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1、精品文档 . 导数练习题( B) 1 (本题满分 12 分) 已 知 函数dxbacbxaxxf)23()( 23 的 图 象如 图 所 示 (I)求dc,的值; (II )若函数)(xf在2x处的切线方程为0113yx, 求函数)(xf的解析式; (III )在(II)的条件下,函数)(xfy与mxxfy5)( 3 1 的图象有三个不同的交点,求 m的取值范围 2 (本小题满分 12 分) 已知函数 )(3ln)(Raaxxaxf (I)求函数)(xf的单调区间; ( II ) 函 数)(xf的 图 象 的 在4x处 切 线 的 斜 率 为, 2 3 若 函 数 2 )( 3 1 )( 23
2、 m xfxxxg在区间( 1,3)上不是单调函数,求m 的取值范围 3 (本小题满分 14 分) 已知函数cbxaxxxf 23 )(的图象经过坐标原点, 且在1x处取得极大值 (I)求实数a的取值范围; (II)若方程 9 )32( )( 2 a xf恰好有两个不同的根,求)(xf的解析式; (III ) 对于 (II) 中的函数)(xf, 对任意R、, 求证:81|)sin2()sin2(|ff 4 (本小题满分 12 分) 已知常数0a,e为自然对数的底数,函数 xexf x )(,xaxxgln)( 2 (I)写出)(xf的单调递增区间,并证明ae a ; (II)讨论函数)(xgy
3、在区间), 1( a e上零点的个数 5 (本小题满分 14 分) 已知函数( )ln(1)(1) 1f xxk x (I)当1k时,求函数( )f x的最大值; (II)若函数( )f x没有零点,求实数k的取值范围; 精品文档 . 6 (本小题满分 12 分) 已知2x是函数 2 ( )(23) x f xxaxae的一个极值点(718.2e) (I)求实数 a的值; (II)求函数( )f x在3, 2 3 x的最大值和最小值 7 (本小题满分 14 分) 已知函数)0,(,ln)2(4)( 2 aRaxaxxxf (I)当 a=18时,求函数)(xf的单调区间; (II)求函数)(xf
4、在区间, 2 ee上的最小值 8 (本小题满分 12 分) 已知函数( )(6)lnf xx xax在(2,)x上不具有 单调性 (I)求实数a的取值范围; (II)若( )fx是( )f x的导函数,设 2 2 ( )( )6g xfx x ,试证明:对任意两个不 相等正数 12 xx、,不等式 1212 38 |()() | 27 g xg xxx恒成立 9 (本小题满分 12 分) 已知函数. 1,ln)1( 2 1 )( 2 axaaxxxf (I)讨论函数)(xf的单调性; (II)证明:若.1 )()( ,),0(, 5 21 21 2121 xx xfxf xxxxa有则对任意
5、10 (本小题满分 14 分) 已知函数 2 1 ( )ln,( )(1),1 2 f xxaxg xaxa (I)若函数( ),( )f xg x在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同,求 实数a的取值范围; (II)若(1, (2.71828)aeeL,设( )( )( )F xf xg x,求证:当 12 ,1, x xa时, 不等式 12 |()() | 1F xF x成立 精品文档 . 11 (本小题满分 12 分) 设曲线C:( )lnf xxex(2.71828e) ,( )fx表示( )f x导函数 (I)求函数( )f x的极值; (II)对于曲线C上的不同两点 11
6、(,)A x y, 22 (,)B xy, 12 xx,求证:存在唯一 的 0x12(,)x x,使直线AB的斜率等于0()fx 12 (本小题满分 14 分) 定义),0(,)1 (),(yxxyxF y , (I)令函数 2 2 ( )(3,log (24)f xFxx,写出函数( )f x的定义域; (II)令函数 32 2 ( )(1,log (1)g xFxaxbx的图象为曲线 C,若存在实数b 使 得曲线 C 在)14( 00 xx处有斜率为 8 的切线,求实数a的取值范围; (III )当,*x yN且xy时,求证( , )( , )F x yF y x 导数练习题( B)答案
7、1 (本题满分 12 分) 已 知 函数dxbacbxaxxf)23()( 23 的 图 象如 图 所 示 (I)求dc,的值; (II )若函数)(xf在2x处的切线方程为0113yx, 求函数)(xf的解析式; (III )在(II)的条件下,函数)(xfy与mxxfy5)( 3 1 的图象有三个不同的交点,求 m的取值范围 解:函数)(xf的导函数为bacbxaxxf2323)( 2 (2 分) (I)由图可知函数)(xf的图象过点( 0,3) ,且0) 1( f 得 0 3 02323 3 c d bacba d (4 分) (II)依题意3)2( f且5)2(f 534648 323
8、412 baba baba 解得6, 1 ba所以 396)( 23 xxxxf (8 分) (III )9123)( 2 xxxf可转化为:mxxxxxx534396 223 有三个 不等实根,即:mxxxxg87 23 与x轴有三个交点; 4238143 2 xxxxxg, 精品文档 . x 3 2 , 3 2 4 3 2, 4 ,4 xg + 0 - 0 + xg 增极大值减极小值增 mgmg164, 27 68 3 2 (10 分) 当且仅当01640 27 68 3 2 mgmg且时,有三个交点, 故而, 27 68 16m为所求 (12 分) 2 (本小题满分 12 分) 已知函数
9、)(3ln)(Raaxxaxf (I)求函数)(xf的单调区间; ( II ) 函 数)(xf的 图 象 的 在4x处 切 线 的 斜 率 为, 2 3 若 函 数 2 )( 3 1 )( 23m xfxxxg在区间( 1,3)上不是单调函数,求m 的取值范围 解: (I))0( )1( )( x x xa xf(2 分) 当, 1,1 ,0)(,0减区间为的单调增区间为时xfa 当 ;1 ,0, 1)(,0减区间为的单调增区间为时xfa 当 a=1 时,)(xf不是单调函数(5 分) (II)32ln2)(, 2 2 3 4 3 )4( xxxfa a f得 2)4()( ,2)2 2 (
10、3 1 )( 223 xmxxgxx m xxg(6 分) 2)0( ,)3 ,1 ()(gxg且上不是单调函数在区间 .0)3( , 0) 1 ( g g (8 分) , 3 19 , 3 m m (10 分))3, 3 19 (m(12 分) 3 (本小题满分 14 分) 已知函数cbxaxxxf 23 )(的图象经过坐标原点, 且在1x处取得极大值 (I)求实数 a的取值范围; (II)若方程 9 )32( )( 2 a xf恰好有两个不同的根,求)(xf的解析式; (III ) 对于 (II) 中的函数)(xf, 对任意R、, 求证:81|)sin2()sin2(|ff 解: (I)
11、,23)(,00)0( 2 baxxxfcf320)1(abf ),323)(1()32(23)( 2 axxaaxxxf 精品文档 . 由 3 32 10)( a xxxf或,因为当1x时取得极大值, 所以31 3 32 a a ,所以)3,(:的取值范围是a; (4分) (II)由下表: x ) 1,( 1 ) 3 32 , 1( a 3 32a ), 3 32 ( a )(xf + 0 - 0 - )(xf 递增 极大 值 2a 递减 极小值 2 ) 32( 27 6 a a递增 依题意得: 9 ) 32( )32( 27 6 2 2 a a a ,解得:9a 所以函数)(xf的解析式是
12、: xxxxf159)( 23 (10分) (III )对任意的实数,都有 ,2sin22,2sin22 在区间 -2,2有:230368)2(,7)1(,7430368)2(fff , 7)1()(fxf的最大值是7430368)2()(fxf的最小值是 函数2,2)(在区间xf上的最大值与最小值的差等于81, 所以81|)sin2()sin2(|ff (14分) 4 (本小题满分 12 分) 已知常数0a,e为自然对数的底数,函数xexf x )(,xaxxgln)( 2 (I)写出)(xf的单调递增区间,并证明ae a ; (II)讨论函数)(xgy在区间), 1( a e上零点的个数
13、解: (I)01)( x exf,得)(xf的单调递增区间是),0(, (2 分) 0a,1)0()(faf,aae a 1,即ae a (4 分) (II) x a x a x x a xxg ) 2 2 )( 2 2 (2 2)(,由0)(xg,得 2 2a x,列表 x) 2 2 , 0( a 2 2a ), 2 2 ( a )(xg - 0 + )(xg 单调递减极小值单调递增 当 2 2a x时,函数)(xgy取极小值) 2 ln1( 2 ) 2 2 ( aaa g,无极大值 (6 精品文档 . 分) 由(I)ae a , 2 2 a a ee aa , 2 2a e a , 2 2
14、a e a 01)1(g,0)()( 22 aeaeaeeg aaaa (8 分) (i)当1 2 2a ,即20a时,函数)(xgy在区间), 1( a e不存在零点 (ii)当1 2 2a ,即2a时 若0) 2 ln1( 2 aa ,即ea22时,函数)(xgy在区间), 1( a e不存在零点 若0) 2 ln1( 2 aa ,即ea2时,函数)(xgy在区间), 1( a e存在一个零点ex; 若0) 2 ln1( 2 aa ,即ea2时,函数)(xgy在区间), 1( a e存在两个零点; 综上所述,)(xgy在(1,) a e上,我们有结论: 当02ae时,函数 ( )f x无零
15、点; 当2ae时,函数( )f x有一个零点; 当2ae时,函数( )f x有两个零点 (12 分) 5 (本小题满分 14 分) 已知函数( )ln(1)(1) 1f xxk x (I)当1k时,求函数( )f x的最大值; (II)若函数( )f x没有零点,求实数k的取值范围; 解: (I)当1k时, 2 ( ) 1 x fx x )(xf定义域为( 1,+) ,令( )0,2fxx得, (2 分) 当(1,2),x时( )0fx,当(2,),x时( )0fx, ( )(1,2)f x 在内是增函数,(2,)在上是减函数 当2x时,( )f x取最大值(2)0f(4 分) (II)当0k
16、时,函数ln(1)yx图象与函数(1)1yk x图象有公共点, 函数( )f x有零点,不合要求; (8 分) 当0k时, 1 () 11 ( ) 111 k k x kkx k fxk xxx (6 分) 令 1 ( )0, k fxx k 得, 1 (1,),( )0, k xfx k 时 1 (1,),( )0xfx k 时, 精品文档 . 1 ( )(1,1)f x k 在内是增函数, 1 1,) k 在上是减函数, ( )f x的最大值是 1 (1)lnfk k , 函数( )f x没有零点,ln0k,1k, 因此,若函数( )f x没有零点,则实数k的取值范围(1 ,)k (10
17、分) 6 (本小题满分 12 分) 已知2x是函数 2 ( )(23) x f xxaxae的一个极值点(718.2e) (I)求实数a的值; (II)求函数( )f x在3, 2 3 x的最大值和最小值 解: (I)由 2 ( )(23) x f xxaxae可得 22 ( )(2)(23)(2)3 xxx fxxa exaxaexa xae(4 分) 2x是函数( )f x的一个极值点,(2)0f 2 (5)0ae, 解得5a(6 分) (II)由0)1)(2()( x exxxf,得)(xf在) 1 ,(递增,在), 2(递增, 由0)(xf,得)(xf在在)2, 1(递减 2 )2(e
18、f是( )f x在3, 2 3 x的最小值; (8 分) 2 3 4 7 ) 2 3 (ef, 3 )3(ef) 2 3 ()3(, 0)74( 4 1 4 7 ) 2 3 ()3( 2 3 2 3 3 ffeeeeeff ( )f x在 3, 2 3 x的最大值是 3 )3(ef(12分) 7 (本小题满分 14 分) 已知函数)0,(,ln)2(4)( 2 aRaxaxxxf (I)当 a=18时,求函数)(xf的单调区间; (II)求函数)(xf在区间, 2 ee上的最小值 解: ()xxxxfln164)( 2 , x xx x xxf )4)(2(216 42)( 2 分 由0)(
19、xf得0)4)(2(xx,解得4x或2x 注意到0x,所以函数)(xf的单调递增区间是( 4,+) 由0)( xf得0)4)(2(xx,解得 -2x4, 注意到0x,所以函数)(xf的单调递减区间是4,0(. 综上所述,函数)(xf的单调增区间是( 4,+) ,单调减区间是4,0(6 分 ()在, 2 eex时,xaxxxfln)2(4)( 2 所以 x axx x a xxf 2422 42)( 2 , 设axxxg242)( 2 精品文档 . 当0a时,有 =16+4 208)2(aa, 此时0)(xg,所以0)( xf,)(xf在, 2 ee上单调递增, 所以aeeefxf24)()(
20、2 min8 分 当0a时,=08)2(2416aa, 令0)( xf,即0242 2 axx,解得 2 2 1 a x或 2 2 1 a x; 令0)( xf,即0242 2 axx,解得 2 2 1 a 2 2 1 a x. 若 2 2 1 a 2 e,即a 22 )1(2 e时, )(xf在区间, 2 ee单调递减,所以aeeefxf244)()( 242 min . 若 2 2 2 1e a e,即 222 )1(2)1(2eae时间, )(xf在区间 2 2 1 , a e上单调递减,在区间, 2 2 1 2 e a 上单调递增, 所以 min )(xf) 2 2 1 ( a f)
21、2 2 1ln()2(32 2 a aa a . 若 2 2 1 a e,即a02 2 )1(e时,)(xf在区间, 2 ee单调递增, 所以aeeefxf24)()( 2 min 综上所述,当a2 22 )1(e时,aeaxf244)( 24 min; 当 222 )1(2)1(2eae时,) 2 2 1ln()2(32 2 )( min a aa a xf; 当a 2 ) 1(2 e时,aeexf24)( 2 min14 分 8 (本小题满分 12 分) 已知函数( )(6)lnf xx xax在(2,)x上不具有 单调性 (I)求实数a的取值范围; (II)若( )fx是( )f x的导
22、函数,设 2 2 ( )( )6g xfx x ,试证明:对任意两个不 相等正数 12 xx、,不等式 1212 38 |()() | 27 g xg xxx恒成立 解: (I) 2 26 ( )26 axxa fxx xx , (2 分) ( )f x在(2,)x上不具有 单调性,在 (2,)x上( )fx有正也有负也有 0, 即二次函数 2 26yxxa在(2,)x上有零点 (4 分) 2 26yxxa是对称轴是 3 2 x,开口向上的抛物线, 2 2 26 20ya 的实数a的取值范围(,4) (6 分) 精品文档 . (II)由(I) 2 2 ( )2 a g xx xx , 方法 1
23、: 22 22 ( )( )62(0) a g xfxxx xxx , 4a, 3 23233 444244 ( )22 axx gx xxxxx , (8 分) 设 23 44 ( )2h x xx , 344 8124(23) ( ) x h x xxx ( )h x在 3 (0,) 2 是减函数,在 3 (,) 2 增函数,当 3 2 x时,( )h x取最小值 38 27 从而( )gx 38 27 , 38 ( ( )0 27 g xx,函数 38 ( ) 27 yg xx是增函数, 12 xx、是两个不相等正数,不妨设 12 xx,则 2211 3838 ()() 2727 g x
24、xg xx 2121 38 ()()() 27 g xg xxx, 210xx, 12 12 ()()38 27 g xg x xx 12 12 ()()g xg x xx 38 27 ,即 1212 38 |()()| 27 g xg xxx (12 分) 方法 2: 11 (,()M x g x、 22 (, ()N xg x是曲线( )yg x上任意两相异点, 1212 22 121212 ()()2() 2 g xg xxxa xxx xx x , 1212 2xxx xQ, 4a 12 22 3 121212 12 2()4 22 () xxaa x xx xx xx x 3 12
25、12 44 2 ()x xx x (8 分) 设 12 1 ,0tt x x ,令 32 ( )244 MN ku ttt,( )4 (32)u ttt, 由( )0u t,得 2 , 3 t由( )0u t得 2 0, 3 t ( )u t在) 3 2 , 0(上是减函数,在), 3 2 (上是增函数, )(tu在 3 2 t处取极小值 27 38 , 38 ( ) 27 u t,所以 12 12 ()()g xg x xx 38 27 即 1212 38 |()() | 27 g xg xxx(12分) 9 (本小题满分 12 分) 已知函数 .1,ln)1( 2 1 )( 2 axaax
26、xxf (I)讨论函数)(xf的单调性; (II)证明:若.1 )()( ,),0(, 5 21 21 2121 xx xfxf xxxxa有则对任意 (1))(xf的定义域为),0(, x axx x aaxx x a axxf )1)(1(11 )( 2 2 分 精品文档 . (i)若2, 11aa即,则. )1( )( 2 x x xf故)(xf在),0(单调增加 (ii)若.0)( ,)1 , 1(,21,1,11xfaxaaa时则当故而 )1 ,1()(,0)( ,), 1()1,0(axfxfxax在故时及当单调减少,在( 0,a-1) , ), 1(单调增加 (iii )若),
27、1(),1 ,0(,)1, 1()(,2,11aaxfaa在单调减少在同理可得即 单调增加 (II)考虑函数xxfxg)()(.ln)1( 2 12 xxaaxx 由.)11(1) 1( 1 2 1 )1()( 2 aa x a x x a axxg 由于单调增加在即故),0()(,0)( ,5xgxgaa,从而当0 21 xx时有 ,0)()(,0)()( 212121 xxxfxfxgxg即 故1 )()( 21 21 xx xfxf ,当 21 0xx时,有1 )()()()( 12 12 21 21 xx xfxf xx xfxf 10 (本小题满分 14 分) 已知函数 21 ( )
28、ln,( )(1),1 2 f xxaxg xaxa (I)若函数( ),( )f xg x在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同,求 实数a的取值范围; (II)若(1, (2.71828)aeeL,设( )( )( )F xf xg x,求证:当 12 ,1, x xa时, 不等式 12 |()() | 1F xF x成立 解: (I)( ),( )1 a fxxg xa x ,(2 分) 函数( ),( )f xg x在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同, 当1,3x时, 2 (1)() ( )( )0 axa fxg x x 恒成立,(4 分) 即 2 (1)()0axa
29、恒成立, 2 1a ax 在 1,3x时恒成立,或 2 1a ax 在 1,3x时恒成立, 91x,1a或9a (6 分) (II) 21 ( )ln, (1) 2 F xxaxax, ()(1) ( )(1) axax Fxxa xx ( )F x定义域是(0,), (1,ae,即1a ( )F x在(0,1)是增函数,在(1, )a实际减函数,在( ,)a是增函数 当1x时,( )F x取极大值 1 (1) 2 MFa, 精品文档 . 当xa时,( )F x取极小值 21 ( )ln 2 mF aaaaa,(8 分) 12 ,1, x xa, 12 |()() | |F xF xMmMm
30、(10 分) 设 2 11 ( )ln 22 G aMmaaa,则( )ln1G aaa, 1 ( )1G a a ,(1,ae,( )0G a ( )ln1G aaa在(1,ae是增函数,( )(1)0G aG 211 ( )ln 22 G aaaa在(1,ae也是增函数 (12 分) ( )( )G aG e,即 2 2 11(1) ( )1 222 e G aee, 而 22 2 11(1)(31) 111 2222 e ee,( )1G aMm 当 12 ,1, xxa时,不等式 12 |()()| 1F xF x成立(14 分) 11 (本小题满分 12 分) 设曲线C:( )lnf
31、 xxex(2.71828e) ,( )fx表示( )f x导函数 (I)求函数( )f x的极值; (II)对于曲线C上的不同两点 11 (,)A x y, 22 (,)B xy, 12 xx,求证:存在唯一 的 0 x 12 (,)x x,使直线AB的斜率等于 0 ()fx 解: (I) 11 ( )0 ex fxe xx ,得 1 x e 当x变化时, ( )fx与 ( )f x变化情况如下表: x 1 (0, ) e 1 e 1 ( ,) e ( )fx0 ( )f x 单调递增极大值单调递减 当 1 x e 时,( )f x取得极大值 1 ( )2f e ,没有极小值; (4 分)
32、(II) (方法 1) 0 () AB fxk, 2121 021 lnln()1xxe xx e xxx , 212 01 ln0 xxx xx 即 2 021 1 ln()0 x xxx x ,设 2 21 1 ( )ln() x g xxxx x 2 1121 1 ()ln() x g xxxx x , 1 / 2 1 1 ()ln10 x x g x x , 1 ()g x是 1 x的增函数, 精品文档 . 12 xx, 2 12222 2 ()()ln()0 x g xg xxxx x ; 2 2221 1 ()ln() x g xxxx x , 2 / 2 2 1 ()ln10 x
33、 x g x x , 2 ()g x是 2 x的增函数, 12 xx, 1 21111 1 ()()ln()0 x g xg xxxx x , 函数 2 21 1 ( )ln() x g xxxx x 在 12(,)x x内有零点 0 x,(10 分) 又 22 11 1,ln0 xx xx ,函数 2 21 1 ( )ln() x g xxxx x 在 12 (,)x x是增函数, 函数 212 1 ( )ln xxx g x xx 在 12 (,)x x内有唯一零点 0 x,命题成立 (12 分) (方法 2) 0 () AB fxk, 2121 021 lnln()1xxe xx e x
34、xx , 即 020112 lnln0xxxxxx, 012 (,)xx x,且 0 x唯一 设 2112 ( )lnlng xxxxxxx,则 1121112 ()lnlng xxxxxxx, 再设 22 ( )lnlnh xxxxxxx, 2 0xx, 2 ( )lnln0h xxx 22 ( )lnlnh xxxxxxx在 2 0xx是增函数 112 ()()()0g xh xh x,同理 2 ()0g x 方程 2112 lnln0xxxxxx在 012 (,)xx x有解 (10 分) 一次函数在 12 (,)x x 2112 ( )(lnln)g xxx xxx是增函数 方程 21
35、12 lnln0xxxxxx在 012 (,)xx x有唯一解,命题成立 (12分) 注:仅用函数单调性说明,没有去证明曲线C不存在拐点,不给分 12 (本小题满分 14 分) 定义),0(,)1 (),(yxxyxF y , (I)令函数 2 2 ( )(3,log (24)f xFxx,写出函数( )f x的定义域; (II)令函数 32 2 ( )(1,log (1)g xFxaxbx的图象为曲线 C,若存在实数b 使 得曲线 C 在)14( 00 xx处有斜率为 8 的切线,求实数a的取值范围; (III )当,*x yN且xy时,求证( , )( , )F x yF y x 解: (
36、I) 2 2 log (24)0xx,即 2 241xx (2 分) 得函数( )f x的定义域是 ( 1,3), (4 分) (II) 2232 2 ( )(1,log (1)1,g xFxaxbxxaxbx 精品文档 . 设曲线 00 ( 41)Cxx在处有斜率为 8 的切线, 又由题设,23)(, 0)1(log 223 2 baxxxgbxaxx 存在实数 b 使得 11 14 823 0 2 0 3 0 0 0 2 0 bxaxx x baxx 有解, (6 分) 由得,238 0 2 0 axxb代入得082 0 2 0 axx, 2 00 0 280 41 xax x 由有 解,
37、 (8 分) 方法 1: 0 0 8 2() () ax x ,因为 0 41x,所以 0 0 8 2()8,10) () x x , 当10a时,存在实数b,使得曲线 C 在 ) 14( 00 xx处有斜率为 8 的切线 (10 分) 方法 2:得08)1()1(208)4()4(2 22 aa或, 1010,10.aaa或 (10 分) 方法 3:是 2 2 2( 4)( 4)80 2( 1)( 1)80 a a 的补集,即10a (10 分) (III )令 2 )1ln( 1 )(, 1, )1ln( )( x x x x xhx x x xh由 又令 , 0),1ln( 1 )(xx x x xp0 )1(1 1 )1( 1 )( 22 x x xx xp, ), 0)(在xp单调递 减. (12)分 0( )(0)0,1( )0,xp xpxh x当时有当时有 ), 1)(在xh单调递减, xy yxyxxy y y x x yx)1 ()1 (),1ln()1ln(, )1ln()1ln( ,1有时, ).,(),(,xyFyxFyxNyx 时且当 (14 分)
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