人教A版高中数学必修一3.2.2函数模型的应用实例学案.pdf
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1、3.2.2函数模型的应用实例(学案) 一、学习目标 1.能利用已知函数模型求解实际问题. 2.能自建确定性函数模型解决实际问题. 3.了解建立拟合函数模型的步骤,并了解检验和调整的必要性 二、自主学习 知识点一几类已知函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)axb(a,b 为常数, a0) 反比例函数模型f(x) k xb(k,b 为常数且 k0) 二次函数模型f(x)ax2 bxc(a,b,c 为常数, a0) 指数型函数模型f(x) baxc(a,b,c 为常数, b0 ,a 0 且 a1) 对数型函数模型f(x)blogaxc(a, b,c 为常数, b0 , a0 且 a 1
2、) 幂函数型模型f(x)axnb(a,b 为常数, a0) 知识点二应用函数模型解决问题的基本过程 用函数模型解应用题的四个步骤 (1)审题 弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型; (2)建模 将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立 相应的数学模型; (3)求模 求解数学模型,得出数学模型; (4)还原 将数学结论还原为实际问题 1实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系() 2用来拟合散点图的函数图象一定要经过所有散点() 3函数模型中,要求定义域只需使函数式有意义( ) 4用函数模型预测的结果和实际结果必须相等,否则函数模型就无存在意义了(
3、) 三、合作探究 类型一利用已知函数模型求解实际问题 例 1某列火车从北京西站开往石家庄,全程 277 km.火车出发 10 min 开出 13 km 后,以 120 km/h 的速度匀速行驶试写出火车行驶的总路程S 与匀速行驶的时间t 之间的关系,并求 火车离开北京2 h 内行驶的路程 解因为火车匀速运动的时间为(277 13) 120 11 5 (h),所以 0 t 11 5 . 因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t km,所以,火车运行总路程S与匀速行驶时间t 之间的关系是S13120t 0 t 11 5 .2 h 内火车行驶的路程S13120210 60 233(km) 反思
4、与感悟在实际问题中, 有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型,这时可借助 待定系数法求出函数解析式,再根据解题需要研究函数性质 跟踪训练1如图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 米,水面宽4 米则水位 下降 1 米后,水面宽 _米 答案2 6 解析以拱顶为原点,过原点与水面平行的直线为x 轴,建立平面直角坐标系(如图 ),则水 面和拱桥交点A(2, 2),设抛物线所对应的函数关系式为y ax2(a 0) ,则 2a 22, a 1 2, y 1 2x 2.当水面下降 1 米时,水面和拱桥的交点记作B(b, 3), 将 B 点的坐标代入到y 1 2x 2 中,得 b 6,因此水面宽
5、26米 类型二自建确定性函数模型解决实际问题 例 2某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境,打算建造一个八边形的休闲花园, 它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和 EFGH 构成面积为200 米 2 的十字形区 域,且计划在正方形MNPK 上建一座花坛, 其造价为4 200 元/米 2,在四个相同的矩形上 (图 中的阴影部分 )铺花岗岩路面,其造价为210 元/米 2,并在四个三角形空地上铺草坪,其造 价为 80 元/米 2. (1)设 AD 的长为 x 米,试写出总造价Q(单位:元 )关于 x 的函数解析式; (2)问:当 x 取何值时,总造价最少?求出这个最小值 解(1)设
6、 AMy,ADx, 则 x24xy 200, y 200x 2 4x . 故 Q4 200x2210 4xy80 2y238 0004 000x2 400 000 x 2(0x102) (2)令 t x 2,则 Q38 0004 000 t100 t , 且 0t200. 函数 ut100 t 在(0,10上单调递减,在10,200)上单调递增, 当 t10 时, umin20.故当 x10时, Qmin118 000(元) 反思与感悟自建模型时主要抓住四个关键:“ 求什么,设什么,列什么,限制什么” 求什么就是弄清楚要解决什么问题,完成什么任务 设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素,谁是核心因
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