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1、1 师大附中高一自主招生考试 数学测试题 本卷满分150 分考试时间120 分钟 题号一二 三 总 分复 核 1 2 3 4 5 得分 阅卷 教师 一、选择题(每小题6 分,共 30 分。每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号 填入题后的括号里,不填、多填或错填均得0 分) 1、下列图中阴影部分面积与算式 2 131 2 42 的结果相同的是【】 2、下列命题中正确的个数有【】 实数不是有理数就是无理数;a aa; 121 的平方根是11;在实数范围内, 非负数一定是正数;两个无理数之和一定是无理数 A. 1 个B. 2 个C. 3 个D
2、. 4 3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知:父母买全票,女儿按 半 价 优 惠 ; 乙 旅 行 社 告 知 : 家 庭 旅 行 可 按 团 体 票 计 价 , 即 每 人 均 按 八 折 收 费 。 若 这 两 家 旅 行 社 每 人 的 原 标 价 相 同 , 那 么【】 A、甲比乙更优惠B、乙比甲更优惠C、甲与乙相同D、与原标价有关 4、如图, ACB60 ,半径为2 的 O 切 BC 于点 C,若将 O 在 CB 上向右 滚动,则当滚动到O 与 CA 也相切时,圆心O 移动的水平距离为【】 A、2 B、 C、32D、 4 5、平面内的9 条直线任两条都相交
3、,交点数最多有m个,最少有n个,则mn 等于【】 A、36 B、37 C、38 D、39 二、填空题(每小题6 分,共 48 分) 1、甲、乙两人骑自行车,同时从相距65 千米的两地相向而行,甲、乙两人的速度和为32.5 千米 /时,则经过小时,两人相遇。 2、若化简1681 2 xxx的结果为52x,则x的取值范围是。 3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50、 20和 30的比例计入学期总评成绩,90 分以上为优秀。甲、乙、丙三 人的各项成绩(单位:分)如下表,学期总评成绩优秀的学生是。 笔试实践能力成长记录 甲90 83 95 乙88 90 95 丙90 88 90 4
4、、已知点A是一次函数xy的图像与反比例函数 x y 2 的图像在第一象限内的交点,点B在x轴的负半轴上,且OBOA(O为坐标 原点),则 AOB的面积为 。 5、如果多项式 2 12xpx可以分解成两个一次因式的积,那么整数p的值是。 6、如右图所示, P 是边长为1 的正三角形ABC 的 BC 边上一点, 从 P 向 AB 作垂线 PQ,Q 为垂足。 延长 QP 与 AC 的延长线交于R,设 BP=x (01x) , BPQ 与 CPR 的面积之和为y,把y表示为x的函数是。 2 7、已知 12 xx,为方程 2 420xx的两实根, 则 3 121455xx。 8、小明、小林和小颖共解出1
5、00 道数学题,每人都解出了其中的60 道,如果将其中只有1 人解出的题叫做难题,2 人解出的题叫做中档题, 3 人都解出的题叫做容易题,那么难题比容易题多 道。 三、解答题(本大题6 小题,共72 分) 1、 (10 分)在ABC 中,ACAB,45A。 AC 的垂直平分线分别交 AB、 AC 于D、E两点,连结CD ,如果1AD ,求:BCDtan的 值。 2、 (12 分)某公司为了扩大经营,决定购买6 台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择,其中每种机器的价格和每台机器的日生产 活塞数量如下表所示。经过预算,本次购买机器所需的资金不能超过34 万元。 甲乙 价格(万元台)7 5
6、每台日产量(个)100 60 按该公司的要求,可以有几种购买方案? 若该公司购进的6 台机器的日生产能力不能低于380 个,为了节约资金,应选择哪种购买方案? 3、 (12 分)如图所示,已知边长为4 的正方形钢板有一个角锈蚀,其中 2AF , 1BF 。为了合理利用这块钢板将在五边形EABCD 内截 取一个矩形块MDNP,使点 P 在 AB 上,且要求面积最大,求钢板的最大利用率。 4、 ( 12 分)如图所示等腰梯形ABCD中,ABCD,ADCB, 对角线AC与BD交于O,60ACD, 点SPQ、 、分别是 ODOABC、的中点。 求证:PQS是等边三角形。 5、 (12 分)如右图,直线
7、OB 是一次函数2yx的图像,点A 的坐标是( 0,2) ,点 C 在直线 OB 上且 ACO 为等腰三角形,求C 点坐标。 6、 (14 分)已知关于x 的方程018)13(3)1( 22 xmxm有两个正整数根(m 是整数)。 ABC 的三边 a、b、c 满足32c,08 22 amam,08 22 bmbm。 求:m 的值;ABC 的面积。 3 师大附中 2011 年高一自主招生考试 数学试题参考答案 一、 1、B, 2、B,3、B,4、 C, 5、B 二、 1、2 2、41x3、甲、乙4、25、7,8, 136、 23 (342) 8 xx7、 7 8、20 三 1、有已知可得CDEA
8、DE和均为等腰直角三角形,计算得12BD,在直角三角形BCD中,12tan CD BD BCD。 2、 (1)设购买x台甲机器,则34)6(57xx,所以2x。即x取 0、1、 2三个值,有三种购买方案:不购买甲机器,购6 台乙机器; 购买 1 台甲机器, 5 台乙机器;购买2 台甲机器,购4 台乙机器。 ( 2)按方案,所需资金3056(万元) ,日产量为360606(个);按方案,所需资金325571(万元) ,日产量为 4006051001(个);按方案,所需资金为344572(万元),日产量为4406041002(个)。所以,选择方案。 3、如图所示,为了表达矩形MDNP 的面积,设D
9、Nx, PNy,则面积Sxy, 因为点 P 在 AB 上,由 APQ ABF 得 2 1 )4(2 4 x y ,即yx210 代入,得yyyyS102)210( 2 , 即 2 25 ) 2 5 (2 2 yS 因为 3 y4 ,而 y 2 5 不在自变量的取值范围内,所以y 2 5 不是最值点, 当 y3 时, S12;当y4 时, S8故面积的最大值是S12 此时,钢板的最大利用率是80。 4、连 CS。 ABCD 是等腰梯形,且AC 与 BD 相交于 O, AO=BO,CO=DO. ACD=60 , OCD 与 OAB 均为等边三角形. S 是 OD 的中点, CSDO. 在 RtBS
10、C 中, Q 为 BC 中点, SQ 是斜边 BC 的中线, SQ= 1 2 BC. 同理 BPAC. 在 RtBPC 中, PQ= 1 2 BC. 又 SP 是 OAD 的中位线,SP= 1 2 AD= 1 2 BC. SP=PQ=SQ. 故 SPQ为等边三角形. 5、若此等腰三角形以OA 为一腰,且以A 为顶点,则AO=AC1=2. 设 C1( ,2xx ) ,则得 222 (22)2xx,解得 8 5 x,得 C1( 8 16 , 55 ) 若此等腰三角形以OA 为一腰,且以O 为顶点,则OC2=OC3=OA=2. 设 C2( ,2xx ) ,则得 222 (2)2xx,解得 4 5 x
11、.得 C2( 24 5,5 55 ) 又由点 C3与点 C2关于原点对称,得 C3( 24 5,5 55 ) 若此等腰三角形以OA 为底边,则C4的纵坐标为 1,从而其横坐标为 1 2 ,得 C4( 1 ,1 2 ). 所以,满足题意的点C 有 4 个,坐标分别为: ( 8 16 , 5 5 ) , ( 24 5,5 55 ) , ( 24 5,5 55 ) ,C4( 1 ,1 2 ) 6、 (1)方程有两个实数根,则01 2 m,解方程得 1 6 1 m x, 1 3 2 m x由题意,得 11,2,3,6, 11,3, m m 即 .4,2 , 5, 2, 1 ,0 m m 故2m (2)把2m代入两等式,化简得024 2 aa,024 2 bb, Q N M P A F B C D E 4 当ba时,22ba 当ba时,a、b是方程024 2 xx的两根,而0,由韦达定理得, 4ba0,2ab0,则a0、b0 ba,32c时,由于 2222 124162)(cabbaba 故 ABC 为直角三角形,且C90 ,SABC 1 2 1 ab 22ba,32c时,因)22(232,故不能构成三角形,不合题意,舍去 22ba,32c时,因)22(232,故能构成三角形 SABC 22 1 23(22)(3)9122 2 综上, ABC 的面积为1 或2129
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