上海市黄浦区2018-2019学年高二上期末数学试卷含答案解析.pdf
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1、第 1 页(共 17 页) 2018-2019 学年上海市黄浦区高二(上)期末数学试卷 一、填空题(本大题满分48 分)本大题共有12 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内 直接填写结果,每题填对得4 分,否则一律得零分. 1椭圆 x2 +4y 2=100 的长轴长为 _ 2已知直线l 的一个方向向量的坐标是 ,则直线l 的倾斜角为 _ 3已知二元一次方程组的增广矩阵是 ,则此方程组的解是 _ 4行列式 中 3 的代数余子式的值为_ 5已知 ABC 的三个顶点分别为A(1,2) ,B(4,1) ,C(3,6) ,则 AC 边上的中线BM 所在直线的方程为_ 6已知直线l1的方程为 3xy+1=
2、0,直线 l2的方程为2x+y3=0,则两直线l1 与 l 2的夹角 是_ 7用数学归纳法证明“ 1+ + n(nN *,n1)” 时,由 n=k(k 1)不等式 成立,推证n=k+1 时,左边应增加的项数是_ 8执行如图所示的程序框图,若输入p 的值是 6,则输出 S的值是 _ 9若圆 C 的方程为x2+y22ax1=0,且 A( 1,2) , B( 2,1)两点中的一点在圆 C 的 内部,另一点在圆C 的外部,则a 的取值范围是 _ 10若,且存在,则实数a 的取值范围是_ 第 2 页(共 17 页) 11已知直线l1过点 P(1, 4)且与 x 轴交于 A 点,直线 l2过点 Q(3,
3、1)且与 y 轴交 于 B 点,若 l1 l 2,且 ,则点 M 的轨迹方程为 _ 12如图所示,ABC 是边长为4 的等边三角形,点P是以点 C 为圆心、 3 为半径的圆上 的任意一点,则的取值范围是 _ 二、选择题(本大题满分16 分)本大题共有4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得4 分,否则一律得零分. 13点( a,b)关于直线x+y=1 的对称点的坐标是() A (1b,1a)B (1a, 1b) C ( a, b)D ( b, a) 14若位于x 轴上方、且到点 A( 2,0)和 B(2,0)的距离的平方和为18 的点的轨迹
4、 为曲线 C,点 P 的坐标为( a,b) ,则 “” 是“ 点 P 在曲线 C 上” 的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D既非充分又非必要条件 15在圆 x2+y22x6y=15 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC 和 BD,则 | AC| ?| BD | 的值为() A B C D 16 对数列 an , bn, 若对任意的正整数 n, 都有 an+1 , b n+1 ? an , b n 且 , 则称 a1,b1 , a2,b2 , 为区间套下列选项中,可以构成区间套的数列是() A B C D 三、解答题(本大题满分56 分)本大题共有5 题,解
5、答下列各题必须在答题卷的相应编号 规定区域内写出必要的步骤. 17已知两直线l1: x+(m+1)y+m2=0,l2:mx+2y+8=0 (1)当 m 为何值时,直线l1 与 l 2垂直; (2)当 m 为何值时,直线l1与 l2平行 18在直角 ABC 中, C 是直角,顶点A,B 的坐标分别为( 4,4) , (2, 4) ,圆 E 是 ABC 的外接圆 (1)求圆 E 的方程; (2)求过点M(4,10)且与圆E 相切的直线的方程 19已知是不平行的两个向量, k 是实数,且 (1)用表示; 第 3 页(共 17 页) (2)若,记,求 f(k)及其最小值 20在数列 an中,且对任意
6、nN *,都有 (1)计算 a2,a3,a4,由此推测 an的通项公式,并用数学归纳法证明; (2)若,求无穷数列 bn的各项之和与最大项 21已知点P 是曲线上的动点,延长PO(O 是坐标原点)到Q,使得 | OQ| =2| OP| ,点 Q 的轨迹为曲线C2 (1)求曲线C2的方程; (2)若点 F1,F2分别是曲线C1的左、右焦点,求 的取值范围; (3)过点 P 且不垂直x 轴的直线l 与曲线 C2交于 M,N 两点,求 QMN 面积的最大值 第 4 页(共 17 页) 2018-2019 学年上海市黄浦区高二(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题(本大题满分48 分)本大
7、题共有12 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内 直接填写结果,每题填对得4 分,否则一律得零分. 1椭圆 x 2 +4y 2=100 的长轴长为 20 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 利用椭圆的简单性质求解 【解答】 解:椭圆x2 +4y 2=100 化为标准形式,得: =1, a=10,b=5, 椭圆 x 2+4y2=100 的长轴长为 2a=20 故答案为: 20 2已知直线l 的一个方向向量的坐标是 ,则直线l 的倾斜角为 【考点】 直线的倾斜角 【分析】 设直线 l 的倾斜角为 , 0, ) ,则 tan =,即可得出 【解答】 解:设直线l 的倾斜角为 , 0, ) ,则 ta
8、n =, = 故答案为: 3已知二元一次方程组的增广矩阵是 ,则此方程组的解是 【考点】 系数矩阵的逆矩阵解方程组 【分析】 先利用增广矩阵,写出相应的二元一次方程组,然后再求解即得 【解答】 解:由题意,方程组 解之得 故答案为 第 5 页(共 17 页) 4行列式中 3 的代数余子式的值为5 【考点】 三阶矩阵 【分析】 写出行列式的3 的代数余子式,再计算,即可得到结论 【解答】 解:由题意,行列式中 3 的代数余子式为=( 3+2)= 5 故答案为: 5 5已知 ABC 的三个顶点分别为A(1,2) ,B(4,1) ,C(3,6) ,则 AC 边上的中线 BM 所在直线的方程为3x2y
9、+2=0 【考点】 待定系数法求直线方程 【分析】 由 AC 的中点 M(2,4) ,利用两点式方程能求出AC 边上的中线所在的直线方程 【解答】 解: AC 的中点 M(2,4) , AC 边上的中线BM 所在的直线方程为: =, 整理,得3x2y+2=0, 故答案为: 3x2y+2=0 6已知直线l1的方程为 3xy+1=0,直线 l2的方程为2x+y3=0,则两直线l1与 l2的夹角 是 【考点】 两直线的夹角与到角问题 【分析】 设直线 l1 与 l 2的夹角的大小为 ,求出直线的斜率,则由题意可得 tan =| | =1,由此求得的值 【解答】 解:设直线l1与 l2的夹角的大小为
10、,则 0, ) , 由题意可得直线l1的斜率为 3,直线 l2的斜率为 2, tan =| =1,解得 =, 故答案为: 7用数学归纳法证明“ 1+ + n(nN *,n1)” 时,由 n=k(k 1)不等式 成立,推证n=k+1 时,左边应增加的项数是2k 【考点】 数学归纳法 第 6 页(共 17 页) 【分析】 观察不等式左侧的特点,分母数字逐渐增加1,末项为,然后判断n=k+1 时增加的项数即可 【解答】 解:左边的特点:分母逐渐增加1,末项为; 由 n=k,末项为到 n=k+1,末项为,应增加的项数为2k 故答案为2k 8执行如图所示的程序框图,若输入p 的值是 6,则输出 S的值是
11、 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图及已知中p 输入 6,可得:进入循环的条件为n6,即 n=1, 2, ,5,模拟程序的运行结果,即可得到输出的S 值 【解答】 解:当 n=1 时, S=0+21= ; 当 n=2 时, S= +2 2= ; 当 n=3 时, S=+23= ; 当 n=4 时, S=+2 4= ; 当 n=5 时, S= +2 5= ; 当 n=6 时,退出循环, 第 7 页(共 17 页) 则输出的 S 为: 故答案为: 9若圆 C 的方程为x 2 +y 22ax1=0,且 A( 1,2) , B( 2,1)两点中的一点在圆 C 的 内部,另一点在圆C 的外
12、部,则a 的取值范围是( , 2)( 1,+) 【考点】 点与圆的位置关系 【分析】 根据 A,B 与圆的位置关系讨论列出不等式解出 a 【解答】 解: (1)若 A 在圆内部, B 在圆外部,则,解得 a 2 (2)若 B 在圆内部, A 在圆外部,则,解得 a1 综上, a 的取值范围是(, 2)( 1,+) 故答案为( , 2)( 1,+) 10若,且存在, 则实数 a 的取值范围是1a 2 【考点】 极限及其运算 【分析】 根据得出 11,再根据存在得 出 11,由此求出实数a 的取值范围 【解答】 解:, =, 第 8 页(共 17 页) 11, 解得 4a2; 又存在, 11, 解
13、得 1a3; 综上,实数a 的取值范围是1a 2 故答案为: 1a2 11已知直线l1过点 P(1, 4)且与 x 轴交于 A 点,直线 l2过点 Q(3, 1)且与 y 轴交 于 B 点,若 l1l2,且,则点 M 的轨迹方程为9x+6y+1=0 【考点】 轨迹方程;向量数乘的运算及其几何意义 【分析】 先设 M( x,y) ,可讨论l1是否存在斜率: (1)不存在斜率时,可求出A(1,0) , B(0, 1) ,从而由可以求出x=,即点 M() , ( 2)存在斜 率时,可设斜率为k,从而可以分别写出直线l1 ,l 2的方程,从而可以求出 ,这样根据便可用 k 分别表示出x,y,这样消去
14、k 便可得出关于x,y 的方程, 并验证点是否满足该方程,从而便得出点M 的 轨迹方程 【解答】 解:设 M(x,y) , (1)若 l1不存在斜率,则: l1垂直 x 轴, l2垂直 y 轴; A(1,0) ,B(0, 1) ; 由得, (x 1,y)=2( x, 1y) ; ; ; 即; (2)若 l1斜率为 k,l2斜率为 ,则: l1:y4=k(x1) ,令 y=0,x=; ; 第 9 页(共 17 页) l2:,令 x=0,y=; ; 由得,; ; 消去 k 并整理得: 9x+6y+1=0; 点满足方程9x+6y+1=0; 综( 1) (2)知,点M 的轨迹方程为9x+6y+1=0
15、故答案为: 9x+6y+1=0 12如图所示,ABC 是边长为 4 的等边三角形,点P是以点 C 为圆心、 3 为半径的圆上 的任意一点,则的取值范围是 20,4 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 首先建立平面直角坐标系:以C 为原点,平行于AB 的直线为x 轴,这样便可建 立坐标系,然后便可根据条件确定出A,B 点的坐标,并根据题意设P( 3cos ,3sin ) ,从 而可求出的坐标,进行数量积的坐标运算便得出,这样根 据 1cos 1 便可求出的取值范围 【解答】 解:如图,以C 为坐标原点,以平行于AB 的直线为 x 轴,垂直于AB 的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则: ;
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