空间中的垂直关系(带答案).pdf
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1、空间中的垂直关系专题训练 知识梳理 一、线线垂直: 如果两条直线于一点或经过后相交于一点, 并且交角为,则称这两 条直线互相垂直. 二、线面垂直: 1. 定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个 平面内的 _,则称这条直线和这个平 面垂直 . 也就是说, 如果一条直线垂直于一个平面,那 么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面 互相垂直,记作l . 2. 判定定理: 如果一条直线与平面内的直线垂直, 则这条直线与这个平面垂 直. 推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也于这 个平面 . 推论:如果两条直线同一个平面,那么这两条直线平行. 3. 点到平面的距离:长度
2、叫做点到平面的距离. 三、面面垂直: 1. 定义:如果两个相交平面的交线与第三个平面,又这两个平面与第三个平面相交 所得的两条交线,就称这两个平面互相垂直. 平面,互相垂直,记作 . 2. 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的_,则这两个平面互相垂直. 3. 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于直线垂直于 另一个平面 . 四、求点面距离的常用方法: 1. 直接过点作面的垂线,求垂线段的长,通常要借助于某个三角形. 2. 转移法:借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解. 3. 体积法:利用三棱锥的特征转换位置来求解. 题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质 例
3、 1. 如图, 在四棱锥 P-ABCD中, PA 底面 ABCD , AB AD , AC CD , ABC=60 ,PA=AB =BC,E是 PC的中点 . 求证: (1)CDAE ; (2)PD平面ABE. 【变式 1】已知:正方体ABCD A1B1C1D1 ,AA1=2,E 为棱 CC1的中点 ( ) 求证: B1D1AE; ( ) 求证: AC 平面 B1DE 【解答】()连接BD ,则 BD B 1D1,ABCD是正方形, AC BD CE 平面 ABCD ,BD ? 平面 ABCD ,CE BD 又AC CE=C ,BD 面 ACE AE? 面 ACE , BD AE , B 1D
4、1AE ( 5 分) ()证明:取BB1的中点 F,连接 AF 、 CF、EF E 、 F 是 C1C、B1B的中点, CEB1F 且 CE=B1F, 四边形B1FCE是平行四边形, CF B1E 正方形 BB1C1C 中, E、F是 CC 、BB的中点, EF BC 且 EF=BC 又 BC AD 且 BC=AD , E F AD 且 EF=AD 四边形ADEF 是平行四边形,可得 AF ED , AF CF=C ,BE ED=E , 平面 ACF 平面B1DE 又 AC ? 平面 ACF ,AC 面 B1DE 【变式 2】 如图,已知四棱锥PABCD , 底面 ABCD 为菱形,PA平面
5、ABCD , ABC=60 , 点 E、G 分别是 CD、PC 的中点,点F 在 PD 上,且 PF:FD=2:1 ( )证明: EAPB; ( )证明: BG 面 AFC 【解答】 ()证明:因为面 ABCD 为菱形, 且ABC=60 ,所以 ACD 为等边三角形, 又因为 E是 CD的中点,所以 EA AB 又 PA 平面 ABCD , 所以 EA PA 而 AB PA=A 所以 EA 面 PAB ,所以 EA PB ()取PF中点 M ,所以 PM=MF=FD连接 MG ,MG CF ,所以MG 面 AFC 连接 BM ,BD ,设 AC BD=O ,连接OF , 所以 BM OF ,所
6、以BM 面 AFC 而 BM MG=M 所以面 BGM 面 AFC ,所以 BG 面 AFC 【变式 3】 如图, 四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O 平面 ABCD ,AB=,AA1=2 (1)证明: AA1 BD (2)证明:平面A1BD 平面 CD1B1; (3)求三棱柱ABD A1B1D1的体积 【解答】(1)证明:底面ABCD是正方形,BD AC , 又 A1O 平面 ABCD且 BD ? 面 ABCD , A 1O BD ,又 A1O AC=O , A1O ? 面 A1AC , AC ? 面 A1AC , BD 面 A1AC ,
7、AA1? 面 A1AC , AA1BD (2) A1B1AB ,AB CD , A1B1CD ,又 A1B1=CD ,四边形 A1B1CD是平行四边形, A1DB1C,同理 A1BCD1, A1B? 平面 A1BD ,A1D? 平面 A1BD ,CD1? 平面 CD1B1,B1C? 平 面 CD1B,且 A1BA1D=A1,CD1B1C=C ,平面 A1BD 平面 CD1B1 (3) A1O 面 ABCD , A1O是三棱柱A1B1D1ABD的高, 在正方形ABCD 中, AO=1 在 RtA1OA中, AA1=2, AO=1 , A1O=, V 三棱柱 ABD A1B1D1=SABD?A1O
8、= ? () 2? = 三棱柱 ABD A1B1D1的体积为 【变式 4】如图,三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱 AA1 底面 ABC ,AB=BC=AC=AA1=4, 点 F 在 CC1上,且 C1F=3FC,E 是 BC 的中点 (1)求证: AE平面 BCC1B1 (2)求四棱锥A B1C1FE 的体积; (3)证明: B1EAF 【解答】(1) AB=AC, E是 BC的中点, AE BC 在三棱柱ABC A1B1C1,中, BB1 AA1, BB1 平面 ABC , AE ? 平面 ABC , BB1 AE , ( 2 分) 又 BB1BC=B ,(3 分) BB1,BC ? 平面
9、 BB1C1C, AE 平面 BB1C1C ,(4 分) (2)由( 1)知,即AE为四棱锥AB1C1FE的高,在正三角形ABC中, AE=AB=2, 在正方形BB1C1C,中, CE=BE=2 ,CF=1 ,= SCFE=4=11( 6 分) =?AE=( 7 分) (3)证明: 连结 B1F,由( 1)得 AE 平面 BB1C1C, B1E? 平面 BB1C1C,AE B1E, (8 分)在正方形BB1C1C ,中, B1F=5, B1E=2, EF=, B1F 2=B 1E 2+EF2, B 1EEF (9 分) 又AE EF=E ,(10 分) AE ,EF?平面 AEF , B1E平
10、面 AEF , (11 分) AF ? 平面 AEF , B1EAF (12 分) 【变式 5】 如图,四棱锥 PABCD 中,PD 平面 ABCD , 底面 ABCD 为正方形, BC=PD=2 , E 为 PC 的中点, G 在 BC 上,且 CG=CB (1)求证: PCBC; (2)求三棱锥CDEG 的体积; (3)AD 边上是否存在一点M,使得 PA平面 MEG ?若存在,求AM 的长;否 则,说明理由 【解答】(1)证明: PD 平面ABCD ,PD BC 又 ABCD 是正方形, BC CD 又PD CD=D ,BC 平面PCD 又 PC? 平面 PCD , PC BC (2)B
11、C 平面 PCD , GC 是三棱锥GDEC的高 E 是 PC的中点, S EDC=SPDC= (22) =1 VCDEG=VG DEC= GC ?SDEC=1= (3)连结 AC ,取 AC中点 O ,连结 EO 、GO ,延长 GO交 AD 于点 M ,则 PA 平面 MEG 证明:E 为 PC的中点,O是 AC的中点,EO PA 又EO ? 平面 MEG ,PA ?平面 MEG , PA 平面 MEG 在正方形ABCD 中,O 是 AC的中点, BC=PD=2 ,CG= CB OCG OAM , AM=CG=,所求 AM的长为 【变式 6】如图所示,在三棱柱ABC A1B1C1中, BB
12、1底面 A1B1C1,A1B1B1C1且 A1B1=BB1=B1C1,D 为 AC 的中点 ( )求证: A1B AC1 ( )在直线 CC1上是否存在一点 E,使得 A1E平面 A1BD ,若存在, 试确定 E 点的位置;若不存在,请说明理由 【解答】()证明:连接AB1 BB1平面 A1B1C1 B1C1BB1 B1C1A1B1且 A1B1BB1=B1 B1C1平面 A1B1BA A 1BB1C1 . 又 A 1BAB1且 AB1B1C1=B1 A1B平面 AB1C1A1BAC1 () 存在点 E在 CC 1的延长线上且 CE=2CC 1时, A1E平面 A1BD 设 AB=a ,CE=2
13、a , DE=,A 1EA1D BD AC ,BD CC1,AC CC1=C ,BD 平面 ACC1A1, 又 A1E? 平面 ACC 1A1 A1E BD. 又 BD A1D=D , A1E平面 A1BD 【变式 7】如图, 在直三棱柱ABC A1B1C1中,AC=3 ,BC=4,AB=5 ,点 D 是 AB 的中点 (1)求证: AC BC1; (2)求证: AC1 平面 CDB1 【解答】 证明: (1)因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱, 所以 C1C平面 ABC ,所以 C1CAC 又因为 AC=3 ,BC=4 ,AB=5 , 所以 AC 2+BC2=AB2, 所以 AC BC
14、 又 C1CBC=C ,所以AC 平面 CC1B1B,所以 AC BC1 (2) 连结 C1B交 CB1于 E, 再连结 DE , 由已知可得E为 C1B的中点, 又D 为 AB的中点,DE 为BAC1的中位线 AC1DE 。又 DE? 平面 CDB 1,AC1?平面 CDB1AC1平面 CDB1 【变式 8】 如图,直三棱柱ABC A1B1C1中,AA1=2AC=2BC , D 是 AA1的中点,CDB1D (1)证明: CDB1C1; (2)平面 CDB1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比 【解答】(1)证明:由题设知,直三棱柱的侧面为矩形, 由 D为 AA1的中点,则DC=DC 1,
15、又 AA1=2AC ,可得 DC1 2+DC2=CC 1 2, 则 CD DC1, 而 CD B1D,B1DDC1=D, 则 CD 平面 B1C1D, 由于 B1C1? 平面 B1C1D, 故 CD B 1C1; (2)解:由( 1)知, CD B 1C1, 且 B1C1C1C,则 B1C1平面 ACC1A1,设 V1是平面 CDB1上方部分的体积, V2是平面 CDB 1下方部分的体积,则 V1=VB1CDA1C1=SCDA1C1?B1C1= ?B1C1 3= B1C1 3, V=VABC A1B1C1= AC ?BC ?CC1=B1C1 3,则 V 2=VV1=B1C1 3=V 1, 故这
16、两部分体积的比为1:1 【变式 9】如图所示,在长方体ABCD A1B1C1D1中,已知底面是边长为 2 的正方形,高 为 1,点 E 在 B1B 上,且满足 B1E=2EB (1)求证: D1EA1C1; (2)在棱 B1C1上确定一点 F,使 A、E、F、D1四点共面,并求此时B1F 的长; (3)求几何体ABED1D 的体积 【解答】()证明:连结B1D1因为四边形A1B1C1D1为正 方形, 所以 A1C1B1D1 在长方体ABCD A1B1C1D1中, DD1平面 A1B1C1D1, 又 A1C1? 平面 A1B1C1D1,所以 DD 1A1C1 因为 DD1B1D1=D1,DD1?
17、 平面 BB1D1D,B1D1? 平面 BB1D1D,所以 A1C1平面 BB1D1D 又 D1E ? 平面 BB1D1D,所以 D1EA1C1( 4 分) ()解:连结BC1,过 E作 EF BC1交 B1C1于点 F 因为 AD1BC1,所以 AD1EF 所以 A、E 、F、D1四点共面即点F为满足条件的点又因为B1E=2EB ,所以 B1F=2FC 1,所以 ( 8 分) ()解:四边形BED 1D为直角梯形,几何体 ABED 1D为四棱锥 ABED 1D 因为=,点 A到平面 BED1D的距离 h=, 所以几何体ABED1D的体积为:=( 13 分) 题型二面面垂直的判定 例 2. 如
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- 空间 中的 垂直 关系 答案
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