导数中含参数单调性及取值范围.pdf
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1、. ;. 应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点; 利用导数研究函数的单调 性、极值、最值、图象仍将是高考的主题; 利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的 热点 ; 将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用,仍将是高考 压轴题 . 一含参数函数求单调性(求可导函数单调区间的一般步骤和方 法:(1)确定函数定义域;(2) 求导数 ;(3) 令导数大于0, 解得增区间 , 令导数小于0, 解得减区 间. ) 例 1(2012 西 2)已知函数 2 2 21 ( ) 1 axa f x x ,其中 aR ()当1a时,求曲线( )yf x在原点处的切线方程;
2、 ()求)(xf的单调区 间 ()解:当1a 时, 2 2 ( ) 1 x f x x , 22 (1)(1) ( )2 (1) xx fx x 2 分 由 (0)2f ,得曲线 ( )yf x 在原点处的切线方程是 20xy 3 分 ()解: 2 ()(1) ( )2 1 xa ax fx x 4 分 当 0a 时, 2 2 ( ) 1 x fx x 所以( )f x 在(0, ) 单调递增,在 (,0) 单调递减 5分 当 0a , 2 1 ()() ( )2 1 xa x a fxa x 当0a时,令( )0fx,得 1 xa , 2 1 x a , ( )f x 与 ( )fx 的情况
3、如下: 故)(xf的单调减区间是(,)a, 1 (,) a ;单调增区间是 1 (,)a a 7 分 当0a时,( )f x与( )fx的情况如下: x 1(,)x 1 x 12 (,)xx 2 x 2 (,)x ( )fx 00 ( )f x 1 ()f x 2 ()f x x 2 (,)x 2 x 21 (,)xx 1 x 1 (,)x ( )fx 00 ( )f x 2 ()f x 1 ()f x . ;. 所以( )f x的单调增区间是 1 (,) a ;单调减区间是 1 (,)a a ,( ,)a 9分 ()解:由()得,0a时不合题意 10 分 当0a时 , 由 ( ) 得 ,)(
4、xf在 1 (0,) a 单 调 递 增 , 在 1 (,) a 单 调 递 减 , 所 以 )(xf 在 (0,) 上 存 在 最 大 值 2 1 ()0fa a 设 0 x 为 )(xf 的零点,易知 2 0 1 2 a x a ,且 0 1 x a 从而 0 xx 时, ( )0f x ; 0 xx 时, ( )0f x 若)(xf在0, )上存在最小值,必有(0)0f ,解得 11a 所以 0a 时,若 )(xf 在0, ) 上存在最大值和最小值, a 的取值范围是 (0,1 12 分 当 0a 时 , 由 ( ) 得 , )(xf 在 (0,)a 单 调 递减 , 在( ,)a 单调
5、 递 增, 所 以 )(xf 在(0, ) 上存 在 最 小 值 ()1fa 若)(xf在0,)上存在最大值,必有(0)0f,解得1a,或1a 所以0a时,若)(xf在0,)上存在最大值和最小值,a的取值范围是(, 1 综上, a 的取值范围是 (, 1(0,1U 14 分 例 2 设函数 f(x)=ax(a+1)ln( x+1),其中 a-1,求 f(x)的单调区间 . 【解析】 由已知得函数 ( )f x 的定义域为 ( 1,),且 1 ( )(1), 1 ax fxa x (1)当 10a 时, ( )0,fx 函数 ( )f x 在 ( 1,) 上单调递减, (2)当 0a 时,由 (
6、 )0,fx 解得 1 .x a ( )fx 、 ( )f x 随x的变化情况如下表 x 1 ( 1,) a 1 a 1 (,) a ( ) fx 0 + ( )f x 极小值 Z 从上表可知当 1 ( 1, )x a 时, ( )0,fx 函数 ( )f x 在 1 ( 1,) a 上单调递减 . 当 1 (,)x a 时, ( )0,fx 函数 ( )f x 在 1 (,) a 上单调递增 . 综上所述:当 10a 时,函数 ( )f x 在 ( 1,)上单调递减 .当 0a 时,函数 ( )f x 在 1 ( 1, ) a 上单调递减,函数 ( )f x 在 1 (,) a 上单调递 增
7、. . ;. 已知函数 3 22 ( )1, a f xx x 其中0a. (I)若曲线( )yf x 在 (1,(1)f处的切线与直线1y平行,求a的值; (II )求函数( )f x 在区间1,2上的最小值 . 解: 333 22 22() ( )2 axa fxx xx , 0x . .2 分 (I)由题意可得 3 (1)2(1)0fa ,解得 1a , 3 分 此时(1)4f,在点(1, (1)f处的切线为4y,与直线1y平行 故所求a值为 1. 4分 (II)由( )0fx可得xa, 0a , 5 分 当 01a 时, ( )0fx 在(1,2上恒成立,所以 ( )yf x 在1,2
8、上递增,.6 分 所以( )f x在1,2上的最小值为 3 (1)22fa . 7分 当1 2a 时, x (1, )a a( ,2)a ( )fx 0 ( )f x 极小 由上表可得( )yfx在1,2上的最小值为 2 ( )31f aa . 11分 当 2a 时, ( )0fx 在1,2)上恒成立, 所以 ( )yf x 在1,2上递减 . 12分 所以( )f x在1,2上的最小值为 3 (2)5fa . .13 分 综上讨论, 可知: 当0 1a 时, ( )yfx 在1,2上的最小值为 3 (1)22fa ;当1 2a 时, ( )yf x 在1,2上 的最小值为 2 ( )31f
9、aa ;当 2a 时, ( )yf x 在1,2上的最小值为 3 (2)5fa . 练习 1 已知函数 2 11 ( )ln(0) 22 f xaxxaa且R. (2012海淀一模) ()求( )f x的单调区间; () 是否存在实数a,使得对任意的1,x,都有( )0f x?若存在,求a的 10 分 . ;. 取值范围;若不存在,请说明理由. 2(2012 顺义 2 文) (.本小题共14 分) 已知函数 2 ( )(1)2ln,f xaxx( )2g xax,其中1a ()求曲线( )yf x在(1, (1)f处的切线方程 ; ()设函数( )( )( )h xf xg x,求( )h x
10、的单调区间 . 3(2012 朝 1)18. (本题满分14 分) 已知函数 2 ( )1e x f xax,aR. ()若函数( )f x在 1x 时取得极值,求a的值; ()当0a时,求函数( )f x的单调区间 . 二参数范围 有单调性时分离常数法 例(东 2)已知函数 2 1 ( )2e 2 x f xxxa. ()若1a,求( )f x在1x处的切线方程; ()若)(xf在R上是增函数,求实数a的取值范围 . 解: 1)由1a, 21 ( )2e 2 x f xxx , 3 (1)e 2 f , 1 分 所以( )2e x fxx . 3 分 又 (1)1ef , 所以所求切线方程为
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- 导数 参数 调性 范围
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