简单的线性规划问题与基本不等式作业及答案范文.pdf
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1、简单的线性规划问题与基本不等式作业及答案 一、选择题: 1.(2009福建高考 )在平面直角坐标系中,若不等式组 xy 10, x1 0, axy10 (a 为常数 )所表示 的平面区域的面积等于2,则 a 的值为() A 5 B 1 C2 D 3 解析: 不等式组 xy1 0, x10, axy10 所围成的区域如图所示 则 A(1,0),B(0,1),C(1,1a) 且 a1,SABC2, 1 2(1 a)12,解得 a3. 答案: D 2已知 D 是由不等式组 x2y0, x3y0 所确定的平面区域,则圆x2y 24 在区域 D 内 的弧长为() A. 4 B. 2 C.3 4 D.3
2、2 解析: 如图, l1、l2的斜率分别是k11 2,k 2 1 3,不等式组表示的平面区域为阴影部 分 tanAOB 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1, AOB 4,弧长 4 2 2. 答案: B 3.(2009天津高考 )设变量x、y 满足约束条件 xy3, xy 1, 2xy3, 则目标函数z2x3y 的 最小值为() A6 B 7 C8 D 23 解析: 约束条件 xy3, xy 1, 2xy3 表示的平面区域如图 易知过 C(2,1)时,目标函数z2x3y 取得最小值 zmin223 17. 答案: B 4 (2009 陕西高考 )若 x, y 满足约束条件 xy1, xy 1
3、, 2xy2, 目标函数z ax2y 仅在点 (1,0) 处取得最小值, 则 a 的取值范围是() A(1,2) B(4,2) C (4,0 D(2,4) 解析: 可行域为 ABC,如图 当 a 0 时,显然成立当a0 时,直线 ax2yz 0 的斜率 k a 2k AC 1,a 2. 当 a 0时, k a 2kAB2,a 4. 综合得 4 a2. 答案: B 5.(2009湖北高考 )在“家电下乡”活动中,某厂要将100 台洗衣机运往邻近的乡镇现 有 4 辆甲型货车和8 辆乙型货车可供使用每辆甲型货车运输费用400 元,可装洗衣 机 20 台;每辆乙型货车运输费用300 元,可装洗衣机10
4、 台若每辆车至多只运一次, 则该厂所花的最少运输费用为() A2 000 元B2 200 元C2 400 元D2 800 元 解析: 设需使用甲型货车x 辆,乙型货车y 辆,运输费用z 元,根据题意,得线性约 束条件 20x10y 100, 0 x4, 0 y8, 求线性目标函数z400x300y 的最小值 解得当 x4, y2 时, zmin2 200. 答案: B 6(2009 四川高考 )某企业生产甲、乙两种产品已知生产每吨甲产品要用A 原料 3 吨、 B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要用A 原料 1 吨、 B 原料 3 吨销售每吨甲产品可获得 利润 5 万元、每吨乙产品可获得利润3 万
5、元 . 该企业在一个生产周期内消耗A 原料不 超过 13 吨、 B 原料不超过18 吨,那么该企业可获得最大利润是() A12 万元B20 万元C 25 万元D27 万元 解析: 设该企业生产甲产品为x吨,乙产品为y吨,则该企业可获得利润为 z5x3y,且 x0, y 0, 3xy13, 2x3y18, 联立 3xy13, 2x3y 18, 解得 x 3, y 4. 由图可知,最优解为P(3,4),z 的最大值为z533 427(万元 ) 答案: D 7.设 x、y 均为正实数,且 3 2x 3 2y 1,则 xy 的最小值为() A4 B 4 3 C9 D16 解析: 由 3 2x 3 2y
6、 1 可得 xy8xy. x,y均为正实数, xy8 xy8 2 xy(当且仅当xy 时等号成立 ),即 xy2 xy 80, 可解得xy4,即 xy16,故 xy的最小值为16. 答案: D 8(2009 天津高考 )设 a0,b0.若3是 3 a 与 3b的等比中项, 则 1 a 1 b的最小值为 () A8 B4 C 1 D.1 4 解析: 3是 3 a 与 3 b 的等比中项,(3) 23a 3b. 即 33 ab,ab1. 此时 1 a 1 b a b a ab b 2(b a a b)224(当且仅当 ab 1 2取等号 ) 答案: B 9 已知不等式 (xy)(1 x a y)9
7、对任意正实数 x, y恒成立,则正实数 a 的最小值为() A8 B6 C 4 D 2 解析: (xy)(1 x a y)1a x y y xaa12 a x y y xa 2 a1, 当且仅当a x y y x等号成立, 所以 (a) 22 a 19, 即 (a) 22 a80,得a 2或a4(舍), 所以 a4,即 a 的最小值为4. 答案: C 10设 a、b 是正实数,以下不等式 ab 2ab ab ; a|a b| b; a2 b 2 4ab3b 2; ab2 ab2 恒成立的 序号为() ABCD 解析: a、b是正实数, ab2 ab? 1 2ab ab ?ab 2ab a b
8、. 当且仅当ab时取等号, 不恒成立; ab|ab|? a|ab|b 恒成立; a2b24ab3b 2(a2b)20,当 a2b时,取等号, 不恒成立; ab 2 ab2 ab 2 ab2 22 恒成立答案: D 11.若 a 是2b与2b的等比中项,则 2ab |a|b| 的最大值为() A.2 B1 C. 2 4 D. 2 2 解析: a 是2 b 与2b的等比中项,a22 b2? a2b22. 根据基本不等式知 2ab |a|b| 2|a| |b| |a|b| a 2 b2 2 1. 即 2ab |a|b| 的最大值为1. 答案: B 12若 a,b 是正常数, ab,x,y(0, ),
9、则 a 2 x b 2 y (ab) 2 xy ,当且仅当 a x b y时取 等号利用以上结论, 函数 f(x) 2 x 9 12x(x(0, 1 2)取得最小值时 x 的值为() A 1 B.1 5 C2 D.1 3 解析: 由 a 2 x b 2 y (ab) 2 xy 得, f(x) 2 2 2x 3 2 12x (23) 2 2x(12x) 25. 当且仅当 2 2x 3 1 2x 时取等号,即当x 1 5时 f(x)取得最小值 25. 答案: B 二、填空题: 13点 (3,1)和(4,6)在直线 3x 2ya0 的两侧,则a 的取值范围是_ 解析: 点(3,1)和(4,6)在直线
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