九年级数学上册专题突破讲练四点共圆问题大盘点试题新版青岛版.pdf
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1、四点共圆问题大盘点 1. 四点共圆的性质: (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角度数相等; (2)圆内接四边形的对角互补; (3)圆内接四边形的外角等于内对角。 2. 四点共圆常用的判定方法: 判定 1: 到定点的距离等于定长的点在同一圆上。 如果:OA=OB=OC=OD,则A、B、C、D四点共圆。 判定2:若两个直角三角形共斜边,则四个顶点共圆,且直角三角形的斜边为圆的直 径。 如果:ABD和BCD是直角三角形,则A、B、C、D四点共圆。 判定 3: 共底边的两个三角形顶角相等,且在底边的同侧,则四个顶点共圆。 如果:A、D在公共边BC同侧,且A=D,则A、B、C、D四点共圆。
2、 判定 4:对于凸四边形ABCD,若对角互补或一个外角等于其邻补角的内对角,则A、B、 C、D四点共圆。 如果: 1+2=180或 1=3,则A、B、C、D四点共圆。 判定 5:对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于点P,若PAPC=PBPD,则A、B、 C、D四点共圆。(相交弦定理的逆定理) 例题(郑州模拟)如图,在正ABC 中,点 D,E分别在边AC ,AB上,且 AD= 3 1 AC, AE= 3 2 AB , BD ,CE相交于点F。 (1)求证:A、E、F、D四点共圆; (2)若正ABC的边长为2,求A、E、F、D所在圆的半径。 解析: (1) 依题意,可证得BADCBE, 从而
3、得到ADB=BEC? ADF+AEF=180, 即可证得A,E,F,D四点共圆; (2) 取AE的中点G, 连接GD, 可证得AGD为正三角形,GA=GE=GD= 3 2 , 即点G是AED 外接圆的圆心,且圆G的半径为 3 2 。 答案: (1)证明:AE= 3 2 AB, BE= 3 1 AB, 在正ABC中,AD= 3 1 AC, AD=BE, 又AB=BC,BAD=CBE, BADCBE, ADB=BEC, 即ADF+AEF=180,所以A,E,F,D四点共圆。 (2)解:如图, 取AE的中点G,连接GD,则AG=GE= 1 2 AE, AE= 3 2 AB, AG=GE= 1 3 A
4、B= 3 2 , AD= 1 3 AC= 3 2 ,DAE=60,AB=AC AGD为正三角形, GD=AG=AD= 3 2 ,即 GA=GE=GD= 3 2 , 所以点 G是AED外接圆的圆心,且圆G的半径为 3 2 , 由于 A,E, F,D四点共圆,即A,E,F, D四点共圆G,其半径为 3 2 。 点拨: 本题着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明,突出推理能力与分析运算能 力的考查,属于难题。 【方法定位】 将已知条件、欲求的结论以及所给图形的特点三个方面认真分析、思考,即可发现, 适当利用四点共圆的有关性质以及定理,就能巧妙地找到解决问题的途径。也就是说, 四点 共圆有时在解(证
5、)题中起着“搭桥铺路”的作用。 例题(河南模拟)如图:AB是O的直径,G是AB延长线上的一点,GCD是O的 割线,过点G作AG的垂线,交直线AC于点E,交直线AD于点F,过点G作O的切线,切 点为H。 (1)求证:C,D,E,F四点共圆; (2)若GH=6,GE=4,求EF的长。 解析: (1)连接 DB,利用 AB是O 的直径,可得 ADB=90 ,在RtABD和 RtAFG 中, ABD= AFE ,又同弧所对的圆周角相等可得ACD= ABD ,进而得到 ACD= AFE即可 证明四点共圆; (2)由C,D,E,F四点共圆,利用共线定理可得GEGF=GCGD。由GH是O的切 线,利用切割线
6、定理可得GH 2=GC GD,进而得到GH 2=GE GF。即可 答案: 证明: (1)连接 DB ,AB是O 的直径, ADB=90 , 在 RtABD和 RtAFG中, ABD= AFE , 又 ABD= ACD , ACD= AFE 。 C,D,E,F四点共圆; (2)C,D,E,F四点共圆,GEGF=GCGD。 GH是O的切线,GH 2=GC GD,GH 2=GE GF。 又因为GH=6,GE=4,所以GF=9。 EF=GFGE=94=5。 点拨: 熟练掌握圆的切线的性质、同弧所对的圆周角相等、四点共圆的判定方法、切 割线定理等是解题的关键。此题综合性较强,涉及知识点较全面。 (答题时
7、间:30 分钟) 一、选择题 1. 锐角ABC的三条高AD、BE、CF交于H,在A、B、C、D、E、F、H七个点中。能组成 四点共圆的组数是() A. 4组B. 5组C. 6组D. 7组 2. 如图,在四边形ABCD中,AC、BD为对角线,点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD 边的中点,下列说法: 当AC=BD时,M、E、N、F四点共圆。 当ACBD时,M、E、N、F四点共圆。 当AC=BD且ACBD时,M、E、N、F四点共圆。 其中正确的是() A. B. C. D. 3. 如图,A,B,C,D是圆上四点,AD,BC的延长线交于点P,弧AB、弧CD分别为 100、 40,则P的度数为
8、() A. 40 B. 35 C. 60 D. 30 4. (高青县模拟)如图,四边形ABCD内接于O,AB为O的直径,CM切O于点C, BCM=60,则B的正切值是() A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 5. 已知Pi(i=1,2,3,4)是抛物线y=x 2+bx+1 上共圆的四点,它们的横坐标分别为 xi (i=1,2,3,4) ,又xi(i=1,2,3,4)是方程(x 24x+m ) (x 24x+n)=0 的根,则二次 函数y=x 2+bx+1 的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 6. 如图,在ABC中,AD,BE分别是A,B的角平分
9、线,O是AD与BE的交点,若C, D,O,E四点共圆,DE=3,则ODE的内切圆半径为。 7. (济宁)如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,若CAD=76,则CBD= 度。 8. 已知ABC的中线AD、BE交于K,AB=3,且K,D,C,E四点共圆, 则CK= 。 *9. 如图,CD为ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB 与弦AC上的点,且BCAE=DCAF,B,E,F,C四点共圆。若DB=BE=EA,则过B,E,F,C 四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为。 三、解答题 10. (太原模拟)如图,已知AB为半圆O的直径,BE、CD分别为半圆的切线,切
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