最新《现代控制理论基础》考试题b卷及答案.pdf
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1、精品文档 精品文档 一(本题满分10分) 请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状 态变量的设置如图所示,系统的输出变量为流经电感 2 L的电流强度。 【解答】根据基尔霍夫定律得: 1 113 2223 321 L xRxxu L xRxx Cxxx 改写为 113 111 223 22 312 11 1 11 R xxxu LLL R xxx LL xxx CC ,输出方程为 2 yx 写成矩阵形式为 精品文档 精品文档 11 111 22 22 33 1 2 3 1 01 1 00 0 11 0 010 R LL xxL R xxu LL xx CC x yx x 二
2、 (本题满分 10 分) 单输入单输出离散时间系统的差分方程为 (2)5 (1)3 ( )(1)2 ( )y ky ky kr kr k 回答下列问题: (1)求系统的脉冲传递函数; (2)分析系统的稳定性; (3)取状态变量为 1( ) ( )x ky k , 21( )(1)( )xkx kr k,求系统的状态空间表达式; (4)分析系统的状态能观性。 【解答】 (1)在零初始条件下进行z 变换有: 2 53( )2( )zzY zzR z 系统的脉冲传递函数: 2 ( )2 ( )53 Y zz R zzz (2)系统的特征方程为 2 ( )530D zzz 特征根为 1 4.3z, 2
3、 0.7z, 1 1z,所以离散系统不稳定。 (3)由 1( ) ( )x ky k, 21 ( )(1)( )x kx kr k,可以得到 21 (1)(2)(1)(2)(1)xkx kr ky kr k 由已知得 (2)(1)2 ( )5 (1)3 ( )y kr kr ky ky k 11 2 ( )5(1)3( )r kx kx k 21 2 ( )5( )( )3 ( )r kxkr kx k 12 3( )5( )3 ( )x kxkr k 于是有: 212 (1)3( )5( )3 ( )x kx kxkr k 又因为 12 (1)( )( )x kxkr k 所以状态空间表达式
4、为 精品文档 精品文档 11 22 1 2 (1)( )011 ( ) (1)35( )3 ( ) ( )10 ( ) x kx k r k x kx k x k y k x k (4)系统矩阵为 01 35 G,输出矩阵为10c, 01 1001 35 cG 能观性矩阵为 o 10 01 c Q cG , o rank2Q,系统完全能观。 三 (本题满分 10 分) 回答下列问题: (1)简述线性系统的对偶原理; (2)简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系; (3)r输入r输出 2r 阶线性解耦系统等效于多少个独立的单输入单输出系统? 【解答】 (1)若线性系统 1 与线性系统
5、 2 互为对偶,则系统1 的能控性等价于系统2的能观性, 系统 1的能观性等价于系统2 的能控性。 (2)若线性定常系统的状态稳定,则输出必稳定,反之,若线性定常系统的输出稳定, 则状态未必稳定。当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时,其状态稳 定性和输出稳定性才是等价的。 (3)r输入r输出 2r 阶线性解耦系统等效于 r 个独立的单输入单输出系统。 四 (本题满分 10 分) 设有一个 2 阶非线性系统,其状态方程为 1122 22 cosxxxx xx ,判断该系统在坐标 原点处的稳定性,并证明你的判断。 【解】此系统在坐标原点处不稳定。 【证明】 取李雅普诺夫函数 22 1
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