2019届高考数学专题十四外接球精准培优专练理.pdf
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1、培优点十四外接球 1正棱柱,长方体的外接球球心是其中心 例 1:已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为,体积为, 则这个球的表面积是() AB20C24D32 【答案】 C 【解析】16 2h aV, 2a, 2416444 2222 haaR,24S,故选 C 2补形法(补成长方体) c a b 图1 C P A B a b c 图2 P C B A a b c 图3 C B P A a b c 图4 P C O2 B A 例 2:若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是 【答案】 【解析】93334 2 R, 2 49SR 3依据垂直关系找球心 例 3:已知三棱锥P
2、ABC的四个顶点均在同一个球面上,底面ABC满足 6BABC , 2 ABC, 若该三棱锥体积的最大值为3, 则其外接球的体积为() AB16C 16 3 D 32 3 【答案】 D 【解析】 因为ABC是等腰直角三角形,所以外接球的半径是 1 123 2 r,设外接球 的半径是,球心到该底面的距离,如图,则 1 63 2 ABC S ,3BD,由题设 11 63 36 ABCVShh , 最大体积对应的高为3SDh,故 22 3Rd,即 2 2 33RR,解之得2R, 所以外接球的体积是 3432 33 R,故答案为D 一、单选题 1棱长分别为2、 、的长方体的外接球的表面积为() ABC2
3、4D48 【答案】 B 【解析】 设长方体的外接球半径为,由题意可知: 22 2 2 2235R,则: 2 3R, 该长方体的外接球的表面积为 2 44 312SR本题选择B选项 2设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为2 3 ,顶点都在一个球面上,则该球的表 面积为() A12B 28C44D60 【答案】 B 【解析】 设底面三角形的外接圆半径为,由正弦定理可得: 23 2 sin60 r,则2r, 设外接球半径为,结合三棱柱的特征可知外接球半径 2 22 327R, 外接球的表面积 2 428SR本题选择B选项 3把边长为3 的正方形 ABCD沿对角线对折,使得平面ABC 平面 ADC
4、,则三棱锥 对点增分集训 DABC的外接 球的表面积为() A32B27CD 【答案】 C 【解析】 把边长为3 的正方形ABCD沿对角线对折,使得平面ABC平面ADC, 则三棱锥DABC的外接球直径为 3 2AC ,外接球的表面积为 2 418R,故选 C 4某几何体是由两个同底面的三棱锥组成,其三视图如下图所示,则该几何体外接球的面 积为() AB 2 2aC 2 3aD 2 4a 【答案】 C 【解析】 由题可知, 该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成,其中底面是棱长为2a 的正三角形,一个是三条侧棱两两垂直,且侧棱长为的正三棱锥,另一个是棱长为2a 的 正四面体,如图所示: 该几何
5、体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同,因此外接球的直径即为正方体的体对 角线,所以 222 3 23 2 RaaaaRa,所以该几何体外接球面积 2 223 443 2 SRaa ,故选 C 5三棱锥ABCD的所有顶点都在球的表面上,AB平面BCD,2BCBD, 24 3ABCD,则球的表面积为() AB32C60D64 【答案】 D 【解析】 因为 2BCBD ,2 3CD,所以 2 22 222 3 1 cos 2222 CBD , 2 3 CBD, 因此三角形BCD外接圆半径为 1 2 2 sin CD CBD , 设外接球半径为,则 2 22 =2 +41216 2 AB R, 2
6、=464SR,故选 D 6如图 1111 ABCDA B C D 是边长为1 的正方体,SABCD是高为 1 的正四棱锥,若点, , , , 在同一个球面上,则该球的表面积为() A 9 16 B 25 16 C 49 16 D 81 16 【答案】 D 【解析】 如图所示,连结 11 AC , 11 B D ,交点为,连结SM, 易知球心在直线SM上,设球的半径ROSx,在 1 RtOMB中,由勾股定理有: 222 11 OMB MB O ,即: 2 2 2 2 2 2 xx ,解得: 9 8 x,则该球的表面积 2 2981 44 816 SR本题选择D选项 7已知球的半径为, , ,三点
7、在球的球面上,球心到平面ABC的距离为 1 2 R , 2ABAC, 120BAC,则球的表面积为() A 16 9 B 16 3 C 64 9 D 64 3 【答案】 D 【解析】 由余弦定理得:44222cos1202 3BC, 设三角 ABC外接圆半径为,由正弦定理可得: 2 3 2 sin120 r ,则2r, 又 221 4 4 RR,解得: 216 3 R,则球的表面积 264 4 3 SR本题选择D选项 8已知正四棱锥PABCD( 底面四边形ABCD是正方形,顶点在底面的射影是底面的中 心) 的各顶点都在同一球面上,底面正方形的边长为10 ,若该正四棱锥的体积为 50 3 ,则此
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