加法原理和乘法原理教师版.pdf
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1、. . 加法原理和乘法原理 2011 寒假班五年级上 加法原理 :完成一件工作共有N类方法。 在第一类方法中有m1种不同的方法, 在第二类方法 中有 m2种不同的方法, , 在第 N类方法中有mn种不同的方法,那么完成这件工作共有N m1m2m3 mn种不同方法。 运用加法原理计数,关键在于合理分类,不重不漏。 要求每一类中的每一种方法都可以独立 地完成此任务; 两类不同办法中的具体方法,互不相同 ( 即分类不重 ) ;完成此任务的任何一 种方法, 都属于某一类( 即分类不漏 ) 。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点,不同的 问题,分类的标准往往不同,需要积累一定的解题经验。 乘法原理 :
2、完成一件工作共需N个步骤:完成第一个步骤有m1种方法,完成第二个步骤有 m2种方法,完成第N个步骤有mn种方法,那么,完成这件工作共有m1m2mn种方 法。 运用乘法原理计数,关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤, 各个步骤之间是相互联 系的, 任何一步的一种方法都不能完成此工作,必须连续完成这N步才能完成此工作;各步 计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此工作的方法也不同。 这两个基本原理是排列和组合 的基础, 教学时要先通过生活中浅显的实例,如购物问题、 行 程问题、搭配问题等,帮助孩子理解两个原理,再让孩子学习运用原理解决问题。 运用两个原理解决的都是比较复杂的计
3、数问题,在解题时要细心、 耐心、有条理地分析问题。 计数时要注意区分是分类问题还是分步问题,正确运用两个原理。灵活机动地分层重复使用 或综合运用两个原理,可以巧妙解决很多复杂的计数问题。小学阶段只学习两个原理的简单 应用。 【题目 1】用 1角、 2角和 5角的三种人民币(每种的张数没有限制)组成1元钱,有多少种方 法? 【解析】 运用加法原理,把组成方法分成三大类: 只取一种人民币组成1元,有 3种方法: 10张1角; 5张2角; 2张5角。 取两种人民币组成1元,有 5种方法: 1张 5角和 5张1角;一张 2角和 8张1角; 2张2角和 6张1 角; 3张2角和 4张1角; 4张 2角和
4、 2张1角。 取三种人民币组成1元,有 2种方法: 1张5角、1张2角和 3张1角的; 1张5角、2张 2角和 1张1 . . 角的。 所以共有组成方法:3+5+2=10(种)。 【题目 2】各数位的数字之和是24的三位数共有多少个? 【解析】 一个数各个数位上的数字,最大只能是9,24可分拆为: 24=9+9+7; 24=9+8+7 ; 24=8+8+8。运用加法原理,把组成的三位数分为三大类: 由 9、9、8三个数字可组成3个三位数: 998、989、899; 由 9、8、7三个数字可组成6个三位数: 987、978、897、879、798、789; 由 8、8、8三个数字可组成1个三位数
5、: 888。 所以组成三位数共有:3+6+1=10(个)。 【随堂练习】 :北京奥运会开幕的日子为2008年 8月8日,拼成一个八位数为20080808. 它的数 字和为 26,请问在 2008年还有哪些日子拼成的八位数,其数字之和为26? 0529,0628,0727,0826,0925 【题目 3】有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7和8厘米的细木条若干,从中选取适当的 3根木条作为三条边可以围成多少个不同的三角形? 【解析】 围三角形的依据:三根木条能围成三角形,必须满足任意两边之和大于第三边。要 满足这个条件,需要且只需要两条较短边的和大于最长边就可以了。 这道题的计数比较复杂,
6、需要分层重复运用加法原理。 根据三角形三边长度情况,我们先把围成的三角形分为两大类: 第一大类:围成三角形的三根木条,至少有两根木条等长(包括三根等长的)。 由题目条件,围成的等腰三角形腰长可以为1、2、3、4、5、6、7、8厘米,根据三角形腰长, 第一大类又可以分为8小类,三边长依次是: 腰长为 1的三角形 1个: 1、1、1。 腰长为 2的三角形 3个: 2、2、1;2、2、 2;2、2、3。 腰长为 3的三角形 5个: 3、3、1;3、3、 2;3、3、3;3、3、4;3、3、5。 腰长为 4的三角形 7个: 4、4、1;4、4、 2; 4、 4、7。 腰长为 5的三角形 8个: 5、5
7、、1;5、5、 2; 5、 5、8。 . . 同理,腰长为 6、7、8厘米的三角形都是8个。 第一大类可围成的不同的三角形:1+3+5+7+8 4=48(个)。 第二大类:围成三角形的三根木条,任意两根木条的长度都不同。 根据最长边的长度,我们再把第二大类围成的三角形分为五小类(最长边不可能为是3厘米、 2厘米、 1厘米) : 最长边为 8厘米的三角形有9个,三边长分别为:8、7、6;8、7、5;8、 7、4;8、7、3; 8、7、2;8、6、5;8、6、4;8、 6、3;8、5、4。 最长边为 7厘米的三角形有6个,三边长分别为:7、6、5;7、6、4;7、 6、3;7、6、2; 7、5、4
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