《中考数学与圆有关的压轴题.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学与圆有关的压轴题.pdf(12页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、学习资料收集于网络,仅供参考 学习资料 中考数学与圆有关的压轴题(解答题部分3) 11 (2014?四川成都 , 第 27 题 10 分)如图,在O的内接 ABC中,ACB=90 , AC=2BC ,过 C作 AB的垂线 l 交O于另一点 D,垂足为 E设 P是上异于 A, C的一个动点,射线AP交 l 于点 F,连接 PC与 PD ,PD交 AB于点 G (1)求证: PAC PDF ; (2)若 AB=5 ,=,求 PD的长; (3) 在点 P运动过程中,设=x, tan AFD=y , 求 y 与 x 之间的函数关系式(不 要求写出 x 的取值范围) 考 点: 圆的综合题 分 析: (1
2、)证明相似,思路很常规,就是两个角相等或边长成比例因为题中因 圆周角易知一对相等的角,那么另一对角相等就是我们需要努力的方向, 因为涉及圆,倾向于找接近圆的角DPF ,利用补角在圆内作等量代换,等 弧对等角等知识易得 DPF= APC ,则结论易证 (2)求 PD的长,且此线段在上问已证相似的PDF中,很明显用相似得 成比例,再将其他边代入是应有的思路利用已知条件易得其他边长,则 PD可求 (3)因为题目涉及 AFD与也在第一问所得相似的PDF中,进而考虑转 化, AFD= PCA ,连接 PB得AFD= PCA= PBG ,过 G点作 AB的垂线, 若此线过 PB与 AC的交点那么结论易求,
3、因为根据三角函数或三角形与三 角形 ABC相似可用 AG表示 PBG 所对的这条高线但是“此线是否过PB 与 AC的交点”?此时首先需要做的是多画几个动点P, 观察我们的猜想验 证得我们的猜想应是正确的, 可是证明不能靠画图, 如何求证此线过 PB与 AC的交点是我们解题的关键常规作法不易得此结论,我们可以换另外的 辅助线作法,先做垂线,得交点H,然后连接交点与B,再证明 HBG= PCA= AFD 因为 C、D关于 AB对称,可以延长CG考虑 P点的对 称点根据等弧对等角,可得HBG= PCA ,进而得解题思路 解 答: (1)证明:, 学习资料收集于网络,仅供参考 学习资料 DPF=180
4、 APD=180 所对的圆周角 =180所对的圆周 角=所对的圆周角 =APC 在PAC和PDF中, , PAC PDF (2)解:如图 1,连接 PO ,则由,有 PO AB ,且PAB=45 ,APO 、 AEF都为等腰直角三角形 在 RtABC 中, AC=2BC , AB 2=BC2+AC2=5BC2, AB=5 , BC=, AC=2, CE=AC ?sin BAC=AC?=2?=2, AE=AC?cosBAC=AC?=2?=4, AEF为等腰直角三角形, EF=AE=4 , FD=FC+CD=(EF CE )+2CE=EF+CE=4+2=6 APO 为等腰直角三角形, AO= ?A
5、B= , AP= PDF PAC , , , 学习资料收集于网络,仅供参考 学习资料 PD= (3)解:如图 2,过点 G作 GH AB ,交 AC于 H ,连接 HB ,以 HB为直径作 圆,连接 CG并延长交 O于 Q , HC CB ,GH GB , C 、G都在以 HB为直径的圆上, HBG= ACQ , C 、D关于 AB对称, G在 AB上, Q 、P关于 AB对称, , PCA= ACQ , HBG= PCA PAC PDF , PCA= PFD= AFD , y=tanAFD=tanPCA=tan HBG= HG=tan HAG ?AG=tanBAC ?AG=, y=x 点 评
6、: 本题考查了圆周角、相似三角形、三角函数等性质,前两问思路还算简单, 但最后一问需要熟练的解题技巧需要长久的磨练总结总体来讲本题偏难, 学生练习时加强理解,重点理解分析过程,自己如何找到思路 12. (2014?湖北荆门 , 第 24 题 12 分)如图,已知:在矩形 ABCD 的边 AD上有 一点 O ,OA=,以 O为圆心, OA长为半径作圆,交AD于 M ,恰好与 BD相切于 H,过 H作弦 HP AB ,弦 HP=3 若点 E是 CD边上一动点(点 E与 C ,D不重合) , 过 E作直线 EF BD交 BC于 F,再把 CEF沿着动直线 EF对折,点 C的对应点为 G 设 CE=x
7、 ,EFG与矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S (1)求证:四边形 ABHP 是菱形; (2)问 EFG 的直角顶点 G能落在 O上吗?若能,求出此时x 的值;若不能, 请说明理由; (3)求 S与 x 之间的函数关系式,并直接写出FG与O相切时, S的值 学习资料收集于网络,仅供参考 学习资料 第 3 题图 考点: 圆的综合题;含 30 度角的直角三角形;菱形的判定;矩形的性质;垂径 定理;切线的性质;切线长定理;轴对称的性质;特殊角的三角函数值所有 专题: 压轴题 分析: (1)连接 OH ,可以求出 HOD=60 ,HDO=30 ,从而可以求出 AB=3 , 由 HP AB ,HP=3
8、可证到四边形 ABHP 是平行四边形,再根据切线长定理可得 BA=BH ,即可证到四边形 ABHP 是菱形 (2)当点 G落到 AD上时,可以证到点G与点 M重合,可求出 x=2 (3)当 0x2 时,如图, S=SEGF,只需求出 FG ,就可得到 S与 x 之间的函 数关系式;当 2x3 时,如图, S=SGEFSSGR,只需求出 SG 、RG ,就可得到 S与 x 之间的函数关系式当FG与O相切时,如图,易得FK=AB=3 ,KQ=AQ AK=2 2+x再由 FK=KQ即可求出 x,从而求出 S 解答: 解: (1)证明:连接 OH ,如图所示 四边形 ABCD 是矩形, ADC= BA
9、D=90 ,BC=AD ,AB=CD HP AB , ANH+ BAD=180 ANH=90 HN=PN=HP= OH=OA= , sin HON= = HON=60 BD与O相切于点 H, OH BD HDO=30 OD=2 学习资料收集于网络,仅供参考 学习资料 AD=3 BC=3 BAD=90 , BDA=30 tan BDA= = AB=3 HP=3 , AB=HP AB HP , 四边形 ABHP 是平行四边形 BAD=90 ,AM 是O的直径, BA与O相切于点 A BD与O相切于点 H, BA=BH 平行四边形 ABHP 是菱形 (2)EFG 的直角顶点 G能落在 O上 如图所示
10、,点 G落到 AD上 EF BD , FEC= CDB CDB=90 30=60, CEF=60 由折叠可得: GEF= CEF=60 GED=60 CE=x , GE=CE=x ED=DC CE=3 x cosGED= = x=2 GE=2 ,ED=1 GD= OG=ADAO GD=3= OG=OM 点 G与点 M重合 此时 EFG的直角顶点 G落在 O上,对应的 x 的值为 2 学习资料收集于网络,仅供参考 学习资料 当 EFG的直角顶点 G落在 O上时,对应的 x 的值为 2 (3)如图, 在 RtEGF中, tan FEG= = FG=x S=GE ?FG=x ?x=x 2 如图, E
11、D=3 x,RE=2ED=6 2x, GR=GEER=x (62x)=3x6 tan SRG= =, SG=(x2) SSGR=SG ?RG= ?(x2)?(3x6) =(x2) 2 SGEF=x 2, S=SGEFSSGR =x 2 (x2) 2 =x 2+6 x6 综上所述:当 0x2 时,S=x 2;当 2x3 时,S= x 2+6 x6 当 FG与O相切于点 T时,延长 FG交 AD于点 Q ,过点 F 作 FK AD ,垂足为 K, 如图所示 学习资料收集于网络,仅供参考 学习资料 四边形 ABCD 是矩形, BC AD ,ABC= BAD=90 AQF= CFG=60 OT=, O
12、Q=2 AQ=+2 FKA= ABC= BAD=90 , 四边形 ABFK是矩形 FK=AB=3 ,AK=BF=3 x KQ=AQAK= (+2)( 3x)=22+x 在 RtFKQ中,tanFQK= = FK=QK 3=(22+x) 解得: x=3 032, S=x 2= (3) 2 =6 FG与O相切时, S的值为6 点评: 本题考查了矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径 定理、轴对称性质、特殊角的三角函数值、 30角所对的直角边等于斜边的一半、 等腰三角形的性质等知识,综合性非常强 13 (2014?莱芜,第 23 题 10分)如图 1,在O中,E是弧 AB的中点, C为
13、O 上的一动点(C与 E在 AB异侧) , 连接 EC交 AB于点 F, EB=(r 是O的半径) (1)D为 AB延长线上一点,若DC=DF ,证明:直线 DC与O相切; (2)求 EF?EC的值; (3)如图 2,当 F是 AB的四等分点时,求EC的值 学习资料收集于网络,仅供参考 学习资料 考 点: 圆的综合题 . 专 题: 综合题 分 析: (1)连结 OC 、OE ,OE交 AB于 H,如图 1,由 E是弧 AB的中点,根据垂径 定理的推论得到 OE AB , 则HEF+ HFE=90 , 由对顶相等得 HFE= CFD , 则HEF+ CFD=90 ,再由 DC=DF 得CFD=
14、DCF ,加上 OCE= OEC ,所 以OCE+ DCE= HEF+ CFD=90 ,于是根据切线的判定定理得直线DC与 O相切; (2) 由弧 AE= 弧 BE , 根据圆周角定理得到 ABE= BCE ,加上 FEB= BEC , 于是可判断 EBF ECB ,利用相似比得到EF ?EC=BE 2=(r )2=r2; (3)如图 2,连结 OA ,由弧 AE= 弧 BE得 AE=BE=r ,设 OH=x ,则 HE=rx, 根据勾股定理,在RtOAH 中有 AH 2+x2=r2;在 RtEAH 中由 AH2+(r x) 2=(r)2,利用等式的性质得 x 2(r x)2=r2(r )2,
15、即得 x=r,则 HE=r r=r , 在 RtOAH 中, 根据勾股定理计算出AH=, 由 OE AB得 AH=BH , 而 F是 AB的四等分点,所以HF=AH=,于是在 RtEFH中可计算出 EF=r ,然后利用( 2)中的结论可计算出EC 解 答: (1)证明:连结 OC 、OE ,OE交 AB于 H,如图 1, E是弧 AB的中点, OE AB , EHF=90 , HEF+ HFE=90 , 而HFE= CFD , HEF+ CFD=90 , DC=DF , CFD= DCF , 而 OC=OE, OCE= OEC , OCE+ DCE= HEF+ CFD=90 , OC CD ,
16、 直线 DC与O相切; (2)解:连结 BC , 学习资料收集于网络,仅供参考 学习资料 E是弧 AB的中点, 弧 AE= 弧 BE , ABE= BCE , 而FEB= BEC , EBF ECB , EF :BE=BE :EC , EF ?EC=BE 2=(r )2=r2; (3)解:如图 2,连结 OA , 弧 AE= 弧 BE , AE=BE=r , 设 OH=x ,则 HE=rx, 在 RtOAH 中,AH 2+OH2=OA2,即 AH2+x2=r2, 在 RtEAH 中,AH 2+EH2=EA2,即 AH2+(r x)2=(r)2, x 2(r x)2=r2(r )2,即得 x=r
17、, HE=rr=r , 在 RtOAH 中,AH=, OE AB , AH=BH , 而 F是 AB的四等分点, HF=AH=, 在 RtEFH中,EF=r , EF ?EC=r 2, r ?EC=r 2, EC=r 学习资料收集于网络,仅供参考 学习资料 点 评: 本题考查了圆的综合题:熟练掌握垂径定理及其推论、切线的判定定理和 圆周角定理;会利用勾股定理进行几何计算,利用相似三角形的知识解决 有关线段等积的问题 14. (2014?乐山,第 26 题 12 分)如图, O1与O2外切与点 D,直线 l 与两 圆分别相切于点 A、B,与直线 O1 、O2相交于点 M ,且 tan AM01=
18、,MD=4 (1)求 O2的半径; (2)求 ADB 内切圆的面积; (3) 在直线 l 上是否存在点 P, 使MO2P 相似于 MDB ?若存在,求出 PO2的长; 若不存在,请说明理由 考 点: 圆的综合题 . 专 题: 综合题 分 析: (1)连结 O1A 、O2B ,设 O1的半径为 r ,O2的半径为 R,根据两圆相 切的性质得到直线O1O2过点 D ,则 MO2=MD+O2D=4 +R ,再根据切线的性 质由直线 l 与两圆分别相切于点A、B 得到 O1A AB ,O2B AB ,然后根据 特殊角的三角函数值得到AM01=30 ,在 RtMBO2 中,根据含 30 度的直 角三角形
19、三边的关系得MO2=O2B=2R,于是有 4+R=2R ,解得 R=4; (2)利用互余由 AM02=30 得到 MO2B=60,则可判断 O2BD为等边 三角形,所以BD=O2B=4 ,DBO2=60 ,于是可计算出 ABD=30 ,同 样可得 MO1A=60,利用三角形外角性质可计算得O1AD= MO1A=30,则 DAB=60 ,所以 ADB=90 ,在 RtABD中,根据含 30 度的直角三角形三 边的关系得AD=BD=4 ,AB=2AD=8 ,利用直角三角形内切圆的半径公式得 学习资料收集于网络,仅供参考 学习资料 到ADB内切圆的半径 =22,然后根据圆的面积公式求解; ( 3)先
20、在Rt MBO2中,根据含30 度的直角三角形三边的关系得 MB=O2B=12 ,然后分类讨论: MO2P 与MDB有一个公共角,当 MO2P MDB 时,利用相似比可计算出O2P=8;当MO2P MBD 时,利用相 似比可计算出 O2P=8 解 答: 解: (1)连结 O1A 、O2B ,如图,设 O1的半径为 r ,O2的半径为 R, O1与O2外切与点 D , 直线 O1O2 过点 D , MO2=MD+O2D=4 +R, 直线 l 与两圆分别相切于点A、B, O1A AB ,O2B AB , tan AM01=, AM01=30 , 在 RtMBO2 中,MO2=O2B=2R, 4+R
21、=2R ,解得 R=4, 即O2的半径为 4; (2) AM02=30 , MO2B=60 , 而 O2B=O2D, O2BD 为等边三角形, BD=O2B=4 ,DBO2=60 , ABD=30 , AM01=30 , MO1A=60 , 而 O1A=O1D, O1AD= O1DA , O1AD= MO1A=30, DAB=60 , 学习资料收集于网络,仅供参考 学习资料 ADB=180 3060=90, 在 RtABD 中,AD=BD=4 ,AB=2AD=8 , ADB内切圆的半径 =22, ADB内切圆的面积 =?(22)2=(168); (3)存在 在 RtMBO2 中,MB=O2B=4=12, 当MO2P MDB 时,=,即=,解得 O2P=8; 当MO2P MBD 时,=,即=,解得 O2P=8 , 综上所述,满足条件的O2P的长为 8 或 8 点 评: 本题考查了圆的综合题:熟练掌握切线的性质、两圆相切的性质和直角三 角形内切圆的半径; 会利用含 30 度的直角三角形三边的关系和三角形相似 比进行几何计算;会运用分类讨论的思想解决数学问题 单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟,结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。
链接地址:https://www.31doc.com/p-5511967.html