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1、第 1 页(共 26 页) 2019 年上海市普陀区中考数学一模试卷 一、选择题(每题4 分) 1“ 相似的图形 ” 是() A形状相同的图形 B 大小不相同的图形 C能够重合的图形 D大小相同的图形 2下列函数中, y 关于 x 的二次函数是() Ay=2x+1 By=2x(x+1) C y=Dy=(x2) 2x2 3如图,直线 l1l2l3,直线 AC分别交 l1、l2、l3与点 A、B、C,直线 DF分别 交 l1、l2、l3与点 D、E、F,AC与 DF相交于点 H,如果 AH=2,BH=1,BC=5 ,那 么的值等于() ABC D 4抛物线 y=x2+bx+c 上部分点的横坐标x,
2、纵坐标 y 的对应值如下表所示: x 2 1 012 y04664 从上表可知,下列说法中,错误的是() A抛物线于 x 轴的一个交点坐标为( 2,0) B抛物线与 y 轴的交点坐标为( 0,6) C抛物线的对称轴是直线x=0 D抛物线在对称轴左侧部分是上升的 5如图,在四边形ABCD 中,如果 ADC= BAC ,那么下列条件中不能判定 ADC和BAC相似的是() 第 2 页(共 26 页) ADAC= ABC BAC是BCD的平分线 CAC 2=BC?CD D = 6下列说法中,错误的是() A长度为 1 的向量叫做单位向量 B如果 k0,且 ,那么 k 的方向与的方向相同 C如果 k=0
3、或 = ,那么 k = D如果=, =,其中是非零向量,那么 二、填空题(每题2 分) 7如果 x:y=4:3,那么= 8计算: 3 4( + )= 9如果抛物线 y=(m1)x2的开口向上,那么m 的取值范围是 10抛物线 y=4x 23x 与 y 轴的交点坐标是 11若点 A(3,n)在二次函数 y=x 2+2x3 的图象上,则 n 的值为 12已知线段 AB的长为 10厘米,点 P是线段 AB的黄金分割点,那么较长的线 段 AP的长等于厘米 13利用复印机的缩放功能, 将原图中边长为 5 厘米的一个等边三角形放大成边 长为 20 厘米的等边三角形,那么放大前后的两个三角形的周长比是 14
4、已知点 P在半径为 5 的O 外,如果设 OP=x ,那么 x的取值范围是 15如果港口 A 的南偏东 52 方向有一座小岛 B,那么从小岛 B观察港口 A 的方 向是 16在半径为 4 厘米的圆面中,挖去一个半径为x 厘米的圆面,剩下部分的面积 为 y 平方厘米,写出 y 关于 x 的函数解析式:(结果保留 ,不要求写出定 义域) 第 3 页(共 26 页) 17如果等腰三角形的腰与底边的比是5:6,那么底角的余弦值等于 18如图, DE BC ,且过 ABC的重心,分别与AB、AC交于点 D、E,点 P 是 线段 DE上一点, CP的延长线交 AB于点 Q,如果=,那么 SDPQ:SCPE
5、的值 是 三、解答题 19计算: cos 245 + ?tan30 20 如图, 已知 AD是O的直径, BC是O 的弦, ADBC , 垂足为点 E, AE=BC=16 , 求O的直径 21如图,已知向量, (1)求做:向量分别在,方向上的分向量,: (不要求写作法,但 要在图中明确标出向量和) (2)如果点 A 是线段 OD的中点,联结 AE 、交线段 OP于点 Q,设= ,= , 那么试用, 表示向量,(请直接写出结论) 22一段斜坡路面的截面图如图所示,BC AC,其中坡面 AB 的坡比 i1=1:2, 第 4 页(共 26 页) 现计划削坡放缓, 新坡面的坡角为原坡面坡脚的一半,求新
6、坡面 AD的坡比 i2(结 果保留根号) 23已知:如图,在四边形 ABCD中,BAD= CDA ,AB=DC=,CE=a ,AC=b, 求证: (1)DEC ADC ; (2)AE?AB=BC?DE 24如图,已知在平面直角坐标系xOy 中,点 A(4,0)是抛物线 y=ax 2+2xc 上的一点,将此抛物线向下平移6 个单位后经过点B(0,2) ,平移后所得的新 抛物线的顶点记为C,新抛物线的对称轴与线段AB的交点记为 P (1)求平移后所得到的新抛物线的表达式,并写出点C的坐标; (2)求 CAB的正切值; (3)如果点 Q 是新抛物线对称轴上的一点,且BCQ与ACP相似,求点 Q的 坐
7、标 25如图,在直角三角形ABC中,ACB=90 ,AB=10,sinB= ,点 O 是 AB的中 点,DOE= A, 当DOE以点 O为旋转中心旋转时, OD交 AC的延长线于点 D, 交边 CB于点 M,OE交线段 BM 于点 N 第 5 页(共 26 页) (1)当 CM=2时,求线段 CD的长; (2)设 CM=x,BN=y,试求 y 与 x 之间的函数解析式,并写出定义域; (3)如果 OMN 是以 OM 为腰的等腰三角形,请直接写出线段CM 的长 第 6 页(共 26 页) 2019 年上海市普陀区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(每题4 分) 1“ 相似的图形 ”
8、 是() A形状相同的图形 B 大小不相同的图形 C能够重合的图形 D大小相同的图形 【考点】 相似图形 【分析】 根据相似形的定义直接进行判断即可 【解答】 解:相似图形是形状相同的图形,大小可以相同,也可以不同, 故选 A 2下列函数中, y 关于 x 的二次函数是() Ay=2x+1 By=2x(x+1) C y=Dy=(x2) 2x2 【考点】 二次函数的定义 【分析】 根据二次函数的定义,可得答案 【解答】 解:A、y=2x+1 是一次函数,故 A 错误; B、y=2x(x+1)是二次函数,故B正确; C、y=不是二次函数,故C错误; D、y=(x2) 2x2 是一次函数,故 D 错
9、误; 故选: B 3如图,直线 l1 l 2 l 3,直线 AC分别交 l1 、l 2 、l 3与点 A、B、C,直线 DF分别 交 l 1 、l 2 、l 3与点 D、E、F,AC与 DF相交于点 H,如果 AH=2,BH=1,BC=5 ,那 么的值等于() 第 7 页(共 26 页) ABC D 【考点】 平行线分线段成比例 【分析】 根据平行线分线段成比例,可以解答本题 【解答】 解:直线 l1l2l3, , AH=2 ,BH=1,BC=5 , AB=AH +BH=3, , , 故选 D 4抛物线 y=x 2+bx+c 上部分点的横坐标 x,纵坐标 y 的对应值如下表所示: x 2 1
10、012 y04664 从上表可知,下列说法中,错误的是() A抛物线于 x 轴的一个交点坐标为( 2,0) B抛物线与 y 轴的交点坐标为( 0,6) C抛物线的对称轴是直线x=0 D抛物线在对称轴左侧部分是上升的 【考点】 二次函数的性质 【分析】 由表可知抛物线过点( 2,0) 、 (0,6)可判断 A、B;当 x=0 或 x=1 时,y=6可求得其对称轴,可判断C;由表中所给函数值可判断 D 【解答】 解: 当 x=2 时,y=0, 第 8 页(共 26 页) 抛物线过( 2,0) , 抛物线与 x 轴的一个交点坐标为( 2,0) ,故 A 正确; 当 x=0时,y=6, 抛物线与 y
11、轴的交点坐标为( 0,6) ,故 B正确; 当 x=0和 x=1时,y=6, 对称轴为 x= ,故 C错误; 当 x时,y 随 x 的增大而增大, 抛物线在对称轴左侧部分是上升的,故D 正确; 故选 C 5如图,在四边形ABCD 中,如果 ADC= BAC ,那么下列条件中不能判定 ADC和BAC相似的是() ADAC= ABC BAC是BCD的平分线 CAC 2=BC?CD D = 【考点】 相似三角形的判定 【分析】 已知 ADC= BAC ,则 A、B 选项可根据有两组角对应相等的两个三角 形相似来判定; C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等,所以不能 推出两三角形相似; D
12、选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两 个三角形相似来判定 【解答】 解:在 ADC和BAC中, ADC= BAC , 如果 ADC BAC ,需满足的条件有: DAC= ABC或 AC是BCD的平分线; =; 故选: C 第 9 页(共 26 页) 6下列说法中,错误的是() A长度为 1 的向量叫做单位向量 B如果 k0,且 ,那么 k 的方向与的方向相同 C如果 k=0或 = ,那么 k = D如果=,=,其中是非零向量,那么 【考点】 *平面向量 【分析】 由平面向量的性质来判断选项的正误 【解答】 解:A、长度为 1的向量叫做单位向量,故本选项错误; B、当 k0 且 时
13、,那么 k 的方向与的方向相同,故本选项正确; C、如果 k=0或 = ,那么 k = ,故本选项错误; D、如果 =,=,其中是非零向量, 那么向量 a 与向量 b 共线,即 , 故本选项错误; 故选: B 二、填空题(每题2 分) 7如果 x:y=4:3,那么= 【考点】 比例的性质 【分析】 根据比例的性质用 x 表示 y,代入计算即可 【解答】 解: x:y=4:3, x= y, =, 故答案为: 8计算: 3 4( + )= 4 【考点】 *平面向量 【分析】 根据向量加法的运算律进行计算即可 第 10 页(共 26 页) 【解答】 解:3 4( + )=3 4 4 = 4 故答案是
14、:4 9如果抛物线 y=(m1)x 2 的开口向上,那么m 的取值范围是m1 【考点】 二次函数的性质 【分析】根据二次函数的性质可知, 当抛物线开口向上时, 二次项系数 m10 【解答】 解:因为抛物线 y=(m1)x 2 的开口向上, 所以 m10,即 m1,故 m 的取值范围是 m1 10抛物线 y=4x 23x 与 y 轴的交点坐标是 (0,0) 【考点】 二次函数图象上点的坐标特征 【分析】 令 x=0可求得 y=0,可求得答案 【解答】 解: 在 y=4x 23x 中,令 x=0可得 y=0, 抛物线与 y 轴的交点坐标为( 0,0) , 故答案为:(0,0) 11若点 A(3,n
15、)在二次函数 y=x 2+2x3 的图象上,则 n 的值为 12 【考点】 二次函数图象上点的坐标特征 【分析】 将 A(3,n)代入二次函数的关系式y=x 2+2x3,然后解关于 n 的方程 即可 【解答】 解: A(3,n)在二次函数 y=x 2+2x3 的图象上, A(3,n)满足二次函数 y=x 2+2x3, n=9+63=12,即 n=12, 故答案是: 12 12已知线段 AB的长为 10厘米,点 P是线段 AB的黄金分割点,那么较长的线 段 AP的长等于5 5 厘米 【考点】 黄金分割 第 11 页(共 26 页) 【分析】 根据黄金比值是计算即可 【解答】 解:点 P是线段 A
16、B的黄金分割点, APBP , AP=AB=(5 5)厘米, 故答案为: 55 13利用复印机的缩放功能, 将原图中边长为 5 厘米的一个等边三角形放大成边 长为 20 厘米的等边三角形,那么放大前后的两个三角形的周长比是1:4 【考点】 相似图形 【分析】 根据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可 【解答】解:因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm 的等 边三角形, 所以放大前后的两个三角形的面积比为5:20=1:4, 故答案为: 1:4 14 已知点 P在半径为 5 的O外, 如果设 OP=x , 那么 x 的取值范围是x5 【考点】 点与圆的位置关系 【分析】
17、根据点在圆外的判断方法得到x 的取值范围 【解答】 解:点 P在半径为 5 的O外, OP 5,即 x5 故答案为 x5 15如果港口 A 的南偏东 52 方向有一座小岛 B,那么从小岛 B观察港口 A 的方 向是北偏西 52 【考点】 方向角 【分析】 根据方位角的概念,画图正确表示出方位角,即可求解 【解答】 解:如图, 1=2=52 , 从小岛 B观察港口 A 的方向是北偏西 52 故答案为:北偏西52 第 12 页(共 26 页) 16在半径为 4 厘米的圆面中,挖去一个半径为x 厘米的圆面,剩下部分的面积 为 y 平方厘米,写出 y 关于 x 的函数解析式:y=x 2+16 (结果保
18、留 ,不 要求写出定义域) 【考点】 函数关系式;函数自变量的取值范围 【分析】 根据圆的面积公式,可得答案 【解答】 解:由题意得 在半径为 4 厘米的圆面中,挖去一个半径为x厘米的圆面,剩下部分的面积为y 平方厘米, y=x 2+16 , 故答案为: y=x 2+16 17如果等腰三角形的腰与底边的比是5:6,那么底角的余弦值等于 【考点】 解直角三角形;等腰三角形的性质 【分析】 如图, ABC中,AB=AC ,AC :BC=5 :6,作 AEBC于 E,则 BE=EC , 在 RtAEC中,根据 cosC=,即可解决问题 【解答】解:如图,ABC中,AB=AC ,AC:BC=5 :6,
19、作 AEBC于 E,则 BE=EC , , 在 RtAEC中,cosC=, 故答案为 第 13 页(共 26 页) 18如图, DE BC ,且过 ABC的重心,分别与AB、AC交于点 D、E,点 P 是 线段 DE上一点, CP的延长线交 AB于点 Q,如果=,那么 SDPQ:SCPE的值 是1:15 【考点】 三角形的重心;相似三角形的判定与性质 【分析】 连接 QE,由 DE BC 、DE过ABC的重心即可得出=,设 DE=4m, 则 BC=6m ,结合=即可得出 DP=m,PE=3m ,由 DPQ与QPE有相同的高 即可得出=,再根据 DE BC ,利用平行线的性质即可得出QDP= Q
20、BC ,结合公共角 DQP= BQC即可得出 QDP QBC ,依据相似三角形的性 质 即 可 得 出=, 进 而 得 出=, 结合 三 角 形 的 面积 即 可 得 出 =,将与相乘即可得出结论 【解答】 解:连接 QE,如图所示 DE BC ,DE过ABC的重心, = 设 DE=4m,则 BC=6m =, DP=m ,PE=3m , = DE BC , QDP= QBC , DQP= BQC , 第 14 页(共 26 页) QDP QBC , = , =, =, =?= 故答案为: 1:15 三、解答题 19计算: cos 245 + ?tan30 【考点】 特殊角的三角函数值 【分析】
21、 根据特殊角三角函数值,可得答案 【解答】 解:原式 =()2+ =+1 = 20 如图, 已知 AD是O的直径, BC是O 的弦, ADBC , 垂足为点 E, AE=BC=16 , 求O的直径 第 15 页(共 26 页) 【考点】 垂径定理;勾股定理 【分析】 连接 OB,根据垂径定理求出BE ,根据勾股定理得出方程,求出方程的 解即可 【解答】 解: 连接 OB,设 OB=OA=R ,则 OE=16 R, ADBC ,BC=16 , OEB=90 ,BE= BC=8 , 由勾股定理得: OB 2=OE2+BE2, R 2=(16R)2+82, 解得: R=10, 即O的直径为 20 2
22、1如图,已知向量, (1)求做:向量分别在,方向上的分向量,: (不要求写作法,但 要在图中明确标出向量和) (2)如果点 A 是线段 OD的中点,联结 AE 、交线段 OP于点 Q,设= ,= , 那么试用, 表示向量,(请直接写出结论) 第 16 页(共 26 页) 【考点】 *平面向量 【分析】 (1)根据向量加法的平行四边形法则,分别过P作 OA、OB的平行线, 交 OA于 D,交 OB于 E; (2)易得 OAQ PEQ ,根据相似三角形对应边成比例得出= , 那么=2=2 ,= 再求出= 2 , 然后根据=即 可求解 【解答】解: (1)如图,分别过 P作 OA、OB的平行线,交
23、OA于 D,交 OB于 E, 则向量分别在,方向上的分向量是,; (2)如图,四边形ODPE是平行四边形, PE DO,PE=DO , OAQ PEQ , =, 点 A 是线段 OD的中点, OA= OD= PE , =, =2=2 ,= = 2 , = 2 , 第 17 页(共 26 页) = 2 =2 22一段斜坡路面的截面图如图所示,BC AC,其中坡面 AB 的坡比 i1=1:2, 现计划削坡放缓, 新坡面的坡角为原坡面坡脚的一半,求新坡面 AD的坡比 i2(结 果保留根号) 【考点】 解直角三角形的应用 -坡度坡角问题 【分析】 作DEAB, 可得 BDE= BAC , 即可知 ta
24、nBAC=tan BDE , 即=, 设 DC=2x ,由角平分线性质得 DE=DC=2x ,再分别表示出 BD、AC的长,最后由坡 比定义可得答案 【解答】 解:过点 D 作 DE AB于点 E, DEB= C=90 , B=B, BDE= BAC , tanBAC=tan BDE ,即=, 设 DC=2x , DAC= DAE ,DEB= C=90 , DE=DC=2x , 则 BE=x ,BD=x, 第 18 页(共 26 页) BC=CD +BD=(2+)x, AC=2BC= (4+2)x, 新坡面 AD的坡比 i2=2 23已知:如图,在四边形 ABCD中,BAD= CDA ,AB=
25、DC=,CE=a ,AC=b, 求证: (1)DEC ADC ; (2)AE?AB=BC?DE 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 (1)两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,据此进行 证明即可; (2)先根据相似三角形的性质,得出BAC= EDA ,=,再根据两组对应 边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,进行证明即可 【解答】 证明: (1)DC=,CE=a ,AC=b , CD 2=CE CA , 即=, 又 ECD= DCA , DEC ADC ; (2) DEC ADC , DAE= CDE , BAD= CDA , BAC= EDA , DEC ADC ,
26、=, 第 19 页(共 26 页) DC=AB , =,即=, ADE CAB , =, 即 AE?AB=BC?DE 24如图,已知在平面直角坐标系xOy 中,点 A(4,0)是抛物线 y=ax 2+2xc 上的一点,将此抛物线向下平移6 个单位后经过点B(0,2) ,平移后所得的新 抛物线的顶点记为C,新抛物线的对称轴与线段AB的交点记为 P (1)求平移后所得到的新抛物线的表达式,并写出点C的坐标; (2)求 CAB的正切值; (3)如果点 Q 是新抛物线对称轴上的一点,且BCQ与ACP相似,求点 Q的 坐标 【考点】 二次函数综合题 【分析】 (1)先根据点 B(0,2)向上平移 6 个
27、单位得到点 B(0,8) ,将 A(4, 0) ,B(0,8)分别代入 y=ax 2+2xc,得原抛物线为 y=x2+2x+8,向下平移 6 个单位后所得的新抛物线为y=x2+2x+2,据此求得顶点C的坐标; (2)根据 A(4,0) ,B(0,2) ,C(1,3) ,得到 AB2=20,AC 2=18,BC2=2,进 而得出 AB 2=AC2+BC2,根据 ACB=90 ,求得 tanCAB的值即可; (3) 先设抛物线的对称轴x=1与 x轴交于点 H, 根据=, 求得 PH= AH= , 进而得到 P (1,) ,再由 HA=HC=3 ,得HCA=45 ,根据当点 Q 在点 C下方时, B
28、CQ= ACP ,因此 BCQ与ACP相似分两种情况,根据相似三角形的性质即 第 20 页(共 26 页) 可得到点 Q 的坐标 【解答】 解: (1)点 B(0,2)向上平移 6 个单位得到点 B(0,8) , 将 A(4,0) ,B(0,8)分别代入 y=ax 2+2xc,得 , 解得, 原抛物线为 y=x2+2x+8, 向下平移 6 个单位后所得的新抛物线为y=x 2+2x+2, 顶点 C的坐标为( 1,3) ; (2)如图 2,由 A(4,0) ,B(0,2) ,C(1,3) ,得 AB 2=20,AC2=18,BC2=2, AB 2=AC2+BC2, ACB=90 , tanCAB=
29、 ; (3)如图 3,设抛物线的对称轴x=1与 x 轴交于点 H, 由= ,得 PH= AH= , P(1,) , 由 HA=HC=3 ,得 HCA=45 , 当点 Q 在点 C下方时, BCQ= ACP , 因此 BCQ与ACP相似分两种情况: 第 21 页(共 26 页) 如图 3,当=时,=, 解得 CQ=4 , 此时 Q(1,1) ; 如图 4,当=时,=, 解得 CQ= , 此时 Q(1,) 25如图,在直角三角形ABC中,ACB=90 ,AB=10,sinB= ,点 O 是 AB的中 点,DOE= A, 当DOE以点 O为旋转中心旋转时, OD交 AC的延长线于点 D, 交边 CB
30、于点 M,OE交线段 BM 于点 N 第 22 页(共 26 页) (1)当 CM=2时,求线段 CD的长; (2)设 CM=x,BN=y,试求 y 与 x 之间的函数解析式,并写出定义域; (3)如果 OMN 是以 OM 为腰的等腰三角形,请直接写出线段CM 的长 【考点】 几何变换综合题 【分析】 (1)如图 1 中,作 OHBC于 H只要证明 DCMOHM,即可得出 CD=OH=3 (2)如图 2 中,作 NGOB于 G首先证明 1=2,根据 tan1=tan2,可 得=,由此即可解决问题 (3)分两种情形讨论即可如图3 中,当 OM=ON时,OH垂直平分 MN,如 图 4 中,当 OM
31、=MN 时,分别求解即可 【解答】 解: (1)如图 1 中,作 OHBC于 H 在 RtABC中, AB=10,sinB= , AC=6 ,BC=8 , AO=OB ,OHAC , CH=HB=4 ,OH=3, CM=2, 第 23 页(共 26 页) CM=HM=2 , 在DCM和OHM 中, , DCMOHM, CD=OH=3 (2)如图 2 中,作 NGOB于 G HOB= A=MON, 1=2, 在 RtBNG中,BN=y,sibB= , GN= y,BG= y, tan1=tan2, =, =, y= , (0x4) (3)如图 3 中,当 OM=ON时,OH垂直平分 MN, 第 24 页(共 26 页) BN=CM=x , OMHONG, NG=HM=4 x, sinB= , = , CM=x= 如图 4 中,当 OM=MN 时连接 CO , OA=OB ,OM=MN, CO=OA=OB , MON=MNO=A=OCA , MONOAC , AOC= OMN, BOC= CMO, B=B, CMOCOB , 第 25 页(共 26 页) =, 8x=5 2, x= 综上所述, OMN 是以 OM 为腰的等腰三角形时,线段CM的长为或 第 26 页(共 26 页) 2019 年 2 月 12 日
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