立体几何证明题(文科).pdf
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1、E C AB D P 立体几何 1. 如图:梯形 ABCD和正 PAB所在平面互相垂直,其中/,ABDC 1 2 ADCDAB,且O为AB中点. ( I ) 求证:/BC平面POD; ( II ) 求证:ACPD. 2.如图,菱形ABCD的边长为6,60BAD o ,ACBDOI. 将菱形ABCD沿对角 线AC折起,得到三棱锥BACD, 点M是棱BC的中点,3 2DM. ()求证:/OM平面ABD; ()求证:平面ABC平面MDO; ()求三棱锥MABD的体积 . 3. 如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,AD/BC,ADC=90 , BC= 1 2 AD,PA=PD,Q 为 AD 的中点 ()
2、求证: AD平面 PBQ; ()若点 M 在棱 PC 上,设 PM=tMC,试确定 t 的值,使得 PA/平面 BMQ 4. 已知四棱锥PABCD的底面是菱形PBPD,E为PA的 中点 ()求证:PC平面BDE; ()求证:平面PAC平面BDE PABCDABCD BA CD O P A B A B C C D M O D O P A B C D Q M 5. 已知直三棱柱 111 CBAABC的所有棱长都相等,且FED,分别为 11, ,AABBBC的 中点 . (I) 求证:平面/ 1FC B平面EAD; (II )求证: 1 BC平面EAD. 6. 如图所示,正方形ABCD与直角梯形 A
3、DEF所在平面互相垂直,90ADE o , DEAF /,22AFDADE. ( ) 求证:AC平面BDE; ( ) 求证:/AC平面BEF; ()求四面体BDEF的体积 . 7. 如图,在四棱锥ABCDP中,平面 PAD平面 ABCD, AB=AD,BAD=60 , E、F 分别是 AP、AD的中点 求证:( 1)直线 EF/ 平面 PCD ; (2)平面 BEF 平面 PAD. 8.如图,四边形ABCD为正方形,QA平面ABCD,PDQA, QA=AB= 1 2 PD (I)证明:PQ平面DCQ; (II )求棱锥QABCD的的体积与棱锥PDCQ的体积的比值 9. 如图,在ABC中,ABC
4、=45 , BAC=90 , AD是 BC上的高,沿AD把 ABD折起, 使BDC=90 。 (1)证明:平面平面; (2 )设 BD=1 ,求三棱锥D的表面积。 参考答案: D 1 C F E B AC 1 A 1 B A B C D F E (16)第题图 1. 证明: (I) 因为O为AB中点, 所以 1 , 2 BOAB 1 分 又/ /,ABCD 1 2 CDAB, 所以有,/ /,CDBO CDBO 2 分 所以ODCB为平行四边形 ,所以/ /,BCOD 3 分 又DO平面,POD BC平面,POD 所以/ /BC平面POD . 5 分 (II)连接OC. 因为 ,/ /,CDB
5、OAO CDAO 所以ADCO为 平行四边形, 6 分 又ADCD,所以ADCO为菱形, 所以ACDO, 7 分 因为正三角形PAB,O为AB中点, 所以POAB, 8 分 又因为平面ABCD平面PAB, 平面ABCD I平面PABAB, 所以PO平面ABCD, 10 分 而AC平面ABCD,所以POAC, 又PODOOI,所以AC平面POD. 12 分 BA CD O P 又PD平面POD,所以ACPD . 13 分 2. ()证明:因为点O是菱形ABCD的对角线的交点, 所以O是AC的中点 .又点M是棱BC的中点, 所以OM是ABC的中位线,/OMAB. 2 分 因为OM平面ABD,AB平
6、面ABD, 所以/OM平面ABD. 4 分 ()证明:由题意,3OMOD, 因为 3 2DM ,所以 90DOM o ,ODOM. 6 分 又因为菱形ABCD,所以ODAC. 7 分 因为OM ACOI , 所以OD平面ABC, 8 分 因为OD平面MDO, 所以平面ABC平面MDO. 9 分 ()解:三棱锥MABD的体积等于三棱锥DABM的体积 . 10 分 由()知,OD平面ABC, 所以 3OD 为三棱锥DABM的高. 11 分 ABM的面积为 1139 3 sin12063 2222 BABM o , 12 分 所求体积等于 19 3 32 ABM SOD . 13 分 3. 证明:(
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