微分几何第四版习题答案解析梅向明.pdf
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1、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 曲面的概念 1. 求正螺面 r r = uvcos ,u vsin, bv 的坐标曲线 . 解 u- 曲线为 r r =u 0 cosv ,u 0 sin v,bv 0 =0,0 , bv0 u 0 cosv, 0 sin v,0 , 为曲线的直母线; v- 曲线为 r r = 0 uvcos, 0 uvsin,bv 为圆柱螺线 证明双曲抛物面r r a(u+v), b (u-v ),2uv 的坐标曲线就是它的直 母线。 证 u- 曲线为 r r = a(u+ 0 v), b(u- 0 v),2u 0
2、v= a 0 v, b 0 v,0+ ua,b,2 0 v 表示过点 a 0 v, b 0 v,0 以a,b,2 0 v 为方向向量的直线 ; v- 曲线为 r r = a ( 0 u+v), b ( 0 u-v ),2 0 uv= a 0 u, b 0 u,0 +va,-b,2 0 u 表示过点 (a 0 u, b 0 u,0) 以a,-b,2 0 u 为方向向量的直线。 3求球面 r r =sin,sincos,sincosaaa上任意点的切平面和法线方程。 解r=cos,sinsin,cossinaaa,r=0,coscos,sincosaa . . 任意点的切平面方程为0 0cosco
3、ssincos cossinsincossin sinsincoscoscos aa aaa azayax 即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ; 法线方程为 sin sin sincos sincos coscos coscosazayax 。 4求椭圆柱面 22 22 1 xy ab 在任意点的切平面方程, 并证明沿每一条直母线, 此 曲面只有一个切平面。 解 椭圆柱面 22 22 1 xy ab 的参数方程为x = cos, y = asin, z = t , 0 ,cos,sinbar , 1 ,0,0 t r。所以切平面方程为: 0 100 0cos
4、sin sincos ba tzbyax ,即 x bcos + y asin a b = 0 此方程与 t 无关,对于的每一确定的值,确定唯一一个切平面,而的每一数值 对应一条直母线,说明沿每一条直母线,此曲面只有一个切平面。 5证明曲面, 3 uv a vur的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 数。 证, 0, 1 2 3 vu a ru,,1 ,0 2 3 uv a rv。切平面方程为:3 3 z a uv v y u x 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3 ) 。 于是,四面体的体积为: . . 3 3 2 9 | 3
5、 |3|3 6 1 a uv a vuV是常数。 曲面的第一基本形式 1. 求双曲抛物面 r r a(u+v), b (u-v ),2uv 的第一基本形式 . 解,4,2,2, 2222 vbarEubarvbar uvu 222222 4,4ubarGuvbarrF vvu , 错误!未找到引用源。= 2222 )4(duvba2 222222 )4()4(dvubadudvuvba。 求正螺面 r r = uvcos ,u vsin, bv 的第一基本形式,并证明坐标曲线互 相垂直。 解,cos,sin,0 ,sin,cosbvuvurvvr vu ,1 2 u rE,0 vu rrF,
6、222 burG v ,错误! 未找到引用源。 = 2222 )(dvbudu, 坐标曲线互相垂直。 在第一基本形式为 错误! 未找到引用源。 = 222 sinhudvdu的曲面上,求 方程为 u = v 的曲线的弧长。 解 由条件 2 ds 222 sinhudvdu, 沿曲线 u = v有 du=dv ,将其代入 2 ds得 2 ds 222 sinhudvdu= 22 cosh vdv,ds = coshvdv , 在曲线 u = v 上,从 1 v到 2 v的 弧长为|sinhsinh|cosh| 12 2 1 vvvdv v v 。 4设曲面的第一基本形式为错误! 未找到引用源。
7、= 2222 )(dvaudu,求 . . 它上面两条曲线 u + v = 0 ,uv = 0的交角。 分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量,即等距不变量,而求等距不变 量只须知道曲面的第一基本形式,不需知道曲线的方程。 解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1E,0 v F, 22 auG, 曲线 u + v = 0 与 u v = 0 的交点为 u = 0, v = 0, 交点处的第一类基本量为1E, 0 v F, 2 aG。曲线 u + v = 0的方向为 du = -dv , u v = 0的方向为 u= v , 设两曲线的夹角为,则有 cos= 2 2 2222 1 1 a
8、 a vGuEGdvEdu uGdvuEdu 。 5求曲面 z = axy上坐标曲线 x = x 0 ,y =0 y的交角 . 解曲 面 的 向 量表 示 为 r r =x,y,axy, 坐 标 曲 线 x = x0的向 量 表 示为 r r = x0,y,ax 0y ,其切向量y r=0,1,ax0 ; 坐标曲线 y = 0 y的向量表示为 r r =x , 0 y,ax 0 y,其切向量 x r=1,0,a 0 y,设两曲线 x = x 0与 y =0 y的夹角为,则 有cos = 2 0 22 0 2 00 2 11 | yaxa yxa rr rr yx yx 6. 求 u-曲线和 v
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