中考数学专题复习新定义题型(教师版).pdf
《中考数学专题复习新定义题型(教师版).pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学专题复习新定义题型(教师版).pdf(23页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、小康老师中考数学专题复习- 新定义型问题 一、中考专题诠释 所谓 “ 新定义 ” 型问题, 主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运 算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、推 理、迁移的一种题型. “新定义 ” 型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视 学生应用新的知识解决问题的能力。近几年日照命题情况来看,该类题型为必考型,一般一 道选择或填空再加一道答题,占12到18分。 二、解题策略和解法精讲 “ 新定义型专题” 关键要把握两点:一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法; 二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理
2、进行思想方法的迁移 三、中考典例剖析 考点一:规律题型中的新定义 例 1 ( 2013?湛江)阅读下面的材料,先完成阅读填空,再按要求答题: sin30 = 1 2 ,cos30 = 3 2 ,则 sin 230 +cos230 = ; sin45 = 2 2 , cos45 = 2 2 ,则 sin 245 +cos245 = ; sin60 = 3 2 , cos60 = 1 2 ,则 sin 260 +cos260 = 观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有 sin 2A+cos2A= (1)如图,在锐角三角形ABC 中,利用三角函数的定义及勾股定理对A 证明你的猜想; (2)已知: A
3、 为锐角( cosA 0)且 sinA= 3 5 ,求 cosA 思路分析: 将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值; 由前面的结论,即可猜想出:对任意锐角A,都有 sin 2A+cos2A=1; (1)如图,过点B 作 BDAC 于 D,则 ADB=90 利用锐角三角函数的定义得出sinA= BD AB ,cosA= AD AB ,则 sin 2A+cos2A= 22 2 BDAD AB ,再 根据勾股定理得到BD 2+AD2=AB2,从而证明 sin 2A+cos2A=1; (2)利用关系式sin 2A+cos2A=1,结合已知条件 cosA 0 且 sinA= 3 5 ,进行求解 解:
4、 sin30 = 1 2 ,cos30 = 3 2 , sin 230 +cos230 =(1 2 ) 2+( 3 2 ) 2=1 4 + 3 4 =1; sin45 = 2 2 ,cos45 = 2 2 , sin 245 +cos245 =( 2 2 ) 2+( 2 2 ) 2= 1 2 + 1 2 =1; sin60 = 3 2 ,cos60 = 1 2 , sin 260 +cos260 =( 3 2 )2+( 1 2 ) 2=3 4 + 1 4 =1 观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有 sin 2A+cos2A=1 (1)如图,过点B 作 BD AC 于 D,则 ADB=90 s
5、inA= BD AB ,cosA= AD AB , sin 2A+cos2A=( BD AB ) 2+( AD AB ) 2= 22 2 BDAD AB , ADB=90 , BD 2+AD2=AB2, sin 2A+cos2A=1 (2) sinA= 3 5 , sin 2A+cos2A=1, A 为锐角, cosA= 2 34 1( ) 55 点评: 本题考查了同角三角函数的关系,勾股定理,锐角三角函数的定义,比较简单 对应训练 1 ( 2013?绵阳)我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重 心重心有很多美妙的性质,如关于线段比面积比就有一些“ 漂亮 ” 结论,利
6、用这些性质可 以解决三角形中的若干问题请你利用重心的概念完成如下问题: (1)若 O 是 ABC 的重心(如图1) ,连结 AO 并延长交BC 于 D,证明: 2 3 AO AD ; (2)若 AD 是 ABC 的一条中线(如图2) ,O 是 AD 上一点,且满足 2 3 AO AD ,试判断 O 是 ABC 的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由; (3)若 O 是 ABC 的重心, 过 O 的一条直线分别与AB、AC 相交于 G、H(均不与 ABC 的顶点重合)(如图 3) ,S四边形 BCHG,SAGH 分别表示四边形BCHG 和 AGH 的面积,试探 究 BCHG AGH S
7、SV 四边形 的最大值 2.(1)证明:如答图1 所示,连接CO 并延长,交AB 于点 E 点 O 是 ABC 的重心, CE 是中线,点E 是 AB 的中点 DE 是中位线, DE AC ,且 DE= 1 2 AC DE AC , AOC DOE , AOAC ODDE =2, AD=AO+OD , AO AD = 2 3 (2)答:点O 是 ABC 的重心 证明:如答图2,作 ABC 的中线 CE ,与 AD 交于点 Q,则点 Q 为 ABC 的重心 由( 1)可知, AO AD = 2 3 , 而 AO AD = 2 3 , 点 Q 与点 O 重合(是同一个点) , 点 O 是 ABC
8、的重心 (3)解:如答图3 所示,连接DG 设 SGOD=S,由( 1)知 AO AD = 2 3 ,即 OA=2OD , SAOG=2S ,SAGD=SGOD+SAGO=3S 为简便起见,不妨设AG=1 ,BG=x ,则 SBGD=3xS SABD=SAGD+SBGD=3S+3xS= (3x+3 )S, SABC=2SABD=(6x+6 )S 设 OH=k?OG ,由 SAGO=2S,得 SAOH=2kS , SAGH=SAGO+SAOH=(2k+2 )S S四边形 BCHG=SABC-SAGH=(6x+6 )S-(2k+2 )S= (6x-2k+4 )S BCHG AGH S S V 四边
9、形 = (6- 24) (22) xkS kS = 3 -2 1 x k k 如答图 3,过点 O 作 OF BC 交 AC 于点 F,过点 G 作 GE BC 交 AC 于点 E,则 OF GE OF BC , 2 3 OFAO CDAD , OF= 2 3 CD= 1 3 BC; GE BC , 1 1 GEAG BCABx , GE= 1 BC x ; 1 3 1 BC OF BC GE x = 1 3 x , 1 3(1) OFx GEOFx = 1 2 x x OF GE , OHOF GHGE , 1 -2 - OHOFx OGGEOFx , k= 1 2 - x x ,代入式得:
10、 BCHG AGH S S V 四边形 = 1 3 -2 3 -2 2- 1 1 1 2- x x x k x x k x =-x 2+x+1=- (x-1 2 ) 2+5 4 , 当 x= 1 2 时, BCHG AGH S SV 四边形 有最大值,最大值为 5 4 考点二:运算题型中的新定义 例 2 (2013?河北)定义新运算:对于任意实数a,b,都有 ab=a (a-b )+1,等式右边 是通常的加法、减法及乘法运算,比如:25=2(2-5 )+1=2(-3)+1=-6+1=-5 。 (1)求( -2) 3 的值; (2)若 3x 的值小于13,求 x 的取值范围,并在图所示的数轴上表
11、示出来 思路分析:(1)按照定义新运算a b=a(a-b)+1,求解即可; (2)先按照定义新运算a b=a( a-b)+1,得出 3x,再令其小于13 ,得到一元一次不 等式,解不等式求出x 的取值范围,即可在数轴上表示 解: (1) ab=a (a-b )+1, ( -2) 3=-2 (-2-3 ) +1=10+1=11 ; (2) 3x13, 3(3-x )+113 , 9-3x+1 13, -3x3, x-1 在数轴上表示如下: 点评: 本题考查了有理数的混合运算及一元一次不等式的解法,属于基础题, 理解新定义法 则是解题的关键 对应训练 2 (2013?十堰)定义:对于实数 a, 符
12、号 a表示不大于a 的最大整数 例如:5.7=5 , 5=5 , -=-4 (1)如果 a=-2 ,那么 a 的取值范围是 (2)如果 1 2 x =3,求满足条件的所有正整数x 2解:(1) a=-2 , a 的取值范围是-2a -1; (2)根据题意得: 3 1 2 x 4, 解得: 5x 7, 则满足条件的所有正整数为5,6 考点三:探索题型中的新定义 例 3 (2013?钦州)定义:直线l1与 l2相交于点O,对于平面内任意一点M,点 M 到直 线 l1、l2的距离分别为p、q,则称有序实数对(p,q)是点M 的“ 距离坐标 ” ,根据上述定 义, “ 距离坐标 ” 是( 1,2)的点
13、的个数是() A2 B3 C4 D5 思路分析:“ 距离坐标 ” 是( 1,2)的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、 2由于到直线l1的距离是1 的点在与直线l1平行且与l1的距离是1 的两条平行线a1、 a2 上,到直线l2的距离是2 的点在与直线l2平行且与l2的距离是2 的两条平行线b1、b2上, 它们有 4 个交点,即为所求 解: 如图, 到直线 l1的距离是1 的点在与直线l1平行且与l1的距离是 1 的两条平行线a1、a2上, 到直线 l2的距离是2 的点在与直线l2平行且与l2的距离是2 的两条平行线b1、 b2上, “ 距离坐标 ” 是( 1,2)的点是 M1、
14、M2、M3、M4,一共 4 个 故选 C 点评: 本题考查了点到直线的距离,两平行线之间的距离的定义,理解新定义,掌握到一条 直线的距离等于定长k 的点在与已知直线相距k 的两条平行线上是解题的关键 对应训练 3.(2013?台州)如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“ 好 玩三角形 ” (1)请用直尺和圆规画一个“ 好玩三角形 ” ; (2)如图在RtABC 中, C=90 ,tanA= 3 2 ,求证: ABC 是“ 好玩三角形 ” ; (3) )如图 2,已知菱形ABCD 的边长为a, ABC=2 ,点 P,Q 从点 A 同时出发,以相 同速度分别沿折线AB-B
15、C 和 AD-DC 向终点 C 运动,记点P 经过的路程为s 当 =45 时,若 APQ 是“ 好玩三角形 ” ,试求 a s 的值; 当 tan 的取值在什么范围内,点P, Q 在运动过程中,有且只有一个APQ 能成为 “ 好 玩三角形 ” 请直接写出tan 的取值范围 (4) (本小题为选做题,作对另加2 分,但全卷满分不超过150 分) 依据( 3)的条件, 提出一个关于“ 在点 P,Q 的运动过程中, tan 的取值范围与APQ 是 好 玩三角形 的个数关系 ” 的真命题( “ 好玩三角形 ” 的个数限定不能为1) 3解:(1)如图 1,作一条线段AB, 作线段 AB 的中点 O, 作
16、线段OC,使 OC=AB , 连接 AC 、BC, ABC 是所求作的三角形 (2)如图 2,取 AC 的中点 D,连接 BD C=90 ,tanA= 3 2 , BC AC = 3 2 , 设 BC=3x,则 AC=2x , D 是 AC 的中点, CD= 1 2 AC=x BD= 2222 3CDBCxx=2x, AC=BD ABC 是“ 好玩三角形 ” ; (3)如图3,当 =45 ,点 P 在 AB 上时, ABC=2 =90 , APQ 是等腰直角三角形,不可能是“ 好玩三角形 ” , 当 P 在 BC 上时,连接AC 交 PQ 于点 E,延长 AB 交 QP 的延长线于点F, PC
17、=CQ , CAB= ACP , AEF= CEP , AEF CEP , 2 AEAFABBPs CEPCPCas PE=CE , 2 AEs PEas 当底边 PQ 与它的中线AE 相等时,即AE=PQ 时, 2 AEs PEas =2, a s = 3 4 , 当腰 AP 与它的中线QM 相等,即AP=QM 时, 作 QN AP 于 N,如图 4 MN=AN= 1 2 MP QN=15MN, tan APQ= 15 3 QNMN PNMN = 15 3 , tan APE= 2 AEs PEas = 15 3 , a s = 15 10 + 1 2 。 由可知,当AE=PQ 和 AP=Q
18、M 时,有且只有一个APQ 能成为 “ 好玩三角形 ” , 15 3 tan 2 时,有且只有一个APQ 能成为 “ 好玩三角形 ” (4)由( 3)可以知道0tan 15 3 , 则在 P、Q 的运动过程中,使得APQ 成为 “ 好玩三角形 ” 的个数为2 考点四:开放题型中的新定义 例 4 (2013?宁波)若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,我们把这 条对角线叫这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形如菱形就是和谐四边形 (1)如图 1,在梯形ABCD 中, AD BC, BAD=120 , C=75 ,BD 平分 ABC 求 证: BD 是梯形 ABCD 的和谐线;
19、 (2) 如图 2, 在 1216 的网格图上 (每个小正方形的边长为1) 有一个扇形BAC , 点 A B C 均在格点上,请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D,使得以A、B、C、D 为顶点 的四边形的两条对角线都是和谐线,并画出相应的和谐四边形; (3)四边形ABCD 中, AB=AD=BC , BAD=90 ,AC 是四边形ABCD 的和谐线,求 BCD 的度数 思路分析:( 1)要证明 BD 是四边形ABCD 的和谐线, 只需要证明 ABD 和 BDC 是等腰 三角形就可以; (2)根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等,只要D 在? BC上任意一点构成的四边形 ABDC 就是和谐
20、四边形;连接BC,在 BAC 外作一个以AC 为腰的等腰三角形ACD ,构 成的四边形ABCD 就是和谐四边形, (3)由 AC 是四边形 ABCD 的和谐线,可以得出ACD 是等腰三角形,从图4,图 5,图 6 三种情况运用等边三角形的性质,正方形的性质和30 的直角三角形性质就可以求出 BCD 的度数 解: (1) AD BC, ABC+ BAD=180 , ADB= DBC BAD=120 , ABC=60 BD 平分 ABC , ABD= DBC=30 , ABD= ADB , ADB 是等腰三角形 在 BCD 中, C=75 , DBC=30 , BDC= C=75 , BCD 为等
21、腰三角形, BD 是梯形 ABCD 的和谐线; (2)由题意作图为:图2,图 3 (3) AC 是四边形ABCD 的和谐线, ACD 是等腰三角形 AB=AD=BC , 如图 4,当 AD=AC 时, AB=AC=BC , ACD= ADC ABC 是正三角形, BAC= BCA=60 BAD=90 , CAD=30 , ACD= ADC=75 , BCD=60 +75=135 如图 5,当 AD=CD 时, AB=AD=BC=CD BAD=90 , 四边形 ABCD 是正方形, BCD=90 如图 6,当 AC=CD 时,过点C 作 CEAD 于 E,过点 B 作 BFCE 于 F, AC=
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 中考 数学 专题 复习 定义 题型 教师版
链接地址:https://www.31doc.com/p-5511973.html