平面向量等值线法.pdf
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1、1 技巧八平面向量基本定理系数的等值线法 一、适用题型 在平面向量基本定理的表达式中,若需研究两系数的和差积商、 线性表达 式及平方和时,可以用等值线法。 二、基本理论 (一) 平面向量共线定理 三点共线;反之亦然,则若已知CBAOCOBOA,1, (二)等和线 平面内一组基底OBOA,及任一向量 OP ,ROBOAOP,,若 点 P 在直线 AB 上或在平行于 AB的直线上,则)(定值k,反之也成立, 我 们把直线 AB 以及与直线 AB平行的直线成为等和线。 (1)当等和线恰为直线AB 时,1k; (2)当等和线在O点和直线 AB 之间时,1 ,0k; (3)当直线 AB 在O点和等和线之
2、间时,1k; (4)当等和线过O点时,0k; (5)若两等和线关于O点对称,则定值k互为相反数; (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比; (三)等差线 平面内一组基底OBOA,及任一向量 OP ,ROBOAOP,,C为 线段 AB 的中点,若点 P 在直线OC上或在平行于OC的直线上,则 )(定值k,反之也成立,我们把直线OC以及与直线OC平行的直线称为等 差线。 (1)当等差线恰为直线OC时,0k; (2)当等差线过 A点时,1k; (3)当等差线在直线OC与点 A之间时,1 ,0k; (4)当等差线与 BA延长线相交时,1k; (5)若两等差线关于直线OC对称,则两定值k互为相反数
3、; 2 (四)等积线 平面内一组基底OBOA,及任一向量 OP ,ROBOAOP,,若 点 P 在以直线OBOA,为渐近线的双曲线上, 则为定值k,反之也成立, 我们 把以直线OBOA,为渐近线的双曲线称为等积线 (1)当双曲线有一支在AOB内时,0k; (2)当双曲线的两支都不在AOB内时,0k; (3)特别的,若baOBbaOA,,点 P 在双曲线 )0,0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 时, 4 1 k; (五)等商线 平面内一组基底OBOA,及任一向量 OP ,ROBOAOP,, 若 点 P 在过O点(不与OA重合)的直线上,则)(定值k,反之也成立。我们 把过点O的直线
4、(除OA外)称为等商线。 (1)当等商线过 AB 中点时,1k; (2)当等商线与线段AC(除端点)相交时,1k; (3)当等商线与线段BC(除端点)相交时,1 ,0k; (4)当等商线即为OB时,0k; (5)当等商线与线段 BA延长线相交时,1,k; (6)当等商线与线段AB 延长线相交时,0, 1k; (7)当等商线与直线AB 平行时,1k; (六)等平方和线 平面内一组基底OBOA,及任一向量 OP ,ROBOAOP,,且 OBOA, 若点 P 在以AOB角平分线为半长轴的椭圆上, 则 22 为定值k, 反之也成立,我们把以以AOB角平分线为半长轴的椭圆称为等平方和线。 3 特别的,若
5、baOBbaOA,,点 P在双椭圆)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 时, 2 1 k; 三、解题步骤 1、确定等值线为 1 的线; 2、平移(旋转或伸缩)该线,结合动点的可行域,分析何处取得最大值和最小 值; 3、从长度比或者点的位置两个角度,计算最大值和最小值; 四、几点补充 1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致,若不一致,本着 少数服从多数的原则,优先平移固定的向量; 2、若需要研究的是两系数的线性关系,则需要通过变换基底向量, 使得需要研 究的代数式为基底的系数和或差; 五、典型例题 例 1 给定两个长度为1 的平面向量 OA和OB , 它们的夹角
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