人教版【高中数学】选修2-1第三章直线与平面的夹角讲义.pdf
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1、人教版【高中数学】选修2-1 第三章直线与平面的夹角讲义 1 / 14 案例(二) -精析精练 课堂合作探究 重点难点突被 知识点一公式 cos=cos1cos2 如右图 , 已知 OA是平面 a 的一条斜线 ,ABa, 则 OB是 OA在平面 a 内的射影 , 设 OM是 a 内通过点O 的任意一条直线,OA 与 OB所成的角为1,OB 与 OM 所 成的角为 2,OA 与 OM 所成的角为, 则有 cos= cos1 cos2, 我们简称此公式为三余弦公式, 它反映了三个角的余弦值之间的关系. 在上述公式中,因为 0cos2 1,所以 cos= ba ba , 进行计算 , 其中向量a 是
2、直线的方向向量,b 可以是平面的法向量, 可以是直线在平面内射影的方向向量;将(a,b) 转化为所求的线面角. 这里要注意的是: 平面的斜线的方向向量与平面法向量所成的锐角是平面的斜线与平面 所成角的余角 . 【变式训练3】如下图所示 , 已知直角梯形ABCD,其中 AB=BC=2AD,AS平面 ABCD,AD BC,AB BC 且 AS=AB.求直线 SC与底面 ABCD 的夹角的余弦值. 答案由题设条件知 , 可建立以 AD为 x 轴,AB 为 y 轴,AS 为 z 轴的空间直角坐标系, 如下 图所示 , 设 AB=1,则 A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D( 2 1
3、 ,0,0),S(0,0,1). 人教版【高中数学】选修2-1 第三章直线与平面的夹角讲义 8 / 14 AS=(0,0,1),CS=(-1,-1,1).显然AS是底面的法向量, 它与已知向量CS的夹角 =90-, 故有 sin=cos = 3 3 31 1 CSAS CSAS , 于是 cos= 3 6 sin1 2 . 【例 4】如下图 ,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, 底面是等腰直角三角形 , ACB=90 , 侧棱 AA1=2,D、E分别是 CC1与 A1B的中点 , 点 E在平面 ABD上的射影是 ABD 的重心 G. 求 A1B与平面 ABD所成角的大小.( 结果用反三角函数值
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