六年级数学上册组合图形的周长和面积.pdf
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1、1 六年级数学上册组合图形的周长和面积 例 1.求阴影部分的面积。 (单位:厘米) 解:这是最基本的方法:圆面积减去等腰直角三角形的面积, -2 1=1.14(平方厘米) 例 2.正方形面积是 7 平方厘米,求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解:这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。 设圆的半径为r,因为正方形的面积为7 平方厘米,所以=7, 所以阴影部分的面积为: 7-=7- 7=1.505 平方厘米 例 3.求图中阴影部分的面积。 (单位:厘米) 解:最基本的方法之一。用四个圆组成一个圆,用正方形的面积减去圆的 面积, 所以阴影部分的面积: 2 2- 0.86 平方厘米。 例
2、4.求阴影部分的面积。 (单位:厘米) 解:同上,正方形面积减去圆面积, 16-( )=16-4 =3.44 平方厘米 例 5.求阴影部分的面积。 (单位:厘米) 解:这是一个用最常用的方法解最常见的题,为方便起见, 我们把阴影部分的每一个小部分称为“ 叶形” ,是用两个圆减去一个正方 形, ( ) 2-16=8-16=9.12 平方厘米 另外:此题还可以看成是1 题中阴影部分的 8 倍。 2 例 6.如图:已知小圆半径为2 厘米,大圆半径是小圆的3 倍,问:空白部分甲比乙的面积 多多少厘米? 解:两个空白部分面积之差就是两圆面积之差(全加上阴影部分) -( )=100.48 平方厘米 (注:
3、这和两个圆是否相交、交的情况如何无关) 例 7.求阴影部分的面积。 (单位:厘米) 解:正方形面积可用 (对角线长 对角线长 2,求) 正方形面积为: 5 5 2=12.5 所以阴影面积为: 4-12.5=7.125 平方厘米 (注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 例 8.求阴影部分的面积。 (单位:厘米) 解:右面正方形上部阴影部分的面积,等于左面正方形下部空白部分面 积,割补以后为圆, 所以阴影部分面积为:( )=3.14 平方厘米 例 9.求阴影部分的面积。 (单位:厘米) 解:把右面的正方形平移至左边的正方形部分,则阴影部分合成一个长方形, 所以阴影部分面
4、积为: 2 3=6 平方厘米 例 10.求阴影部分的面积。 (单位:厘米) 解:同上,平移左右两部分至中间部分,则合成一个长方形, 所以阴影部分面积为2 1=2 平方厘米 (注: 8、9、10 三题是简单割、补或平移 ) 例 11.求阴影部分的面积。 (单位:厘米) 解: 这种图形称为环形,可以用两个同心圆的面积差或差的一部分来求。 (- )= 3.14=3.66 平方厘米 3 例 12.求阴影部分的面积。 (单位:厘米) 解:三个部分拼成一个半圆面积 ( ) 14.13 平方厘米 例 13.求阴影部分的面积。 (单位:厘米) 解: 连对角线后将 “叶形“剪开移到右上面的空白部分,凑成正方形的
5、一半 . 所以阴影部分面积为: 8 8 2=32 平方厘米 例 14.求阴影部分的面积。 (单位:厘米) 解:梯形面积减去圆面积, (4+10) 4- =28-4=15.44 平方厘米 . 例 15.已知直角三角形面积是12 平方厘米,求阴影部分的面积。 分析: 此题比上面的题有一定难度, 这是“ 叶形“ 的一个半 . 解: 设三角形的直角边长为r ,则=12,=6 圆面积为: 2=3。圆内三角形的面积为122=6, 阴影部分面积为: (3-6)=5.13 平方厘米 例 16.求阴影部分的面积。 ( 单位: 厘米) 解: = (116-36)=40 =125.6 平方厘米 例 17.图中圆的半
6、径为5 厘米, 求阴影部分的面积。 ( 单位: 厘米) 解:上面的阴影部分以AB为轴翻转后,整个阴影部分成为梯形减去直 角三角形,或两个小直角三角形AED 、BCD 面积和。 所以阴影部分面积为: 552+5102=37.5 平方厘米 4 例 18.如图,在边长为6 厘米的等边三角形中挖去三个同样的扇形, 求阴影部分的周长。 解:阴影部分的周长为三个扇形弧,拼在一起为一个半圆弧, 所以圆弧周长为: 23.1432=9.42 厘米 例 19.正方形边长为 2 厘米,求阴影部分的面积。 解:右半部分上面部分逆时针,下面部分顺时针旋转到左半部分,组成一个 矩形。 所以面积为: 12=2 平方厘米 例
7、 20.如图,正方形 ABCD 的面积是 36 平方厘米,求阴影部分的面积。 解:设小圆半径为r,4 =36, r=3 ,大圆半径为 R ,=2 =18, 将阴影部分通过转动移在一起构成半个圆环, 所以面积为 : (-)2=4.5 =14.13 平方厘米 例 21. 图中四个圆的半径都是1 厘米,求阴影部分的面积。 解:把中间部分分成四等分, 分别放在上面圆的四个角上, 补成一个正方形, 边长为 2 厘米, 所以面积为: 22=4 平方厘米 例 22. 如图,正方形边长为8 厘米,求阴影部分的面积。 解法一 : 将左边上面一块移至右边上面, 补上空白 , 则左边为一三角形 , 右 边一个半圆
8、. 阴影部分为一个三角形和一个半圆面积之和. () 2+44=8 +16=41.12 平方厘米 5 解法二 : 补上两个空白为一个完整的圆. 所以阴影部分面积为一个圆减去一个叶形, 叶形面积为 : ()2-44=8-16 所以阴影部分的面积为 : ()-8 +16=41.12 平方厘米 例 23.图中的 4 个圆的圆心是正方形的4 个顶点,它们的公共点是该正方形的中心,如果 每个圆的半径都是1 厘米,那么阴影部分的面积是多少? 解:面积为个圆减去个叶形,叶形面积为:- 11= -1 所以阴影部分的面积为 :4 -8(-1)=8 平方厘米 例 24.如图,有 8 个半径为 1 厘米的小圆, 用他
9、们的圆周的一部分连成一个花瓣图形,图中 的黑点是这些圆的圆心。如果圆周 率取 3.1416,那么花瓣图形的的面积是多少平方厘 米? 分析:连接角上四个小圆的圆心构成一个正方形,各个小圆被切去个圆, 这四个部分正好合成个整圆,而正方形中的空白部分合成两个小圆 解:阴影部分为大正方形面积与一个小圆面积之和 为:44+=19.1416 平方厘米 例 25.如图,四个扇形的半径相等,求阴影部分的面积。( 单位: 厘米) 分析:四个空白部分可以拼成一个以为半径的圆 所以阴影部分的面积为梯形面积减去圆的面积, 4(4+7) 2- =22-4=9.44 平方厘米 例 26.如图,等腰直角三角形ABC 和四分
10、之一圆 DEB ,AB=5厘米, BE=2厘米,求图中阴影 部分的面积。 解: 将三角形 CEB以 B为圆心,逆时针转动90 度,到三角形 ABD位置, 阴影部分成为三角形ACB面积减去个小圆面积 , 为: 5 52-4=12.25-3.14=9.36平方厘米 例 27.如图,正方形 ABCD 的对角线 AC=2厘米,扇形 ACB 是以 AC为直径 6 的半圆,扇形 DAC 是以 D为圆心, AD为半径的圆的一部分,求阴影部分的面积。 解: 因为 2=4,所以=2 以 AC为直径的圆面积减去三角形ABC面积加上弓形 AC面积, -224+4-2 = -1+(-1) =-2=1.14 平方厘米
11、例 28.求阴影部分的面积。 ( 单位: 厘米) 解法一:设 AC中点为 B,阴影面积为三角形ABD 面积加弓形 BD的面 积, 三角形 ABD的面积为 :5 52=12.5 弓形面积为 : 2-55 2=7.125 所以阴影面积为 :12.5+7.125=19.625平方厘米 解法二:右上面空白部分为小正方形面积减去小圆面积,其值为: 55-=25- 阴影面积为三角形 ADC减去空白部分面积, 为:1052-(25-)=19.625 平方厘米 例 29.图中直角三角形ABC 的直角三角形的直角边AB=4厘米,BC=6厘米,扇形 BCD 所在圆 是以 B为圆心,半径为 BC的圆, CBD= ,
12、问:阴影部分甲比乙面积小多少? 解: 甲、乙两个部分同补上空白部分的三角形后合成一个扇形BCD ,一个成为三角形ABC , 此两部分差即为: 465-12=3.7 平方厘米 7 例 30.如图, 三角形 ABC是直角三角形,阴影部分甲比阴影部分乙面积大28 平方厘米,AB=40 厘米。求 BC的长度。 解:两部分同补上空白部分后为直角三角形ABC ,一个为半圆,设BC长为 X,则 40X 2- 2=28 所以 40X-400=56 则 X=32.8 厘米 例 31.如图是一个正方形和半圆所组成的图形,其中P为半圆周的中点, Q为正方形一边上的中点,求阴影部分的面积。 解:连 PD 、PC转换为
13、两个三角形和两个弓形, 两三角形面积为: APD面积+QPC 面积= (510+55)=37.5 两弓形 PC 、PD面积为:- 55 所以阴影部分的面积为: 37.5+-25=51.75 平方厘米 例 32.如图,大正方形的边长为6 厘米,小正方形的边长为4 厘米。求阴影部分的面积。 解:三角形 DCE 的面积为 :410=20 平方厘米 梯形 ABCD 的面积为 :(4+6) 4=20平方厘米从而知道它们面积相 等, 则三角形 ADF面积等于三角形 EBF面积,阴影部分可补成圆 ABE的 面积,其面积为: 4=9=28.26 平方厘米 例 33.求阴影部分的面积。 ( 单位: 厘米) 解:
14、 用 大圆的面积减去长方形面积再加上一个以2 为半径的圆 ABE面积,为 (+)-6 = 13-6 =4.205 平方厘米 例 34.求阴影部分的面积。 ( 单位: 厘米) 解:两个弓形面积为: - 342=-6 8 阴影部分为两个半圆面积减去两个弓形面积,结果为 +- (-6)=(4+-)+6=6平方厘米 例 35.如图,三角形 OAB 是等腰三角形, OBC 是扇形, OB=5 厘米,求阴影部分的面积。 解:将两个同样的图形拼在一起成为圆减等腰直角三角形 4-55 2 =(-)2=3.5625 平方厘米 例 36.如图 1910 所示,两圆半径都是1 厘米,且图中两个阴影部分的面积相等。求
15、长方 形 ABO1O 的面积。 B 解:因为两圆的半径相等,所以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中两个阴影部分的 面积相等,所以扇形的面积等于长方形面积的一半(如图1910 右图所示)。 所以 3.141 21 4 21.57(平方厘米) 答:长方形长方形ABO1O 的面积是 1.57平方厘米。 例 37.如图 1914 所示,求阴影部分的面积(单位:厘米) 。 解:我们可以把三角形ABC 看成是长方形的一部分,把它还原成长方形后(如右图所示), 因为原大三角形的面积与后加上的三角形面积相等,并且空白部分的两组三 角形面积分别相等,所以I 和 II 的面积相等。 6424(平方厘米) 答:阴
16、影部分的面积是24 平方厘米。 A OO 1914 C D A B E 4 6 II I 9 例 38 如图 1918 所示,图中圆的直径AB 是 4 厘米,平行四边形ABCD 的面积是 7 平方 厘米, ABC30 度,求阴影部分的面积(得数保留两位小数)。 解:阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形AOC 的面积,再减去三角形BOC 的 面积。 半径: 422(厘米) 扇形的圆心角: 180(180302)60(度) 扇形的面积: 223.14 60 360 2.09(平方厘米) 三角形 BOC 的面积: 7221.75(平方厘米) 7(2.09+1.75)3.16(平方厘米) 答:阴
17、影部分的面积是3.16 平方厘米。 组合图形的周长与面积练习题 圆的周长和面积 ( 一) 【知识要点 】 :用剪拼移补的方法计算组合图形的面积 1、计算下面图形中涂色部分的面积。 (单位:厘米 ) 3 1 5 3 2、求下面图形中涂色部分的面积。 (单位:厘米 ) 5 5 8 3、下面两个圆中直角等腰三角形的面积都是5 平方厘米,求圆的面积。 O 4、如下图示, AB 4 厘米,求涂色部分的面积。 1918 A B O C D A B O C D 10 A O B 5. 求阴影面积 15 厘米 6、如下图所示,一个圆的周长是15.7 厘米,求长方形的面积。 圆的周长和面积 (二) 一、关键问题
18、: 对于组合图形的面积,可以通过把其中的部分图形进行平移,翻折或旋转,化难为易。 二、典型例题: (一)基础部分: 1、例 1、将半径分别是3 厘米和 2 厘米的两个半圆如图放置,求阴影部分的周长。 2、例 2、求图中阴影部分的面积(单位:厘米) 3、例 3、求图中阴影部分的面积(单位:厘米) (二)拓展部分: 1、例 1:两条细绳各自牢牢地绑住如(甲) (乙)两图所示的卷筒纸,每个卷筒纸的半径 是 10 。请问这两条细绳的长度分别是几厘米? 2 厘米3 厘米 O1 O 6 6 6 4 o 11 (甲)(乙) 三、热身演练: (一)基础练习: 1、如图:正方形的边长是5 厘米,那么阴影部分的周
19、长是多少厘米? 2、求阴影部分的周长。 3、计算下面图形中阴影部分的面积(单位:厘米) 4、计算下面图形中阴影部分的面积(单位:厘米) (二)拓展练习: 1、有 7 根直径都是 2 分米的圆柱形木棍,想用一根绳子把它们捆成一捆,最短需要多少米 长的绳子?(打结用的绳长不计) 2、直径均为 1 米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起,(如图) ,试求金属带的长度。 3、求下面图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。 4 4 6 6 6 6 5 o 2 45o 3 o 12 4、下图:大圆直径上的所有小圆的周长之和与大圆的周长有什么关系?如果小圆的直径分 别是 3 厘米、1 厘米、 4 厘米、 2 厘
20、米。请求出大圆直径上所有小圆的周长之和,以及大 圆的周长。 5、下图:小圆的周长是12.56厘米,环形的宽度是2 厘米,请求出环形的面积。 6、下图:长方形的长是6 厘米,宽是 3 厘米。请求出阴影部分的面积。 7、下图:大正方形的边长是10 厘米,小正方形的边长是8 厘米,请求出阴影部分的面积。 8、求出下图阴影部分的面积。 9、求出下图阴影部分的面积。 13 10、下图:正方形的边长是5 厘米,请求出阴影部分的面积。阴影部分占正方形的百分之 几? 11、下图是由两个边长是5 厘米正方形的拼成长方形,请求出阴影部分的面积。 12、下图正方形的面积是8 平方厘米,画出其对称轴,并求出阴影部分的
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- 六年级 数学 上册 组合 图形 周长 面积
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