人教版【高中数学】选修2-1第三章空间向量的基本定理讲义.pdf
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1、人教版【高中数学】选修2-1 第三章空间向量的基本定理讲义 1 / 13 案例(二)精析精练 课堂合作研究 重点难点突破 知识点一共线向量定理 (1)定理内容:对空间两个向量0,bba,ba/的充要条件是存在唯一的实数x, 使 xba 。此定理可以分解为以下两个命题;若0/bba,则存在唯一实数x,使 xba。存在实数x,使0bxba,则ba/。 (2)在定理中为什么要规定0b呢?当0b时,若0a,则ba/,也存在实数x使 xba;但若0a,我们知道零向量和任一非零向量共线,但不存在实数x,使xba, 因此在定理中规定了0b。若将定理写成xabba /,则应规定0a。 说明:在xba功中,对于
2、确定的x和b,xba功表示空间与b平行或共线且长 度为xb的所有向量;利用共线向量定理可以证明两线平行,或三点共线。 知识点二共面向量定理 (1)共面向量 已知向量a, 作aOA, 如果OA的基线平行于平面a, 记作 /a (右 图),通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量。 说明:/a是指a的基线在平面内或平行平面。共面向量是指这些向量的基 线平行或在同一平面内,共面向量的基线可能相交、平行或异面。 我们已知, 对空间任意两个向量,它们总是共面的,但空间任意三个向量就不一定共面 了。例如,在下图中的长方体,向量AB、AC、AD,无论怎样平移都不能使它们在同一 平面内。 (2)共面向量定
3、理 共面向量定理: 如果两个向量a、b不共线, 则向量c与向量a、 b共面的充要条件是,存在唯一的一对实数yx,,使ybxac。 说明:在证明充要条件问题时,要证明两个方面即充分性和必要性。 人教版【高中数学】选修2-1 第三章空间向量的基本定理讲义 2 / 13 共面向量的充要条件给出了平面的向量表示,说明任意一个平面可以由 两个不共线的平面向量表示出来,它既是判断三个向量是否共面的依据,又是已知共面条件 的另一种形式, 可以借此已知共面条件化为向量式,以便我们的向量运算。利用共面向量 定理可证明点线共面、线面平行等。 三个向量共面,又称做三个向量线性相关。反之,如果三个向量不共面,则称做三
4、个向 量线性无关。 知识点三空间向量分解定理 (1)空间向量分解定理:如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量 p,存 在一个唯一的有序实数组x,y,z,使xcybxap。 (2) 如果三个向量a、b、c是三个不共面的向量,则a、b、c的线性组合zcybxa 能生成所有的空间向量,这时a、b、c叫做空间的一个基底,记作cba,,其中a、b、 c都叫做基向量。 (3)空间向量基本定理说明:用空间三个不共面的已知和向量组cba,可以线性表 示出空间任意一个向量,而且表示的结果是唯一的。 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底。 由于 0 可看做是与任意一个非零向量共线,与任意
5、两个非零向量共面,所以三个向量 不共面,就隐含它们都不是0。 要明确: 一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联 的不同概念。 典型例题分析 题型 1 概念问题 【例 1】 设bax,cby,acz,且cba,是空间的个基底,给出下列 向量组: xba,,yba,,zyx,,yxa,,cbzyx,。 其中可以作为空间基底的向量组有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 人教版【高中数学】选修2-1 第三章空间向量的基本定理讲义 3 / 13 解析正确理解向量的基底与基向量。 答案如图所示,设ADcAAbABa, 1 ,则 ACzADyABx, 1 , 1 AC
6、cba,由A、 1 B、C、 D 1 D四点不共面,可知x、y、z也不共面,同理可知a、b、c 和x、y、z、cba也不共面。选 D. 方法指导能否作为空间的基底,即是判断给出的向量组中的三个向量是否共面。充分 利用一些常见的几何体,如:正方体、长方体、平行六面体、四面体等可以帮助我们进行直 观判断,即模型法的应用。 【变式训练1】 设a、b、c是三个不共面向量,现从ba,ba,ca, cb,cba中选出一个使其与a、b构成空间向量的一个基底,则可以选择的向 量为。 【答案 】 。 题型 2 共线向量定理的应用 【例 2】 已知空间三个不共面的向量pnm,,若pnma423, pynmxb21
7、,且ba/,求实数yx,的值。 解析解决向量共线问题的依据是应用共线向量的充要条件,即Rab,且是 唯一确定的实数及0a。 答案因为ba/,所以Rab, 即pnmpynmx42321。 由于向量pnm,不共面,所以 , 13 ,2 ,24 x y 解之,得 , 1 , 2 5 y x 故实数yx,的值分别为1 , 2 5 。 规律总结待定系数法也可以用来解决空间向量中的有关问题。在解决本题的过程中有 人教版【高中数学】选修2-1 第三章空间向量的基本定理讲义 4 / 13 两个关键: 一是运用共线向量的充要条件得到相应的关系式;二是根据空间向量定理的推论 得到关于yx,的方程组。 【变式训练2
8、】 已知空间三个非零向量a、b、c满足cbacba5,3,判断向 量a与b是否平行。 答案因为 cba cba 5 3 所以 2 得:ca4, 2 得:cb,所以ba4,故由共线向量充要条件 得:ba/。 【变式训练3】 已知向量a、b,且baCDbaBCbaAB27,65,2,则 一定共线的三点是() A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D 答案ABbababaBDCDBC2422765。所以ABBD /,所以 A、B、D三点共线。选 A. 题型 3 共面向量定理及应用 【例 3】 已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外一点O,确定下列各条件中的 点P是否与点A,B
9、,C一定共面,( 1)OCOBOAOP 5 2 5 1 5 2 ;( 2) OCOBOAOP22。 解析由共面向量定理知,要证明 P,A,B,C四点共面,只要证明存在有序实数 对yx,使得ACyABxAP。 答案(1)共面。OCOBOAOP 5 2 5 1 5 2 , ACABOAOCOAOBOCOBOAOAOP 5 2 5 1 5 2 5 1 5 2 5 1 5 3 ,即 ACABAP 5 2 5 1 .AB主AC不共线,ACABAP,共面且具有公共点A,从而P, A,B,C四点共面。 (2)不共面。如果P与A,B,C共面,则存在唯一的实数对yx,,使得 人教版【高中数学】选修2-1 第三章
10、空间向量的基本定理讲义 5 / 13 ACyABxAP,对平面ABC外一点O,有OAOCyOAOBxOAOP, 即OCyOBxOAyxOP1,与原式比较得 ,1 ,2 ,21 y x yx ,此方程组无解, 故A, B,C,P四点不共面。 规律总结判断四点共面, 除了本题中的解题方法外,还可以用其变形, 即:空间一点P 位于平面ABC内的充分必要条件是存在有序实数对yx,,使得对空间任一定点O,有 ACyABxOAOP;或若四点P,A,B,C共面,则对空间任一定点O,有 1zyxOCzOByOAxOP。 【变式训练4】 若 321 ,eee是三个不共面的向量,试问向量 321 23eeea,
11、321 3eeeb, 321 42eeec是否共面,并说明理由。 答案令042323 321321321eeezeeeyeeex , 亦即,043223 321 ezyxezyxezyx, 因为 321 ,eee是三个不共面的向量, 所以 ,043 ,02 ,023 zyx zyx zyx ,解得 , 5 ,7 , 1 z y x 从而cbacba,57三个向量共面。 【例 4】 求证:三向量 212121 32,23,eeceebeea共面;若ncmba, 试求实数nm,的值。 解析要证明三个向量 212121 32,23,eeceebeea共面,可以利用向量共面 定理的推论,证明存在三个不
12、全为零的实数,,使得0cba即可。 答案 2212121 321233223eeeeeeeecba 人教版【高中数学】选修2-1 第三章空间向量的基本定理讲义 6 / 13 如果,,适合方程组 ,032 ,023 那么就能使0cba, 而显然上述方程组有无数组解 ,5 , ,13 t t t ,其中 Rt 。 于是有0513tctbta,所以,cba,三向量共面,并且可得cba 13 5 13 1 。 故所求的实数 13 5 , 13 1 m。 规律总结事实上,对于任意两非零向量 21,e e,则 2111 eea, 2212 eeb, Reec 3213212313 ,总是共面的。 从本题的
13、解法中不难发现,其解题方 法是一箭双雕, 即在证明cba,三向量共面同时, 只要对结论稍作变形就得到了m与n的值。 另外,面对解题过程中关于,的方程组有数组解的情况,若不能利用其中的一组解, 或者是获得与的值,就不能就得所求的m与n的值。 【变式训练5】 已知cba,是三个不共面向量,若cba,的起点相同,则当实数t为何 值时,tcba,及cba 4 1 的终点共面? 答案由于tcba,及cba 4 1 的终点共面,所以等价于atcab,及 acba 4 1 共面,于是,设 0 4 1 acbaatcab, 所以0 444 3 cyba. 人教版【高中数学】选修2-1 第三章空间向量的基本定理
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