中考数学考点分式方程.pdf
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1、1 分式方程 1分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 注意: “分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别,也是判定一个方程为分式方程 的依据 2分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是去分母,即方程两边同乘 以各分式的最简公分母 (2)解分式方程的步骤: 找最简公分母,当分母是多项式时,先分解因式; 去分母,方程两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程; 解整式方程; 验根 易错提醒: 解分式方程过程中,易错点有: 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体,记得 不要漏乘整式项;忘记验根,最后的结果还要代回方程的最简公分母中,只有最简
2、公分母不是 零的解才是原方程的解 3增根 在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做方程的增根由于可能产生增根, 所以解分式方程要验根,其方法是将根代入最简公分母中,使最简公分母为零的根是增根,否则 是原方程的根 温馨提示: 增根虽然不是方程的根,但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根若这个 整式方程本身无解,当然原分式方程就一定无解 4分式方程的应用 (1)分式方程的应用主要涉及工程问题,有工作量问题、行程问题等 每个问题中涉及到三个量的关系,如:工作时间 工作量 工作效率 ,时间 路程 速度 等 (2)列分式方程解应用题的一般步骤: 设未知数; 找等量关系; 2 列分式方
3、程; 解分式方程; 检验(一验分式方程,二验实际问题); 答 考向一解分式方程 分式方程的解法: 能化简的应先化简;方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程;解整式方程;验根 典例 1 解分式方程: 31 2242 x xx 【解析】去分母得:6- x=x- 2, 解得: x=4, 经检验 x=4 是分式方程的解 【名师点睛】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验 典例 2 方程 33 1 22 x xx 的解为 _ 【答案】1x 【解析】方程两边同乘以(2)x,得(32)3xx, 解得1x, 检验:1x时,20x, 所以1x是原分式方程的解 故填1x 【名师点睛】分式方程
4、的解题步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1同时应注 意分式方程必须检验 1解分式方程 13 2 11xx ,去分母得 A12(1)3xB12(1)3x C1 223xD1 223x 3 2方程 24 2 22 x x xx 的解为 A2 B2 或 4 C4 D无解 考向二分式方程的解 (1)求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值 范围,可能产生增根. (2)验根时把整式方程的根代入最简公分母,如果最简公分母等于0,这个根就是增根;否则这个 根就是原分式方程的根,若解出的根都是增根,则原方程无解. (3)如果分式本身约分了,也要代入进去检
5、验. (4)一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零,因此要将整 式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为零,则是方程的解. 典例 3 若关于 x 的方程 3 1 11 ax xx 的解为整数解,则满足条件的所有整数a 的和是 A6 B0 C1 D9 【答案】 D 【解析】分式方程去分母得:ax- 1- x=3, 解得: x= 4 1a , 由分式方程的解为整数解,得到a- 1= 1,a- 1= 2,a- 1= 4, 解得: a=2, 0,3,- 1,5,- 3(舍去), 则满足条件的所有整数a 的和是 9, 故选 D 【名师点睛】此题考查了分式方程的解,
6、熟练掌握运算法则是解本题的关键 典例 4 若关于x的分式方程 1 2 1 k x 的解为负数,则k的取值范围为_ 【答案】3k且1k 【解析】分式方程去分母转化为整式方程,去分母得122kx,解得 3 2 x k ,由分式方程的 解为负数,可得 2 0 3k 且10x,即 2 1 3k ,解得3k且1k 3若关于 x的方程 21 1 11 a xx 有增根,则a的值为 4 A 1 2 B 1 2 C2D 2 4关于 x的方程 233 4 ax ax 的解为1x,则a A1 B3 C- 1 D- 3 考向三分式方程的应用 分式方程解实际问题的求解步骤:审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答
7、案,检验时要 注意从方程本身和实际问题两个方面进行 典例 5 某工厂生产一种零件,计划在20 天内完成,若每天多生产4 个,则15 天完成且还多生产 10 个设原计划每天生产x 个,根据题意可列分式方程为 A 2010 15 4 x x B 2010 15 4 x x C 2010 15 x x D 2010 15 x x 【答案】 A 【解析】由题意可知原计划每天生产x个零件,则实际每天生产了(4)x个零件,实际15 天共生 产了(200)1x个零件,因此根据题意可列分式方程为 2010 15 4 x x 故选 A 典例 6 元旦假期即将来临,某旅游景点超市用700 元购进甲、乙两种商品26
8、0 个,其中甲种商品 比乙种商品少用100 元,已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%,那么乙种商品单价是 A2元B2.5元 C3元D5元 【答案】 B 【解析】设乙种商品单价为x元,则甲种商品单价为(1)20% x元, 由题易得,甲种商品花费300 元,乙种商品花费400 元,所以 300400 260 120)%(xx , 解得 2.5x 元 故选 B 5 5某单位向一所希望小学赠送1080 本课外书, 现用 A,B 两种不同的包装箱进行包装,单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6 个;已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15 本课外书若设每个A 型包装箱可以装书x本,
9、则根据题意列得方程为 A 10801080 6 15xx B 10801080 6 15xx C 10801080 6 15xx D 10801080 6 15xx 6在“双十一”购物节中,某儿童品牌玩具淘宝专卖店购进了A、B 两种玩具,其中A 类玩具的进 价比 B玩具的进价每个多3 元,经调查发现:用900 元购进 A 类玩具的数量与用750 元购进 B 类玩具的数量相同 (1)求 A、B 的进价分别是每个多少元? (2)该玩具店共购进了A、B 两类玩具共100 个,若玩具店将每个A 类玩具定价为30 元出售, 每个 B类玩具定价25 元出售, 且全部售出后所获得利润不少于1080 元,则该
10、淘宝专卖店至少购 进 A 类玩具多少个? 1下列关于x的方程: 1 5 3 x , 12 1xx , 1 11xx x , 3 1 x ab 中,是分式方程的有 A4 个B3 个 C2 个D1 个 2方程 21 31xx = +- 的解为 A 3x = B 4x = C 5x = D 5x = - 3解分式方程 11 2 22 x xx A 2x是方程的解 6 B3x是方程的解 C4x是方程的解 D无解 4若关于x 的方程 22 3 ax ax 的解为 x=1,则 a 等于 A0.5 B- 0.5 C2 D- 2 5若代数式 1 2x 和 3 21x 的值相等,则x 的值为 Ax=- 7 Bx
11、=7 Cx=- 5 Dx=3 6若关于 x的方程 3 1 11 k xx 有增根,则 k的值为 A3B1 C0D 1 7若分式方程 3 2 11 xm xx 无解,则m A 1 B3 C0D 2 8关于 x的方程 2 2 11 xaa xx 的解不小于0,则a的取值范围是 A2a且1aB2a且3a C2aD2a 9一艘船顺流航行90 千米与逆流航行 60 千米所用的时间相等,若水流的速度是2 千米 /时,求船 在静水中的速度设船在静水中的速度为x千米 / 时,则可列出的方程为 A 9060 22xx B 9060 22xx C 9060 2 xx D 6090 2 xx 10若分式方程 2 2
12、11 1 xmx xxxx 有增根,则m 的值是 A- 1 或 1 B- 1 或 2 C1 或 2 D1 或-2 11已知关于x 的分式方程 2 1 2 xa x 的解为非负数,则a 的取值范围是 Aa 2 Ba- 3 Dm - 3 5( 2019?广州)甲、乙二人做某种机械零件,已知每小时甲比乙少做8 个,甲做120 个所用的时 间与乙做150 个所用的时间相等,设甲每小时做x 个零件,下列方程正确的是 A 120150 8xx B 120150 8xx C 120150 8xx D 120150 8xx 6( 2019?甘肃)分式方程 35 12xx 的解为 _ 7( 2019?凉山州)方
13、程 21 1 x x + 2 2 1x =1 的解是 _ 8( 2019?绵阳)一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/ h,它以最大航速沿江顺流航行 120 km 所 用时间,与以最大航速逆流航行60 km 所用时间相同,则江水的流速为_km / h 9( 2019?江西)斑马线前“车让人”,不仅体现着一座城市对生命的尊重,也直接反映着城市的 文明程度如图,某路口的斑马线路段A- B- C 横穿双向行驶车道,其中AB=BC=6 米,在绿灯亮 时,小明共用11 秒通过 AC,其中通过 BC 的速度是通过AB 速度的 1.2 倍,求小明通过AB 时的 速度设小明通过AB 时的速度是x 米/ 秒,
14、根据题意列方程得:_ 10( 2019? 仙桃)解分式方程: 2 1x = 2 5 1x 11 11( 2019?南京)解方程: 2 3 1 11 x xx 12( 2019? 达州)端午节前后,张阿姨两次到超市购买同一种粽子节前,按标价购买,用了96 元;节后,按标价的6 折购买,用了72 元,两次一共购买了27 个这种粽子的标价是多少? 13( 2019?威海)列方程解应用题: 小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球他们两家到体育公园的距离分别是1200 米,3000 米,小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3 倍,若二人同时到达, 则小明需提前4 分钟出发, 求小明和小刚两人的速度 14(
15、 2019?菏泽)列方程(组)解应用题: 德上高速公路巨野至单县段正在加速建设,预计2019 年 8 月竣工届时,如果汽车行驶高速公 12 路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%, 那么行驶81 千米的高速公路比行驶同等 长度的普通公路所用时间将会缩短36 分钟,求该汽车在高速公路上的平均速度 15( 2019云南)为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围,推进平安校园建设,甲、乙 两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生,分别从距目的地240 千米和 270 千米的两地同时出 发,前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动,已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲 校师生所乘大巴车的平均速
16、度的1.5 倍,甲校师生比乙校师生晚1 小时到达目的地, 分别求甲、 乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度. 16( 2019? 威海)列方程解应用题:小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球他们两家到体育 公园的距离分别是1200 米, 3000 米,小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3 倍,若二人同 时到达,则小明需提前4 分钟出发,求小明和小刚两人的速度 13 1【答案】 A 【解析】方程两边同乘以 1x 得到12(1)3x, 故选 A 2【答案】 C 【解析】去分母得: 2x=(x-2) 2+4 , 分解因式得:(x- 2)2- (x- 2)=0, 解得: x=2 或 x=4, 经检验 x
17、=2 是增根,分式方程的解为x=4, 故选 C 3【答案】 B 【解析】方程 21 1 11 a xx 两边同时乘以(1)x,可得211ax, 因为方程 21 1 11 a xx 有增根,所以最简公分母10x,即增根是1x, 把1x代入整式方程,可得 1 2 a 故选 B 4【答案】 D 【解析】把x=1 代入原方程得: 233 14 a a , 去分母得, 8a+12=3a- 3, 解得 a=- 3, 故选 D 5【答案】 C 【解析】设每个A 型包装箱可以装书x本,则每个B 型包装箱可以装书(15)x本,根据单独使 用 B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个,列方程得 1080108
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