导数复习经典例题分类含答案1.pdf
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1、导数解答题题型分类之拓展篇 题型一:最常见的关于函数的单调区间;极值;最值;不等式恒成立; 经验 1:此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)( xf得到几个根;第二步:列表如下;第三步:由表可知; 经验 2:不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种:第一种:变更主元 (即关于某字母的一次函数) ;题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元); 第二种:分离变量 求最值(请同学们参考例5) ;第三种:关于二次函数的不等式恒成立;第四种:构造函数求 最值;题型特征()()(xgxf恒成立0)()()(xgxfxh恒成立) ;参考例 4; 例 1. 已知函数 321 ( )
2、2 3 f xxbxxa,2x是)(xf的一个极值点 ()求( )f x的单调递增区间;()若当1, 3x时, 2 2 ( ) 3 f xa恒成立,求a的取值范围 例 2. 设 2 2 ( ), 1 x f x x ( )52 (0)g xaxa a。 (1)求( )f x在0,1x上的值域; (2)若对于任意 1 0,1x,总存在 0 0,1x, 使得 01 ()()g xf x成立, 求a的取值范围。 例 3. 已知函数 32 ( )f xxax图象上一点(1, )Pb的切线斜率为3, 32 6 ( )(1)3(0) 2 t g xxxtxt ()求,a b的值;()当 1,4x时,求(
3、)f x的值域; ()当1,4x时,不等式( )( )f xg x恒成立,求实数 t 的取值范围。 例 4. 已知定义在 R上的函数 32 ( )2f xaxaxb)(0a在区间2,1 上的最大值是 5,最小值是 11. ()求函数( )fx的解析式; ()若 1 , 1t时,0(txxf)恒成立,求实数x的取值范 围. 例 5. 已知函数 2 3 )( a x xf图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 5 102 ,函数 3 3 )()( 2 2 a bx xfxg (1) 若函数)(xg在1x处有极值,求)(xg的解析式; (2) 若函数)(xg在区间1 , 1上为增函数,且 )(4 2
4、 xgmbb在区间1 , 1上都成立,求实数 m的取值范围 题型二:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x 轴即方程根的个数问题; 经验 1:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种: 第一种:转化为恒成立问题即0)(0)( xfxf或在给定区间上恒成立,然后转为不等式恒成立 问题;用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(看是否在0 的同侧) ,如果是同侧则不必分类 讨论;若在 0 的两侧,则必须分类讨论,要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变!有 时分离变量解不出来,则必须用另外的方法; 第二种:利用子区间(即子集思想) ;首先求出函数的单调增或减区间,然后让
5、所给区间是求的 增或减区间的子集;参考08 年高考题; 第三种方法:利用二次方程根的分布, 着重考虑端点函数值与0 的关系和对称轴相对区间的位置; 可参考第二次市统考试卷; 特别说明:做题时一定要看清楚“在(a,b )上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b ) ” ,要 弄清楚两句话的区别; 经验 2:函数与 x 轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步:画出两个图像即“穿线图” (即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是 先增后减再增”还是“先减后增再减” ; 第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0 的关系; 第三步:解不等式(组)即可;
6、例 6已知函数 23 2 )1( 3 1 )(x k xxf,kxxg 3 1 )(,且)(xf在区间),2(上为增函数 (1)求实数 k 的取值范围;(2)若函数)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点,求实数k 的取值 范围 例 7. 已知函数. 3 13)( 23 a xaxxf (I )讨论函数)(xf的单调性。 (II )若函数)(xfy在 A、B两点处取得极值,且线段AB与 x 轴有公共点,求实数a 的取值 范围。 例 8已知函数 f(x) x 3ax24x4a,其中 a 为实数 ( ) 求导数f(x) ;()若f( 1) 0,求 f(x) 在 2,2 上的最大值和最小值; ( )
7、 若 f(x) 在( , 2 和2 , ) 上都是递增的,求a 的取值范围 例 9. 已知:函数 cbxaxxxf 23 )( (I )若函数)(xf的图像上存在点 P ,使点 P 处的切线与x轴平行,求实数ba,的关系式; (II )若函数)(xf在1x和3x时取得极值且图像与x轴有且只有 3 个交点,求实数c的取值 范围. 例 10设( )yf x为三次函数,且图像关于原点对称,当 1 2 x时,( )f x的极小值为1 ()求( )f x的解析式;()证明:当),1 (x时,函数( )f x图像上任意两点的连线的斜率 恒大于 0 例 11在函数)0()( 3 abxaxxf图像在点( 1
8、,f (1) )处的切线与直线.076yx平行, 导函数)( xf的最小值为 12。 (1)求 a、b 的值; (2)讨论方程mxf)(解的情况(相同根算一 根) 。 例 12已知定义在 R上的函数),()( 3 Rcbacbxaxxf,当1x时,)(xf取得极大值 3, 1)0(f. ()求)(xf的解析式;()已知实数 t 能使函数f (x)(t, t3)在区间上既能取到极大值,又能 取到极小值,记所有的实数t 组成的集合为 M.请判断函数 ( ) ( )() f x g xxM x 的零点个数 . 例 13. 已知函数)(,42)1(3)( 223 xfkxkkxxf若的单调减区间为(
9、0,4) (I )求 k 的值; (II )若对任意的)(52,1 , 1 2 tfaxxxt的方程关于总有实数解,求实数a的取值范围。 例 14. 已知函数baRxxbxaxxf,()( 23 是常数), 且当1x和2x时, 函数)(xf取得极值 . ()求函数)(xf的解析式;()若曲线)(xfy与)02(3)(xmxxg有两个不同的交 点,求实数m的取值范围 . 例15. 已知 f (x)x 3bx2cx2 若 f(x) 在 x1时有极值 1,求 b、c 的值; 若函数 yx 2x5的图象与函数 y x k2 的图象恰有三个不同的交点,求实数k 的取值范围 例 16. 设函数axxxxf
10、 23 3 1 )(,bxxg2)(,当21x时,)(xf取得极值 . (1)求a的值,并判断)21 (f是函数)(xf的极大值还是极小值; (2)当4,3x时,函数)(xf与)(xg的图象有两个公共点,求b 的取值范围 . 题型三:函数的切线问题; 经验 1:在点处的切线,易求; 经验 2:过点作曲线的切线需四个步骤; 第一步:设切点,求斜率;第二步:写切线(一般用点斜式);第三步:根据切点既在曲线 上又在切线上得到一个三次方程;第四步:判断三次方程根的个数; 例 17. 已知函数 32 ( )f xaxbxcx在点0x处取得极小值 4,使其导数( )0fx的x的取值范围 为(1,3),求:
11、 (1)( )f x的解析式; (2)若过点( 1,)Pm可作曲线( )yf x的三条切线,求实数m的取值范围 例 18. 已知 32 ( )4f xxaxx(a为常数)在2x时取得一个极值, (1)确定实数 t的取值范围,使函数( )f x在区间 ,2t上是单调函数; (2)若经过点 A(2,c) (8c)可作曲线( )yf x的三条切线,求c的取值范围 题型四:函数导数不等式线性规划结合; 例 19. 设函数 32 11 ( )( ,) 32 g xxaxbx a bR,在其图象上一点( , )F x y处的切线的斜率记为( )f x (1)若方程( )f x有两个实根分别为 -2 和 4
12、,求( )f x的表达式; (2) 若( )g x在区间1,3 上是单调递减函数,求 22 ab的最小值。 例 20. 已知函数),( 3 1 )( 23 Rbabxaxxxf (1)若)(xfy图象上的是) 3 11 ,1 (处的切线的斜率为)(,4xfy求的极大值。 (2))(xfy在区间2, 1上是单调递减函数,求ba的最小值。 例 21. 已知函数 23 )(nxmxxf(m,Rn,nm且0m)的图象在)2(,2(f处的切线与x 轴平行 . (I) 试确定m、n的符号; (II) 若函数)(xfy在区间 ,n m上有最大值为 2 nm,试求m的值. 题型五:函数导数不等式的结合 例 2
13、2. 已知函数0xb x a xxf,其中Rba,. ()若曲线xfy在点2,2 fP处的切线方程为13xy,求函数xf的解析式; ()讨论函数xf的单调性; ()若对于任意的2, 2 1 a,不等式10xf在1 , 4 1 上恒成立,求 b的取值范围 . 例 23. 已知函数 32 1 ( )1(, 3 Rf xxaxbxxa, b 为实数)有极值,且在1x处的切线与直线 01yx平行. (1)求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a,使得函数)(xf的极小值为 1,若存在,求出实数a 的值;若不存在, 请说明理由; 例 24. 已知函数dcxxaxxf 23 4 1 3 1 )((
14、a、c、dR )满足0)1( ,0)0(ff且0)( xf在 R 上恒成立。 (1)求 a、c、d 的值; (2)若 4 1 24 3 )( 2b bxxxh ,解不等式 0)()( xhxf ; 例 25. 设函数 2 ( )()f xx xa( xR) ,其中 aR (1)当1a时,求曲线( )yf x在点( 2,(2)f)处的切线方程; (2)当0a时,求函数( )f x的极大值和极小值; (3)当3a时,证明存在 1,0k,使得不等式 22 (cos )(cos)f kxf kx对任意的 xR恒成 立。 导数解答题题型分类之拓展篇答案 题型一 例 1、解: () 2 ( )22fxxb
15、x. 2x是)(xf的一个极值点, 2x是方程 2 220xbx 的一个根,解得 3 2 b . 令 ( )0fx,则 2 320xx,解得1x或2x. 函数( )yfx的单调递增区间为(, 1),(2, +). ()当(1,2)x时 ( )0fx,(2,3)x时 ( )0fx, ( )f x在(1,2)上单调递减,( )f x在(2,3)上单调递增 . (2)f是( )f x在区间 1 ,3 上的最小值,且 2 (2) 3 fa. 若当1, 3x时,要使 22 ( ) 3 f xa恒成立,只需 22 (2) 3 fa, 即 222 33 aa,解得01a. 例 2、解: (1) 法一:( 导
16、数法 ) 22 22 4 (1)224 ( )0 (1)(1) x xxxx fx xx 在0,1x上恒成立 . ( )f x在0,1 上增,( )f x值域0,1 。 法二: 2 2 0,0 2 2 ( ) ,(0,1 111 x x f x x x xx , 复合函数求值域 . 法三: 22 22(1)4(1)22 ( )2(1)4 111 xxx f xx xxx 用 对号函数求值域 . (2)( )f x值域0,1 ,( )52 (0)g xaxa a在0,1x上的值域52 ,5aa. 由条件 , 只须0,152 ,5aa, 5205 4 512 a a a . 例 3、解: () /
17、2 ( )32fxxax / (1)3 1 f ba ,解得 3 2 a b ()由()知,( )f x在 1,0上单调递增,在0,2上单调递减,在2,4上单调递减又 minmax ( 1)4,(0)0,( )(2)4,( )(4)16fff xff xf ( )f x的值域是 4,16 ()令 2 ( )( )( )(1)31,4 2 t h xf xg xxtxx 要使( )( )f xg x恒成立,只需( )0h x,即 2 (2 )26t xxx (1)当1,2)x时 2 26 , 2 x t xx 解得1t; (2)当2x时tR; (3)当(2,4x时 2 26 2 x t xx 解
18、得8t;综上所述所求 t 的范围是(, 18,) 例 4、解: () 322 ( )2,( )34(34)f xaxaxbfxaxaxaxx 令 ( )fx=0,得 12 4 0,2,1 3 xx 因为0a,所以可得下表: x 2,0 0 0,1 ( )fx+ 0 - ( )f x极大 因此)0(f必为最大值 , 50 )(f因此5b,( 2)165, (1)5,(1)( 2)fafaff, 即11516)2(af,1a,.52( 23 xxxf) ()xxxf43)( 2 ,0(txxf)等价于043 2 txxx, 令xxxttg43)( 2 , 则问题就是0)(g t在 1 , 1t上恒
19、成立时,求实数x的取值范围,为此只需 0)1 0) 1( (g g ,即 0 053 2 2 xx xx , 解得10x,所以所求实数x的取值范围是 0 ,1. 例 5、解: 2 2 3 )(x a xf,由3 3 2 2 x a 有ax,即切点坐标为),(aa,),(aa 切线方程为)(3axay,或)(3axay,整理得023ayx或023ayx 5 102 )1(3 |22| 22 aa ,解得1a, 3 )(xxf,33)( 3 bxxxg。 (1)bxxg33)( 2 , )(xg在1x处有极值,0)1(g,即0313 2 b,解得1b,33)( 3 xxxg (2)函数)(xg在区
20、间 1 , 1上为增函数, 033)( 2 bxxg在区间 1 , 1上恒成立,0b, 又)(4 2 xgmbb在区间 1 , 1上恒成立,) 1(4 2 gmbb,即bmbb344 2 , 3bm在0,(b上恒成立,3mm的取值范围是, 3 题型二答案: 例 6 解: (1)由题意xkxxf) 1()( 2 )(xf在区间),2(上为增函数, 0)1()( 2 xkxxf在区间),2(上恒成立 即xk1恒成立,又2x,21k,故1kk 的取值范围为1k (2)设 3 1 2 )1( 3 )()()( 2 3 kxx kx xgxfxh, )1)()1()( 2 xkxkxkxxh 令0)(x
21、h得kx或1x由(1)知1k, 当1k时,0)1()( 2 xxh,)(xh在 R上递增,显然不合题意当1k时,)(xh,)(xh 随x的变化情况如下表: x ),(kk)1 ,(k1), 1( )(xh0 0 )(xh 极大值 3 1 26 23 kk 极小值 2 1k 由于0 2 1k , 欲使)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点, 即方程0)(xh有三个不同的实根, 故需0 3 1 26 23 kk ,即0)22)(1( 2 kkk 022 1 2 kk k ,解得31k 综上,所求 k 的取值范围为31k 例 7、 解:(1),63)( 2 xaxxf a xxxf 2 00)(
22、21 或得, 当 a0 时,), 2 ( ,) 2 ,0( ,)0 ,( aa 递减递增 递增; 当 a0时 x )0 ,(0 ) 2 , 0( aa 2 ), 2 ( a )(xf+ 0 0 + )(xf增极大值减极小值增 此时,极大值为. 3 1 4 ) 2 (, 3 1)0( 2 aaa f a f极小值为 7 分 当 a0时 x ) 2 ,( aa 2 )0 , 2 ( a 0 ),0( )(xf 0 + 0 )(xf减极小值增极大值减 此时,极大值为. 3 1)0(, 3 1 4 ) 2 ( 2 a f aaa f极小值为因为线段 AB与 x 轴有公共点所以 ,0 )1)(4)(3(
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