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1、A B C D A1 B1 C1 D1 E F 异面直线所成的角 一、平移法: 常见三种平移方法:直接平移:中位线平移(尤其是图中出现了中点):补形平移法: “ 补形法 ” 是立体几何中一种常见的方法,通过补形,可将问题转化为易于研究的几何体 来处理,利用 “ 补形法 ” 找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 直接平移法 1在空间四边形 ABCD 中,ADBC2,E,F 分别为 AB、CD 的中点,EF3,求 AD、 BC 所成角的大小 解:设 BD 的中点 G,连接 FG,EG。在 EFG 中 EF 3FGEG1 EGF120 AD 与 BC 成 60 的角。 2正ABC 的边长为 a,
2、S为ABC 所在平面外的一点, SASBSCa,E,F 分别是 SC和 AB 的中点求异面直线SA 和 EF 所成角 答案: 45 3S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点,如图SASBSC,且ASBBSCCSA 2 ,M、N 分别是 AB 和 SC 的中点求异面直线SM 与 BN 所成的角的余弦值 证明: 连结 CM,设 Q 为 CM 的中点,连结 QN 则 QNSM QNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角 连结 BQ,设 SCa,在 BQN 中 BN a 2 5 NQ 2 1 SM 4 2 aBQ a 4 14 COSQNB 5 10 2 222 NQBN BQNQBN 4如图,在
3、直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90 ,M、N 分别是 A1B1和 A1C1的中点, 若 BCCACC1,求 BM 与 AN 所成的角 解:连接 MN,作 NGBM 交 BC 于 G,连接 AG, 易证 GNA 就是 BM 与 AN 所成的角 设:BCCACC12,则 AGAN5,GNBM6, cosGNA 10 30 562 556 。 5如图,在正方体 1111 DCBAABCD中,E、F 分别是 1 BB、CD 的中点求 AE 与FD1所成的角。 证明:取 AB 中点 G,连结 A1G,FG, 因为 F 是 CD 的中点,所以 GFAD, 又 A1D1AD,所以 GFA1D1, 故四
4、边形 GFD1A1是平行四边形, A1GD1F。 设 A1G 与 AE 相交于 H,则 A1HA 是 AE 与 D1F 所成的角。 因为 E 是 BB1的中点,所以 RtA1AGABE,GA1A=GAH,从 而A1HA=90 , B M A N C S 即直线 AE 与 D1F 所成的角为直角。 6如图 128 的正方体中, E 是 AD的中点 (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA 成异面直线 ? (2)求直线 BA 和 CC 所成的角的大小; (3)求直线 AE 和 CC 所成的角的正切值; (4)求直线 AE 和 BA 所成的角的余弦值 解:(1) A平面 BC ,又点 B 和直线 CC
5、都在平面 BC 内,且 B CC , 直线 BA 与 CC 是异面直线同理,正方体12 条棱中的 C D 、DD 、DC、AD、BC 所在 的直线都和直线 BA 成异面直线 (2)CC BB ,BA 和 BB 所成的锐角就是 BA 和 CC 所成的角 ABB =45BA 和 CC 所成的角是 45 (3)AA BB CC ,故 AE 和 AA 所成的锐角 AAE 是 AE 和 CC 所成的角 在 RtAAE中,tanA AE A E AA 2 1 ,所以 AE 和 CC 所成角的正切值是 2 1 (4)取 BC的中点 F,连 EF、BF,则有 EF A B AB, ABFE 是平行四边形,从而
6、BF AE,即 BFAE 且 BF=AE. BF 与 BA 所成的锐角 ABF 就是 AE 和 BA 所成的角 设正方体各棱长为2,连 AF ,利用勾股定理求出 A BF 的各边长分别为 AB 22,AF BF5,由余弦定理得: cosABF 5 10 5222 )5()5()22( 222 7.长方体 ABCD A1B1C1D1中,若 AB=BC=3 ,AA1=4,求异面直线 B1D 与 BC1所成角的大 小。 解法一: 如图,过 B1点作 B1EBC1交 CB 的延长线于 E 点。 则DB1E 或其补角就是异面直线DB1与 BC1所成角, 连结 DE 交 AB 于 M, DE=2DM=35
7、, cosDB1E= 7 34 170 DB1E=cosarc 7 34 170 。 解法二: 如图,在平面D1DBB1中过 B 点作 BEDB1交 D1B1的延长线于 E,则 C1BE 就是异面直线 DB1与 BC1所成的角,连结 C1E,在 B1C1E 中, C1B1E=135 ,C1E=35,cosC1BE= 7 34 170 , C1BE=cosarc 7 34 170 。 练习: 8.如图, PA矩形 ABCD,已知 PA=AB=8 ,BC=10,求 AD 与 PC 所成角的余切值为。 9. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,若棱 BB1=BC=1, AB=3,求 DB 和 A
8、C 所成角的余弦值 . AB F M (图 1 29 B (图 128) A A B C D C D F E 中位线平移法: 构造三角形找中位线,然后利用中位线的性质,将异面直线所成的角转化为 平面问题,解三角形求之。 解法一:如图连结 B1C 交 BC1于 0, 过 0 点作 OEDB1, 则BOE 为所求的异面直线DB1 与 BC1所成的角。连结 EB,由已知有 B1D=34,BC1=5,BE= 3 5 2 , cosBOE= 7 34 170 BOE=cosarc 7 34 170 解法二:如图,连 DB、AC 交于 O 点,过 O 点作 OEDB1,过 E 点作 EFC1B,则OEF
9、或其补角就是两异面直线所成的角,过O 点作 OMDC,连结 MF、OF。则 OF= 73 2 , cosOEF= 7 34 170 ,异面直线 B1D 与 BC1所成的角为cosarc 7 34 170 。 解法三: 如图,连结 D1B 交 DB1于 O,连结 D1A,则四边形 ABC1D1为平行四边形。在 平行四边形 ABC1D1中过点 O 作 EFBC1交 AB、D1C1于 E、F,则 DOF 或其补角就 是异面直线 DB1与 BC1所成的角。在 ADF 中 DF= 3 5 2 ,cosDOF= 7 34 170 , DOF=cosarc 7 34 170 。 课堂练习 10. 在正四面体
10、 ABCD 中,已知 E 是棱 BC 的中点,求异面直线 AE 和 BD 所成角的余弦值。 补形平移法: 在已知图形外补作一个相同的几何体,以例于找出平行线。 解法一: 如图,以四边形ABCD 为上底补接一个高为4 的长方体 ABCD-A2B2C2D2,连结 D2B,则 DB1D2B,C1BD2或其补角就是异面直线DB1与 BC1所成的角,连 C1D2, 则C1D2C2为 Rt,cosC1BD2= 7 34 170 ,异面直线 DB1与 BC1所成的角是 cosarc 7 34 170 。 课堂练习: 11. 求异面直线 A1C1与 BD1所成的角的余弦值。 在长方体 ABCD-A1B1C1D
11、1的面 BC1上补上一个同样大小的长 方体,将 A1C1平移到 BE,则D1BE 或其补角就是异面直 线A1C1与BD1所 成 的 角 , 在 BD1E中 , BD1=3,? 二、利用模型求异面直线所成的角 模型 1 引理:已知平面 的一条斜线 a 与平面 所成的角为 1,平面 内的一条直线 b 与 斜线 a 所成的角为 ,与它的射影 a 所成的角为 2。求证: cos=cos1cos2。 在平面 的斜线 a 上取一点 P,过点 P 分别作直线 c、b 的 垂线 PO、PB,垂足为 O、B 2 1 c b a P O A B 连接 OB,则 OBb. 在直角 AOP 中, AP AO 1 co
12、s. 在直角 ABC 中, AO AB 2 cos. 在直角 ABP 中, AP AB cos. 所以coscoscos 21 AP AB AO AB AP AO 所以coscoscos 21 证明:设 PA 是 的斜线, OA 是 PA 在 上的射影, OB PA OA PA AB OA AB 2 1 知三棱柱 111 ABCA B C的侧棱与底面边长都相等, 1 A 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点,则异面直线AB 与 1 CC所成的 角的余弦值为( D) (A) 3 4 (B) 5 4 (C) 7 4 (D) 3 4 解:设 BC 的中点为 D,连结 1 AD,AD,易知 1 A
13、 AB即为异面直线 AB 与 1 CC所成的角 ,由三角余弦定理,易知 1 1 3 cocs 4 oscos ADAD A ADDAB A AAB .故选 D 14.如图,在立体图形P-ABCD 中,底面 ABCD 是一个直角 梯形, BAD=90 , AD 4 2 4 2 图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E、F 分别是相邻两侧面 BCC1B1及 CDD1C1的中心。求 A1E 和 B1F 所成的角的大小。 解法一:(作图法)作图关键是平移直线,可平移其中一条直线,也可平移两条直线到某个 点上。 作法:连结 B1E,取 B1E 中点 G 及 A1B1中点 H, 连结GH,有 GH
14、 4 6 2 6 4 26 6 1 6 1 1 EAFB1 | 11 11 FBEA FBEA 222222 )1()1 ()2() 1 ()2() 1( )1(1122)1( 6 1 6 1 AB AC AD AM 2 1 AB AC NC 2 1 AD AC AM NC |NCAM NCAM AM NC 2 1 AB AC 2 1 P b A B O P E D F A B C B A C D F E B1 A1D1 C1 G H S R P Q B A C D F E B1 A1D1 C1 A B C D M N B C B C A1 1 1 A DA B C D M AD AC 2 1
15、 2 1 AB AD AB AC 2 1 AD AC AC AC 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 AM 2 1 AB AC 2 1 AB AC 4 1 4 3 NC 2 1 AD AC 2 1 AD AC 4 1 2 1 4 3 3 2 7 EF EG GFBA 3 2 CD 3 1 BA CD EFBA 3 2 CD 3 1 BA 3 2 CD 3 1 2 1 求:(1)AC1的长;(2)直线 BD1与 AC 所成的 角的余弦值 . 技巧与方法:数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用. BD1与 AC 所成角的余弦值为 22 24ba b . 判断是非: (1)(3)(8)(10)正
16、确,其余错; 选择: 1(C) ;2(D) ;3(D) ;4(D) 5(2) 相交, (5) 平行,其余异面;(6) :(D),取 AB 中点 M,CC1中点 N,连 B1E 和 B1F; (7)答案: (A) ,延长 B1A1至 M ,使 A1M A1D1,连 MA ,取 AB中点 N8(D) ;9(E) ;10(D) ;11(C) ; 三 3 4 ,取 AD 中点 E,则 MEN90 ; 四 5 7 ,取 AC 中点 F,连 EF、BF,求得 BE 2 1 AD5,BF 2 1 AC32; 五 5 52 ,分别取 AC、B1C1的中点 P、Q,则 PMQN 是矩形,设 CC1MQa,则 M
17、P 2 1 a; 六 6 1 ,取 AC 中点 F,连 EF、BF,则 EF4,BEBF3 异面直线所成的角 - 作业 班级:姓名:学号: 一、判断是非 (下列命题中,正确的打 “”,错误的打 “”) (1)梯形的四个顶点在同一平面内;(2)对边相等的四边形是平行四边形; (3)平行于同一直线的两直线平行;(4)垂直于同一直线的两直线平行; (5)两条直线确定一个平面; (6)经过三点可以确定一个平面; (7)无公共点的两直线异面; (8)两异面直线无公共点; (9)两异面直线可以同时平行于一直线;(10)两异面直线可以同时垂直于一直线; (11)不同在一个已知平面内的两直线异面;(12)互相
18、垂直的两条直线必可确定一平面 二、选择题 A B C D E F G 1.没有公共点的两条直线的位置关系是() (A)平行(B)异面(C)平行或异面 (D)不能确定 2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是() (A)异面(B)平行(C)平行或异面 (D)平行或异面或相交 3.两条异面直线指的是 () (A)在空间不相交的两条直线(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 (C)分别位于两个不同平面的两条直线(D)不同在任一平面内的两条直线 、b 是异面直线, b、c 也是异面直线,那么a、c 的位置是 () (A)异面(B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面 5.
19、说出正方体中各对线段的位置关系: (1)AB 和 CC1;(2)A1C 和 BD1;(3)A1A 和 CB1; (4)A1C1和 CB1;(5)A1B1和 DC;(6)BD1和 DC. 6.在棱长为 1的正方体 ABCDA1B1C1D1中, M 和 N 分别为 A1B1和 BB1 的中点,那么直线AM 与 CN 所成角的余弦值是 () 7.如图,A1B1C1ABC 是直三棱柱 (三侧面为矩形 ),BCA=90 , 点 D1、F1分别是 A1B1、A1C1的中点若 BC=CA=CC1,则 BD1与 AF1所成角的余弦值是 () 3013015 ()()()() 1021510 ABCD 8.正方
20、体 ABCD A1B1C1D1中,直线 BC1与 AC (A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直 9.设 a、b、c 是空间中的三条直线,下面给出四个命题: 如果 ab、bc,则 ac;如果 a 和 b 相交, b 和 c 相交,则 a和 c 也相交; 如果 a、b 是异面直线, c、b 是异面直线,则a、c也是异面直线; 如果 a和 b 共面, b 和 c 共面,则 a 和 c 也共面, 在上述四个命题中,真命题的个数是() (A)4(B)3(C)2(D)1(E)0 10.如果直线 l 和 n是异面直线,那么和直线l、n 都垂直的直线 (A)不一定存在 (B
21、)总共只有一条 (C)总共可能有一条,也可能有两条(D)有无穷多条 11.如图,四面体 SABC 的各棱长都相等,如果E、F 分别为 SC、AB 的中点,那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于 (A)90 (B)60 (C)45 (D)30 三如图,四面体 ABCD 中,ACBD,且 AC4,BD3,M、N 分别是 AB、CD 的中点, 求 MN 和 BD 所成角的正切值 四如图,四面体ABCD 中,ABBC,ABBD,BCCD,且 ABBC6,BD8,E 是 AD 中点,求 BE 与 CD 所成角的余弦值 五如图,正三棱柱的九条棱都相等,三个侧面都是正方体,M、N 分别是 BC 和 A1C1的中 点。求 MN 与 CC1所成角的余弦值。 六如图,四面体ABCD 中,E 为 AD 中点,若 ACCDDA8,ABBD5,BC7, 求 BE 与 CD 所成角的余弦值。 F A B C E S (第11 题) A B C D M (第三题 ) N 4 3 A B C D (第四题) E 6 6 8 (第五题 ) M A B C N C1 A1 B1 8 A B C D E (第六题 ) 7 8 5 4 4 5
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