 2 yaxhk 关于原点对称后,得到的解析式是 2 ya xh k ; 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180) 2 ya xb xc关于顶点对称后,得到的解析式是 2 2 2 b yaxbxc a ; 2 ya xhk 关于顶点对称后,得到的解析式是 2 ya xh k
12、 5. 关于点mn,对称 2 ya xhk 关于点mn,对称后,得到的解析式是 2 22ya xhmnk 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此 a 永远不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适 的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确 定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式 二次函数图像参考: 十 一、 y=2(x-4) 2-3 y=2(x-4) 2 y=2x 2 y= x 2 2 y=2x 2 y=x 2 y=-2x 2 y= -x 2 y= - x
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