系统牛顿第二定律与整体法.pdf
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1、系统的牛顿第二定律与整体法 在静力学、动力学问题中,涉及到系统外力时,我们往往采用整体法处理,但是很多资料并没有讲清 楚整体法的适用条件,以及背后的理论基础,甚至限定只允许在几个物体相对静止时使用整体法,使得整 体法的适用范围大大缩小。本文则从系统的牛顿第二定律入手,奠定整体法解决静力学、动力学问题的理 论基础,并通过实例展示整体法的广阔应用空间。 一、系统的牛顿第二定律 1、推导 如图所示,两个物体组成一个系统,外界对系统内物体有力的作用(系统外力),系统内物体之间也 有相互作用(系统内力),则 对 1: 12111 FFm a 对 2: 21222 FFm a 其中, 2112 FF 联立
2、,得: 121 122 FFmam a 这个方程中,等式左边只剩下系统外力,等式右边则是各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢量相 加。 上述推导中,研究对象只有两个,但是很容易将上述结论推广到任意多个研究对象,方法仍然是分别 对各个物体列动力学方程,然后相加由于内力总是成对出现,且每对内力总是等大反向,因此相加的 结果仍然是:等式左边只剩下系统外力,等式右边则是各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢量相加。 这个结论就是系统的牛顿第二定律,其通式为: 112233 .Fm am am a外 或者: 112233 . xxxx Fm am am a 外 , 112233 . yyyy Fm am
3、am a 外 2、理解 系统的牛顿第二定律表达式左边只有系统外力,因此它只适用于处理系统外力相关问题,一旦涉及系 统内力,则只能用隔离法。系统的牛顿第二定律表达式右边为“各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢 量相加”,因此并不要求各个部分相对静止各个部分有相对速度、相对加速度时,仍然可以选系统为 研究对象,使用整体法处理问题。 如果系统内各个部分是相对静止的即各个部分的加速度、速度均相同,则系统的牛顿第二定律方 程可以简化为: 123 (.)Fmmma外 , 这就是我们熟悉的几个物体相对静止时的整体动力学方程。 对于这个方程,我们甚至可以这样理解任何物体都是有内部结构的,组成物体的各个部分之间
4、都存在 相互作用和相对运动,但是,在处理某些问题时,当内部运动相对整体运动可以忽略不计时,我们就可以 近似的认为各个部分是相对静止的,把物体当作一个“质点”来处理,从而只需要考虑整体所受外力的影 响。比如人站在地面上不动,求地面支持力的大小这个问题中,人体内心脏在跳动、血液在流动、肺 部在呼吸、肠胃在蠕动但是,在大部分问题的处理中,我们往往并不考虑这些,而直接把人体当作一 个质点来处理了。 不过,上述推导过程中,将系统内力进行了相加,并且依据一对内力总是等大反向(牛顿第三定律), 认为内力总和为零。实际上,内力作用对系统内各个物体的加速度是有影响的,一对内力的效果是无法抵 F1 F2 F21
5、F12 1 2 消的毕竟它们是作用在不同物体上。因此,内力总和为零是从数学意义角度处理的,系统的牛顿第二 定律是一个有用的数学结论。有些学生无法理解明明是作用在1 物体上的力,如何会在2 物体上产生加速 度,其原因就在这里因此,没必要把系统的牛顿第二定律看成是一个因果关系方程,仅仅看作一个有 用的数学结论即可。 二、整体法的应用举例 因为不涉及系统内力,所以用整体法处理问题往往来得比隔离法分别处理各个物体要简洁、迅速得多, 因此,审题时要敏锐的把握住题意是否涉及的是系统外力,或者只需要考虑系统外力即可,如果是, 优先考虑使用整体法(系统牛顿第二定律)。 1、静力学中的应用 (1)系统内几个物体
6、相对静止的情况 【例 1】(2010山东理综 )如图所示,质量分别为m1、m2的两个物体通过轻弹簧连接,在力 F 的作用下 一起沿水平方向做匀速直线运动(m1在地面, m2在空中 ),力 F 与水平方向成 角则 m1所受支持力 FN和 摩擦力 Ff正确的是 ( ) AFNm1gm2gFsin BFNm1gm2gFcos CFfFcos DFfFsin 【分析】地面对m1的支持力、摩擦力,是“ m1、m2、轻弹簧整体”的系统外力,因此 本题用整体法较快。 【解析】选m1、m2、轻弹簧整体为研究对象,其受力如图所示,则有: 竖直方向: FNFsin (m1m2)g0 水平方向: FfFcos 0
7、解得: FNm1gm2gFsin ,FfFcos 。选 BC。 【例 2】(2014济宁模拟 )如图所示, 两个光滑金属球a、b 置于一个桶形容器中, 两球的质量mamb,对于图中的两种放置方式,下列说法正确的是() A两种情况对于容器左壁的弹力大小相同 B两种情况对于容器右壁的弹力大小相同 C两种情况对于容器底部的弹力大小相同 D两种情况两球之间的弹力大小相同 【分析】容器壁和容器底部对球的弹力都是系统外力,因此可以使用整体法分析;不过本问题中,系 统在水平方向所受外力均为未知力,因此仅仅选整体为研究对象,是无法求解的。因此需要先选上面的物 体为研究对象,分析出左壁对球的弹力后,再用整体法才
8、可。 【解析】以上面的金属球为研究对象,其受力如图1 所示,将三个力按顺序首尾相接,得如图2 闭合 三角形,则有:FN1=m上gtan , N cos m g F 上 ,由于两种情 况下 不变,则 m上减小时, FN1、FN均减小。 选两球整体为研究对象,其受力如图3 所示,则有: 竖直方向: FN地(m1m2)g0 水平方向: FN1FN20 解得: FN地=(m1m2)g 不变, FN1=FN2 m上 gtan 均 变化。 本题选 C. (2)系统内个别物体匀速运动的情况 【例 3】(2013北京理综 改编 )倾角为 、质量为 M 的斜面体静止放置在粗糙水平桌面上,质量为m 的 木块恰好能
9、沿斜面体匀速下滑。则下列结论正确的是() A木块受到的摩擦力大小是mgcos B木块对斜面体的压力大小是mgsin C桌面对斜面体的摩擦力大小是mgsin cos D桌面对斜面体的支持力大小是(Mm)g 【分析】桌面对斜面体的摩擦力和支持力是系统外力,可以选木块、斜面体系统为研究对象分析这两 个力。 (m1+m2)g F FN Ff FN1FN2 FN地 m 总g m上g FN1 FN m上g FN1 FN 【解析】 选木块为研究对象,易知 A 应为 mgsin 、B 应为 mgcos ;选木块、 斜面体系统为研究对象, 其受力如图所示,由题意,木块、斜面体加速度均为0,故有: 竖直方向: F
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