【2019西城一模】北京市西城区2019届高三一模试卷-数学理.pdf
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1、北京市西城区 2019年高三一模试卷 数学(理科) 2019.4 第卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共8 小题,每小题5分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项 1设全集UR,集合2|0Axx,|1Bx x,则集合() U ABe() (A)(,2(B)(,1( C)(2,)(D)2,) 2. 已知平面向量(2,1)a,(1,1)b,( 5,1)c. 若()/kabc,则实数k的值为() (A)2(B) 1 2 ( C) 11 4 (D) 11 4 3在极坐标系中,过点 (2,) 2 且与极轴平行的直线方程是() (A)2(B) 2 ( C)cos2(D
2、)sin=2 4执行如图所示的程序框图,如果输入2,2ab,那么输出的a 值为() (A)4 (B)16 (C)256 (D) 3 log 16 5下列函数中,对于任意xR,同时满足条件( )()f xfx和 ( )( )f xf x 的函数是 () (A)( )sinf xx( B)( )sincosf xxx 开始 b aa 3 log4a 输出 a 结束 否 是 输入a, b (C) ( )cosf xx (D) 22 ( )cossinf xxx 6 “8m”是“方程 22 1 108 xy mm 表示双曲线”的() (A)充分而不必要条件( B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(
3、 D)既不充分也不必要条件 7某企业为节能减排,用9 万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2 万元,从第 二年起,每年运营费用均比上一年增加2 万元,该设备每年生产的收入均为11 万元 . 设该设 备使用了()n n N年后,年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n 等于 () (A)3(B)4(C)5 (D)6 8. 如图,设P为正四面体ABCD表面(含棱)上与顶点不重合 的一点,由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M,如果集合 M 中有且只有2 个元素,那么符合条件的点P 有() (A) 4个(B)6 个(C)10 个(D)14 个 B A D C . P 第卷(
4、非选择题共 110 分) 二、填空题:本大题共6小题,每小题5 分,共 30 分 9设复数 1i i 2i xy ,其中,x yR,则xy_ 10. 若抛物线 2 :2C ypx的焦点在直线240xy上,则p_;C的准线方程为_ 11 已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2, 它的俯视图是一个边长为2 的正三角形, 那么它的侧(左) 视图面积的最小值是_. 12若不等式组 1, 0, 26, a x y xy xy 表示的平面区域是一个四边形,则实数a的取值范围是_. 13. 科技活动后, 3 名辅导教师和他们所指导的3 名获奖学生合影留念(每名教师只指导一名学生), 要求 6 人排成一排,且学生
5、要与其指导教师相邻,那么不同的站法种数是_. (用数字作答) 14如图,在直角梯形ABCD中,/AB CD,ABBC,2AB,1CD,(0)BCa a,P 为线段 AD(含端点)上一个动点,设 APxAD,PB PCy,对于函数( )yf x,给出以下 三个结论: 1当2a时,函数( )f x的值域为1,4; 2(0,)a,都有(1)1f成立; 3(0,)a,函数( )f x的最大值都等于4. A B D C P 其中所有正确结论的序号是_. 三、解答题:本大题共6小题,共80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15 (本小题满分13 分) 在ABC 中,角 A,B,C 所对的边
6、分别为a,b,c. 已知 222 bcabc. ()求A的大小; ()如果 6 cos 3 B,2b,求 ABC 的面积 . 16 (本小题满分13 分) 在某批次的某种灯泡中,随机地抽取200 个样品,并对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率 分布表如下 . 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命大于或等于500 天的灯泡 是优等品,寿命小于300 天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品. 寿命(天)频数频率 100,200) 20 0.10 200,300) 30 a 300,400) 70 0.35 400,500) b0.15 500,600) 50 0.25 合计200 1
7、()根据频率分布表中的数据,写出a, b 的值; () 某人从灯泡样品中随机地购买了() n nN个,如果这 n 个灯泡的等级情况恰好与按 三个 等级分层抽样 所得的结果相同,求n 的最小值; ()某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3 个进行使用,若以上述频率作为概率,用X 表 示此人所购买的灯泡中次品的个数,求X的分布列和数学期望. 17 (本小题满分14 分) 如图,在四棱柱 1111 ABCDAB C D中,底面ABCD和侧面 11 BCC B都是矩形, E 是CD的中点, 1 D ECD, 22ABBC . ()求证: 1 BCD E; ()求证: 1 B C/ 平面1 BED; ()
8、若平面 11 BCC B与平面 1 BED所成的锐二面角的大小为 3 ,求线段 1 D E的长度 . 18 (本小题满分13 分) 已知函数 2 ln, ( ) 23, xxxa f x xxxa 其中0a ()当0a时,求函数( )f x 的图象在点(1, (1)f处的切线方程; ()如果对于任意 12 ,x xR ,且 12 xx ,都有 12 ()()f xf x,求 a 的取值范围 . 19 (本小题满分14 分) 已知椭圆 2 2 1 2 x Wy:,直线l 与 W 相交于,M N两点,l与 x 轴、y轴分别相交于C、D两 点, O 为坐标原点 . ()若直线l的方程为210xy,求
9、OCD外接圆的方程; ()判断是否存在直线l,使得,C D是线段MN的两个三等分点,若存在,求出直线l 的方 AB A1 B1 DC E D1 C1 程;若不存在,说明理由. 20 (本小题满分13 分) 在数列 n a中, 1 () n an n N. 从数列 n a中选出(3)k k 项并按原顺序组成的新数列记为 n b,并称 n b为数列 n a的k项子列 . 例如数列 1 1 1 1 , 2 3 5 8 为 n a的一个 4 项子列 . ()试写出数列 n a的一个 3 项子列,并使其为等差数列; ()如果 n b为数列 n a的一个5 项子列,且 n b为等差数列,证明: n b的公
10、差d满足 1 0 8 d; ( ) 如 果 n c为 数 列 n a的 一 个(3)m m项 子 列 , 且 n c为 等 比 数 列 , 证 明 : 123 1 1 2 2 m m cccc . 北京市西城区2019 年高三一模试卷参考答案及评分标准 高三数学 (理科) 2019.4 一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共 40 分. 1C 2B 3D 4C 5D 6A 7A 8C 二、填空题:本大题共6 小题,每小题5 分,共 30 分. 9 2 5 1084x 112 312(3,5) 1348142 ,3 注:第 10 题第一问2 分,第二问3 分. 第 14 题若有错选、多选
11、不得分. 三、解答题:本大题共6 小题,共80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15 (本小题满分13 分) () 解:因为 222 bcabc, 所以 222 1 cos 22 bca A bc ,3 分 又因为(0, )A, 所以 3 A. 5 分 () 解:因为 6 cos 3 B,(0, )B, 所以 2 3 sin1cos 3 BB. 7 分 由正弦定理 sinsin ab AB ,9 分 得 sin 3 sin bA a B . 10 分 因为 222 bcabc, 所以 2 250cc, 解得16c, 因为0c, 所以61c. 11 分 故ABC 的面积 13 23
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