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1、中考复习之正比例函数与反比例函数 知识考点: 1、掌握正、反比例函数的概念; 2、掌握正、反比例函数的图象的性质; 3、会用待定系数法求正、反比例函数的解析式。 精典例题: 【例 1】填空: 1、若正比例函数 135 2 )1( mm xmy的图象经过二、四象限,则这个正比例函数的 解析式是。 2、已知点 P (1,a)在反比例函数 x k y(k 0)的图像上, 其中32 2 mma (m为实数),则这个函数的图像在第象限。 3、如图,正比例函数kxy(k0)与反比例函数 x y 3 的图像交于A、C 两点, AB x轴于 B,CDx轴于 D,则 ABCD S四边形 。 y x 例 1 图
2、O D C B A y x 例 2 图 P D C B A O 答案: 1、xy3;2、一、三; 3、6;4、 (2, 4) 【例 2】如图,直线bxy(b0)与双曲线 x k y(k0)在第一象限的一 支相交于A、B 两点,与坐标轴交于C、D 两点, P 是双曲线上一点,且PDPO。 (1)试用k、b表示 C、 P 两点的坐标; (2)若 POD 的面积等于1,试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式; (3)若 OAB 的面积等于34,试求 COA 与 BOD 的面积之和。 解析: ( 1)C(0,b) ,D(b,0) POPD 22 bOD xP, b k yP 2 P( 2 b , b
3、k2 ) ( 2)1 POD S,有1 2 2 1 b k b,化简得:k1 x y 1 (x0) ( 3)设 A( 1 x, 1 y) ,B( 2 x, 2 y) ,由 AOBCODBODCOA SSSS得: 34 2 1 2 1 2 1 2 21 bbybx, 又bxy 22 得38)( 2 21 bbxbbx, 即 38)( 12 xxb得1924)( 21 2 21 2 xxxxb,再由 x y bxy 1 得01 2 bxx, 从而bxx 21 ,1 21x x,从而推出0)12)(4)(4( 2 bbb,所以4b。 故 348 BODCOA SS 评注:利用面积建立方程求解析式中的
4、字母参数是常用方法。求两函数图像的交点坐 标,即解由它们的解析式组成的方程组。 探索与创新: 【问题】如图,已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线,这条直线和x轴、y轴分 别交于点A 和点 B, 且 OA OB1。这条曲线是函数 x y 2 1 的图像在第一象限的一个分 支,点 P 是这条曲线上任意一点,它的坐标是(a、b) ,由点 P 向x轴、y轴所作的垂 线 PM、PN,垂足是M、N,直线 AB 分别交 PM、PN 于点 E、F。 ( 1)分别求出点E、F 的坐标(用a的代数式表示点 E 的坐标,用b的代数式表示点F 的坐标, 只须写出结果, 不要求写出计算过程) ; ( 2)求 OEF 的
5、面积(结果用含a、b的代数式表 示) ; ( 3) AOF 与 BOE 是否一定相似,请予以证明。 如果不一定相似或一定不相似,简要说明理由。 ( 4)当点 P在曲线 x y 2 1 上移动时, OEF 随之变 动,指出在 OEF 的三个内角中, 大小始终保持不变的那 个角的大小,并证明你的结论。 )(baP, y x 问题图 F E N M B AO 解析: ( 1)点 E(a, a1 ) ,点 F( b1 ,b) ( 2) EPFFNOEMOMONPEOF SSSSS 矩形 2 )1( 2 1 )1 ( 2 1 )1( 2 1 babbaaab )1( 2 1 ba (3) AOF 与 B
6、OE 一定相似,下面给出证明 OAOB1 FAO EBO BEaaa2)11( 22 AFbbb2)11( 22 点 P(a,b)是曲线 x y 2 1 上一点 12ab,即 AFBEOBOA 1 BE OA OB AF AOF BOE (4)当点 P 在曲线 x y 2 1 上移动时, OEF 中 EOF 一定等于45 0,由( 3) 知, AFO BOE ,于是由 AFO B BOF 及 BOE BOF EOF EOF B45 0 评注:此题第(3) (4)问均为探索性问题,(4)以( 3)为基础,在肯定(3)的结 论后, (4)的解决就不难了。在证明三角形相似时,EBO OAF 是较明显
7、的,关键是 证明两夹边对应成比例,这里用到了点P(a,b)在双曲线 x y 2 1 上这一重要条件,挖 掘形的特征,并把形的因素转化为相应的代数式形式是解本题的关键。 跟踪训练: 一、选择题: 1、下列命题中: 函数xy3(2x5)的图像是一条直线; 若y与 z3 成反比例,z与x成正比例,则y与x成反比例; 如果一条双曲线经过点(a,b) ,那么它一定同时经过点(b,a) ; 如果 P1( 1 x, 1 y) ,P2( 2 x, 2 y) ,是双曲线 x y 4 同一分支上的两点,那么当 )(baP, y x 问题图 F E N M B AO 1 x 2 x时, 1 y 2 y。 正确的个数
8、有() A、 1 个B、2 个C、3 个D、4 个 2、已知 M 是反比例函数 x k y(k 0)图像上一点,MA x轴于 A,若4 AOM S, 则这个反比例函数的解析式是() A、 x y 8 B、 x y 8 C、 x y 8 或 x y 8 D、 x y 4 或 x y 4 3、在同一坐标系中函数kxy和 x k y 1 的大致图像必是() x y x y x y x y A B C D 4、在反比例函数 x m y 2 1 的图像上有三点( 1 x, 1 y) , ( 2 x, 2 y) , ( 3 x, 3 y)若 1 x 2 x0 3 x,则下列各式正确的是() A、 3 y
9、1 y 2 yB、 3 y 2 y 1 y C、 1 y 2 y 3 yD、 1 y 3 y 2 y 5、在同一坐标系内,两个反比例函数 x k y 1 的图像与反比例函数 x k y 3 的图像 (k 为常数)具有以下对称性:既关于x轴,又关于y轴成轴对称,那么k的值是() A、 3 B、2 C、1 D、0 二、填空题: 1、若反比例函数 72 2 )5( mm xmy在每一个象限内,y随x的增大而增大,则m 。 2、A、B 两点关于y轴对称, A 在双曲线 x y 1 上,点 B 在直线xy上,则 A 点 坐标是。 3、已知双曲线 x k y上有一点A(m,n) ,且m、n是方程024 2
10、 tt的两根, 则k,点 A 到原点的距离是。 4、已知直线xnmy)2(与双曲线 x mn y 3 相交于点 ( 2 1 , 2) ,那么它们的另一个交点为。 5、如图, RtAOB 的顶点 A 是一次函数3mxy的图像 与反比例函数 x m y的图像在第二象限的交点,且1 ABO S,则A 点坐标是。 三、解答题: 1、如图,直线l交x轴、y轴于点 A、B,与反比例函数的图像交于C、D 两点,如 果 A( 2,0) ,点 C、D 分别在一、三象限,且OAOBAC BD,求反比例函数的解析 式。 第 1 题图 x y D C B AO 2、已知 21 yyy, 1 y与 2 x成正比例, 2
11、 y与1x成反比例,当x 1 时,y 3;当x2 时,y 3, (1)求y与x之间的函数关系式; (2)当2x时,求 y的值。 选择第 5 题图 x y BO A 3、如图,反比例函数 x y 8 与一次函数2xy的图像交于A、B 两点。 (1)求 A、B 两点的坐标; (2)求 AOB 的面积。 第 3 题图 x y N M B A O 4、如图,已知双曲线 x y 16 3 (x0)与经过点A(1,0) ,B(0,1)的直线交于 P、Q 两点,连结OP、OQ。 (1)求证: OAQ OBP; (2)若 C 是 OA 上不与 O、A 重合的任意一点,CAa)10(a,CDAB 于 D, DEOB 于 E。a为何值时, CEAC ?线段OA 上是否存在点C,使 CEAB?若存 在这样的点,则请写出点C 的坐标;若不存在,请说明理由。 a 第 4 题图 x y E C Q D P B AO 参考答案 一、选择题: CCCAC 二、填空题: 1、2;2、 (1,1)或( 1, 1) ; 3、2k,52;4、 ( 2 1 ,2) 5、 ( 1,2) 三、解答题: 1、 x y 222 ;2、 (1) 1 5 2 12 x xy; (2)2 2 9 5; 3、 (1) A( 2,4) ,B( 4, 2) ; (2)6; 4、 (1)略; (2)324a;存在, C( 3 1 ,0)
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