竖直方向上的弹簧振子.pdf
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1、竖直方向上的弹簧振子 周峰 1. 竖直方向上的简谐运动模型 由简谐运动的定义可知,要证明物体做简谐运动可从两方面入手:回复力大小跟物体偏离平 衡位置的位移成正比;回复力方向总指向平衡位置。下面就来证明竖直方向上的弹簧振子做 简谐运动。 如图 1,把一个质量为m的有孔小球系在劲度系数为k 的轻弹簧的上端,弹簧的下端固定, 小球穿在光滑的竖直杆上,可以在竖直杆上滑动。 小球静止在O点时,回复力为零。O点是振动的平衡位置,此时弹簧处于压缩状态,设压缩 量为,则有。 把小球拉到平衡位置上方M点,偏离平衡位置O点的位移为A,然后释放,则在振动过程的 任意位置(以图中的P点和 Q点为例,设偏离平衡位置的位
2、移分别为和)进行受力分 析,根据牛顿第二定律分别有 在 P点:若弹簧被拉伸,回复力的大小 若弹簧仍处于压缩状态,回复力的大小 在 Q点,弹簧处于压缩状态,回复力大小 在此过程中, 回复力 F 的方向始终指向平衡位置。因此, 竖直方向的弹簧振子做的是简谐运 动。 图 2 与图 1 中的情况基本相同,同学们可自行分析。 2. 与水平方向弹簧振子的比较 分析竖直方向的弹簧振子,要透彻理解平衡位置、振幅、 回复力等重要概念,还要准确运用 简谐运动中一些物理量的对称性特点,合理地进行类比、 推理。 另外,分析弹簧模型的受力、 能量及临界条件也是必不可少的。 例 1. 一轻弹簧直立在地面上,其劲度系数为,
3、弹簧的上端与盒子A连接在 一起,盒子内装物体B, B的上下表面恰好与盒子接触,A和 B的质量, g=10m/s 2,不计空气阻力,先将 A向上抬高使弹簧伸长5cm后从静止释放,A和 B一起上下 运动,已知弹簧的弹性势能取决于弹簧的形变大小。试求: (1)A的振幅; (2)B的最大速率; (3)在最高点和最低点A与 B之间的作用力。 分析:( 1)设 A和 B做简谐运动的平衡位置为弹簧的压缩量为时的位置,则 得 故 A的振幅为 10cm (2)当 B运动到平衡位置时速率最大。在A和 B运动的初始位置和平衡位置,弹簧的伸长 量与压缩量相等,故弹性势能不变。 由动能定理得 所以 (3)设 A 、B一
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