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1、高一数学 本试卷共 4页, 22小题,全卷满分150分,考试时间120分钟。 第卷 ( 选择题共 60 分) 一、选择题:本大题共12 小题,每小题5 分,共60 分,在每小题所给的四个选项中,只 有一个是正确的 1. 与60角的终边相同的角是 A. 300B. 240C. 120D. 60 2. 不等式240xy表示的区域在直线240xy的 A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方 3. 已知角的终边经过点( 3, 4)P,则cos的值是 A. 4 5 B. 4 3 C. 3 5 D. 3 5 4.不等式 2 3100xx的解集是 A| 25xxB|5,2x xx或 C| 25xxD
2、|5,2x xx或 5. 若 3 sin, 5 是第四象限角,则cos 4 的值是 4 5 B 7 2 10 2 10 1 7 6. 若,a bR,下列命题正确的是 A若| |ab,则 22 abB若| |ab,则 22 ab C若| |ab,则 22 abD若ab,则0ab 7. 要得到函数3sin(2) 5 yx图象,只需把函数3sin 2yx图象 A向左平移 5 个单位B向右平移 5 个单位 C向左平移 10 个单位D向右平移 10 个单位 8.已知M是平行四边形ABCD的对角线的交点,P为平面ABCD内任意点,则 PAPBPCPD等于 A. 4PMB. 3PMC. 2PMD. PM 9
3、. 若 3 cos2 5 ,则 44 sincos的值是 A. 17 25 B 4 5 6 5 D 33 25 10.已知直角三角形的两条直角边的和等于4,则直角三角形的面积的最大值是 A. 4B. 2 2C. 2D. 2 11. 已知点, nn a 在函数213yx的图象上,则数列 n a的前n项和 n S的最小值为 A36B36C6D6 12. 若钝角ABC的内角,A B C成等差数列, 且最大边长与最小边长的比值为m,则m的 取值范围是 A1,2()B2+( , )C3,)D(3,) 第卷 ( 非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共4 小题,每小题5 分,满分20 分 . 把答案填
4、在答题卡上. 13. 若向量(4,2),(8, ),/xabab,则x的值为 14. 若关于x的方程 2 0xmxm没有实数根,则实数m的取值范围是 15. 设实数, x y满足 , 1, 1. yx xy y 则2zxy的最大值是 16. 设 2 ( )sincos3cosf xxxx,则( )f x的单调递减区间是 三、解答题:本大题共6 小题,满分70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.( 本小题满分10 分) 已知等比数列 n a的前n项和为 n S,公比为q (1)q,证明: 1(1 ) 1 n n aq S q 18 (本小题满分12 分) 已知平面向量a,b满足|
5、1a,|2b C D B A 75 45 30 45 (1)若a与b的夹角120,求|ab的值; (2)若()()kkabab,求实数k的值 . 19. (本小题满分12 分) 在ABC中,内角,A B C的对边分别为, ,a b c,已知cossincaBbA (1)求A; (2)若2a,bc,求ABC的面积 20 (本小题满分12 分) 已知数列 n a的前n项和为 n S,且 1 2a, 1 2 nn n aS n (1,2,3,)n (1)证明:数列 n S n 是等比数列; (2)设 21 1 2 n n nn b S S ,求数列 n b的前n项和nT 21.( 本小题满分12 分
6、) 某电力部门需在 A、B两地之间架设高压电线, 因地理条件限制, 不能直接测量 A、B 两地距离 . 现测量人员在相距3km的C、D两地(假设 A、B、C、D在同一平 面上)测得75ACB,45BCD,30ADC,45ADB(如图),假 如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际所须电线长度为A、B距离的5倍, 问施工单位应该准备多长的电线? 22.( 本小题满分12 分) 已知,A B C为锐角ABC的内角,sin,sinsinABC()a,(1, 2)b,ab. (1)tanB,tantanBC,tanC能否构成等差数列?并证明你的结论; (2)求tantantanABC的最小值 .
7、2016-2017学年第二学期期末质量监测 高一数学 参考答案与评分标准 说明: 1参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不 同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未 改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分 正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分 3解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数,选择题和填空题不给中间分 一、选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9
8、 10 11 12 答案ADCDBCAACBB 二、填空题 13.414.(0,4)15.316. 7 +, 1212 kkkZ 三、解答题:本大题共6 小题,满分70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.( 本小题满分10 分) 已知等比数列 na 的前n项和为 n S,公比为q (1)q,证明: 1(1 ) 1 n n aq S q 证法 1: (错位相减法)因为 1 1 n n aa q,2 分 所以 1 111 n n Saa qa q4 分 21 1111 nn n qSa qa qa qa q6 分 所以 11 (1) n n q Saa q8 分 当1q时,有 1(1
9、 ) 1 n n aq S q 10 分 证法 2: (叠加法)因为 n a是公比为q的等比数列, 所以 21 aa q, 32 aa q, 1 , nn aa qL2 分 所以 112 )1(aqaa, 223 )1(aqaa, nnn aqaa)1( 1 ,6 分 相加得 nn Sqaa)1( 11 . 8 分 所以当q1 时, 111(1 ) 11 n n n aaaq S qq . 10 分 证法 3: (拆项法)当q1 时, 11 11 1 111 aa qq aa qqq ,2 分 2 11 21 1 111 a qa qq aa q qqq , 1 11 1 1 111 nn n
10、n a qa qq aaq qqq ,8 分 以上n个式子相加得 q qa q qa q a S nn n 1 )1( 11 111 . 10 分 18 (本小题满分12 分) 已知平面向量a,b满足| 1a,|2b (1)若a与b的夹角120,求|ab的值; (2)若()()kkabab,求实数k的值 . 题根: 数学 42.4.1 例 1、例 2、例 4 (综合变式) 解: (1) 1 |cos1201 21 2 a b =|ab,2 分 22 |()abab 22 2aa bb3 分 22 |2|a |a bb|4 分 又| 1a,| 2b, 所以 2 |ab 22 |2|1243a |
11、a bb |,5 分 所以|3ab. 6 分 (2)因为()()kkabab, 所以() ()0kkabab,7 分 即 222 0k ab9 分 因为| 1a,| 2b, 所以 2 40k,11 分 即2k. 12 分 19. (本小题满分12 分) 在ABC中,内角,A B C的对边分别为, ,a b c,已知cossincaBbA (1)求A; (2)若2a,bc,求ABC的面积 (根据 2013 课标卷理数17 改编,正弦、余弦定理及三角变换的综合问题) 解: (1)解法 1:由cossincaBbA及正弦定理可得 sinsincossinsinCABBA. 2 分 在ABC中,CAB
12、,所以 sinsin()sincoscossinCABABAB. 4 分 由以上两式得sincosAA,即tan1A,5 分 又(0,)A,所以 4 A6 分 解法 2:由cossincaBbA及余弦定理可得 222 sin 2 acb cabA ac ,2 分 即 222 2sinbcabcA,3 分 由余弦定理得 222 2cosbcabcA 由以上两式得sincosAA,即tan1A,5 分 又(0,)A,所以 4 A6 分 (2)ABC的面积 12 sin 24 SbcAbc,7 分 由2a,及余弦定理得 2222 42cos2bcbcBbcbc,8 分 因为bc,所以 22 422b
13、b, 即 24 422 22 b,10 分 故ABC的面积 222 21 44 Sbcb12 分 20 (本小题满分12 分) 已知数列 n a的前n项和为 n S,且 1 2a, 1 2 nn n aS n (1,2,3,)n (1)证明:数列 n S n 是等比数列; (2)设 21 1 2 n n nn b S S ,求数列 n b的前n项和 n T 题根: 数学 52.2 习题 B 组第 4 题. (变式题) 解: (1)因为, 11nnn aSS,1 分 又 1 2 nn n aS n , 所以 1 (2)() nnn nSn SS,2 分 即 1 2(1) nn nSnS, 所以
14、1 2() 1 nn SS n nn N4 分 C D B A 75 45 30 45 故数列 n S n 是首项为2,公比为2的等比数列6 分 (2)由( 1)得2 nnS n ,即 2 n n Sn 8 分 所以 2121 1 1 22111 = 2(1) 2(1)1 nn n nn nn b S Snnn nnn ,10 分 故数列 n b的前n项和 111111 11 223111 n n T nnnn 12 分 21.( 本小题满分12 分) 某电力部门需在 A、B两地之间架设高压电线, 因地理条件限制, 不能直接测量 A、B 两地距离 . 现测量人员在相距3km的C、D两地(假设
15、A、B、C、D在同一平 面上)测得75ACB,45BCD,30ADC,45ADB(如图),假 如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际所须电线长度为A、B距离的5倍, 问施工单位应该准备多长的电线? 题根: 数学 51.2 例 2. (改编题) 解: 在ACD中,由已知得30CAD,又30ADC, 所以3(km)ACCD2分 在BCD中,由已知可得60CBD,由正弦定理得 3 sin753sin 45 +3062 sin 60sin 602 BC () . 6 分 在ABC中,由余弦定理得 222 2cosABACBCAC BCBCA 2 2 6262 3()2 3cos755 22 ,
16、9 分 所以,5AB10 分 故施工单位应该准备电线长为5km. 12 分 22.( 本小题满分12 分) 已知,A B C为锐角ABC的内角,sin,sinsinABC()a,(1, 2)b,ab. (1)tanB,tantanBC,tanC能否构成等差数列?并证明你的结论; (2)求tantantanABC的最小值 . (据 2016 年江苏卷第14 题改编,三角变换、平面向量、数列及基本不等式的综合问题) 解: (1)依题意有sin2sinsinABC. 2 分 在ABC中,ABC, 所以sinsin+=sincoscossinAB CBCBC(),3 分 所以2sinsin=sinco
17、scossinBCBCBC. 4 分 因为ABC为锐角三角形,所以cos0,cos0BC,所以 tantan2tantanBCBC,5 分 所以tanB,tantanBC,tanC成等差数列 .6分 (2)法一:在 锐角ABC中, tantan tantan()tan() 1tantan BC ABCBC BC ,7 分 即tantantantantantanABCABC, 8 分 由( 1)知tantan2tantanBCBC,于是 tantantantan2tantan2 2 tantantanABCABCABC, 10 分 整理得tantantan8ABC,11 分 当且仅当tan4A时取等号, 故tantantanABC的最小值为8. 12 分 法二:由法一知 tantan tan 1tantan BC A BC , 7 分 由( 1)知tantan2tantanBCBC,于是 2 tantan2(tantan) tantantantantan 1tantan1tantan BCBC ABCBC BCBC , 8 分 令tantan(1)BCx x,则 2 22 tantantan2(1)48 11 x ABCx xx ,11 分 当且仅当2x,即tan4A时取等号, 故tantantanABC的最小值为8. 12 分
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