四川省中考数学专题突破复习题型专项(十二)二次函数与几何图形的综合题试题【含解析】.pdf
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1、1 专项(十二) 二次函数与几何图形的综合题 类型 1 探究图形面积的数量关系及最值问题 1(2016安徽 ) 如图,二次函数yax 2bx 的图象经过点 A(2,4) 与 B(6, 0) (1) 求 a,b 的值; (2) 点 C 是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2 x 6) 写出四边形OACB 的面积 S关于点 C 的横坐标x 的函数解析式,并求S的最大值 解: (1) 将 A(2,4)与 B(6,0) 代入 y ax 2bx. 得 4a2b4, 36a6b0. 解得 a 1 2, b3. (2) 过点 A作 x 轴的垂线,垂足为D(2,0) ,连接 CD ,过点 C
2、作 CE AD , CF x 轴,垂足分别为点E,F. S OAD 1 2OD AD 1 224 4, S ACD 1 2AD CE 1 24(x 2)2x4, S BCD 1 2BD CF 1 24( 1 2x 23x) x26x, 则 S SOADSACDSBCD4(2x 4)( x 26x) x28x. S关于 x 的函数解析式为S x 28x(2 x6) S (x 4) 216. 当 x4 时,四边形OACB 的面积 S取最大值,最大值为16. 2(2016雅安中学一诊) 如图,已知抛物线yax 23 2xc 与 x 轴相交于 A,B两点,并与直线y1 2x 2 交于 B, C两点,其
3、中点C是直线 y1 2x2 与 y 轴的交点,连接 AC. (1) 求抛物线解析式; (2) 求证: ABC 为直角三角形; (3) 在抛物线CB段上存在点P使得以 A,C,P,B为顶点的四边形面积最大,请求出点P的坐标以及此时以A,C,P, B为顶点的四边形面积 2 解:(1) 直线y1 2x2 交 x 轴, y 轴于 B,C两点, B(4,0) ,C(0, 2) yax 23 2xc 经过点 B,C, 16a6 c0, c 2. 解得 a1 2, c 2. y 1 2x 23 2x2. (2) 令 1 2x 23 2x20,解得 x 1 1,x24. OA 1, OB 4. AB 5. A
4、C 2OA2OC25,BC2OC2OB220,AB225. AC 2BC2AB2. ABC为直角三角形 (3) 连接 CD ,BD ,过点 P作 PE AB ,垂足为点E,直线 EP交线段 BC于点 D. 设直线 BC的解析式为ykx b. 将 B(4,0) ,C(0, 2) 代入,得 b 2, 4kb0. 解得 k 1 2, b 2. 直线 BC的解析式为y 1 2x 2. 设点 D(a,1 2a2) ,则点 P(a, 1 2a 23 2a2) PD PE DE 1 2a 23 2a2( 1 2a2) 1 2a 22a, 当 a2 时, PD有最大值, PD的最大值为2. S四边形 ACPB
5、SACBS CBP 1 2AB OC 1 2OB DP 1 252 1 24DP 52PD. 当 PD最大时,四边形ACPB 的面积最大 当点 P的坐标为 (2, 3) 时,四边形ACPB的面积的最大值为522 9. 3(2015攀枝花 ) 如图,已知抛物线y x 2 bxc 与 x 轴交于 A(1,0),B(3,0)两点,与 y 轴交于点C,抛 物线的对称轴与抛物线交于点P ,与直线BC相交于点M ,连接 PB. (1) 求抛物线的解析式; (2) 在(1) 中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D,使得 BCD的面积最大?若存在,求出点 D坐标及 BCD面积 的最大值;若不存在,请说明理由;
6、 (3) 在(1) 中的抛物线上是否存在点Q ,使得 QMB与PMB的面积相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说 明理由 解: (1) 把 A, B两点坐标代入抛物线解析式,得 3 1bc0, 93bc0. 解得 b2, c3. 抛物线解析式为y x 22x3. (2) 设 D(t , t 2 2t 3) ,过点 D作 DH x轴于点 H,连接 DC , DB. 令 x 0,则 y3, C(0,3) S BCD S梯形 DCOHSBDHSBOC 1 2 ( t 22t 33)t 1 2(3 t)( t 2 2t 3) 1 233 3 2t 29 2t. 3 20, 当 t 9 2 2(
7、3 2) 3 2时,即点 D坐标为 ( 3 2, 15 4 ) 时, SBCD有最大值,且最大面积为 27 8 . (3) 存在 P(1,4) ,过点 P且与 BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一, 直线 BC解析式为为y x3, 过点 P且与 BC平行的直线为y x5. 由 y x 5, y x 2 2x3,解得 x2, y3. Q1(2,3) 直线 PM的解析式为x1,直线 BC的解析式 y x 3, M(1,2) 设 PM与 x 轴交于点 E, PM EM 2, 过点 E且与 BC平行的直线为y x1. 从而过点E且与 BC平行的直线与抛物线的交点也为所求Q点之一 联立 y x1
8、, y x 22x3, 解得 x1 317 2 , y1 117 2 , x2 317 2 , y2 117 2 . Q2( 317 2 , 117 2 ) ,Q3( 317 2 , 117 2 ) 满足条件的Q点坐标为 (2 ,3) , ( 317 2 , 117 2 ) 或( 317 2 , 117 2 ) 类型 2 探究线段的数量关系及最值问题 4(2016成都青羊区二诊改编) 已知抛物线y 1 ax 2(2 a1)x 2(a 0) 与 x 轴交于 A,B两点, 与 y 轴相交于点 C, 且点 A在点 B的左侧 (1) 若抛物线过点D(2, 2),求实数a 的值; (2) 在(1) 的条
9、件下,在抛物线的对称轴上找一点E ,使 AE CE最小,求出点E的坐标 4 解:(1) 抛物线过点D(2, 2) , 1 a 4 ( 2 a1)2 2 2, 解得 a4. (2) 点 A ,B是抛物线与x 轴的交点, 点 B是点 A关于抛物线对称轴的对称点 连接 BC交对称轴于点E,则点 E即为使 AE CE最小的点 a4,抛物线解析式为y1 4x 21 2x2. 令 y 0,则 1 4x 21 2x20,解得 x 1 2,x24. 令 x 0,则 y 2. A(2, 0),B(4,0) ,C(0, 2) ,对称轴为直线x1. 直线 BC解析式为 y 1 2x2. 当 x1 时, y 3 2,
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