2019年中考数学专题知识突破(二)新定义型问题.pdf
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1、- 1 - 专题知识突破二新定义型问题 一、中考专题诠释 所谓“新定义”型问题,主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新 运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、 推理、迁移的一种题型 . “新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点. 在复习中应 重视学生应用新的知识解决问题的能力 二、解题策略和解法精讲 “新定义型专题”关键要把握两点:一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方 法;二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移 三、中考典例剖析 考点一:规律题型中的新定义 例 1 ( 2019 ?济 南 )现 定 义
2、 一 种 变 换 :对 于 一 个 由 有 限 个 数 组 成 的 序 列 S0,将 其 中 的 每 个 数 换 成 该 数 在 S0中 出 现 的 次 数 , 可 得 到 一 个 新 序 列 S1, 例 如 序 列 S0: ( 4, 2, 3, 4, 2) , 通 过 变 换 可 生 成 新 序 列 S1: ( 2, 2, 1, 2, 2) , 若S0可 以 为 任 意 序 列 , 则 下 面 的 序 列 可 作 为 S1的 是 () A ( 1, 2, 1, 2, 2)B( 2, 2, 2, 3, 3) C ( 1, 1, 2, 2, 3)D( 1,2,1,1,2) 思路分析: 根 据 题
3、 意 可 知 ,S1中 2 有 2 的 倍 数 个 ,3 有 3 的 倍 数 个 ,据 此 即 可 作 出 选 择 考点二:运算题型中的新定义 例 2 ( 2019 ?铜 仁 ) 定 义 一 种 新 运 算 : a?b=b 2-ab , 如 : 1?2=22 -1 2=2 , 则 ( -1 ?2) ?3=_. 思路分析:先 根 据 新 定 义 计 算 出 -1 ?2=6 , 然 后 计 算 再 根 据 新 定 义 计 算 6?3 即 可 考点三:探索题型中的新定义 例 3 (2019 ?钦州)定义:直线l1与 l2相交于点O,对于平面内任意一点M,点 M 到直 线 l1、l2的距离分别为p、q
4、,则称有序实数对(p,q)是点M 的“ 距离坐标 ” ,根据上述定 义, “ 距离坐标 ” 是( 1,2)的点的个数是() A2 B3 C4 D5 思路分析:“ 距离坐标 ” 是( 1,2)的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、 2由于到直线l1的距离是1 的点在与直线l1平行且与l1的距离是1 的两条平行线a1、 a2 上,到直线l2的距离是2 的点在与直线l2平行且与l2的距离是2 的两条平行线b1、b2上, 它们有 4 个交点,即为所求 考点四:开放题型中的新定义 例 4 ( 2019 ?北 京 ) 对 某 一 个 函 数 给 出 如 下 定 义 : 若 存 在 实 数M
5、0, 对 于 任 意 - 2 - 的 函 数 值 y, 都 满 足 -M y M, 则 称 这 个 函 数 是 有 界 函 数 , 在 所 有 满 足 条 件 的 M 中 ,其 最 小 值 称 为 这 个 函 数 的 边 界 值 例 如 ,如 图 中 的 函 数 是 有 界 函 数 ,其 边 界 值 是 1 ( 1) 分 别 判 断 函 数y= 1 x ( x 0) 和y=x+1 ( -4 x 2) 是 不 是 有 界 函 数 ? 若 是 有 界 函 数 , 求 其 边 界 值 ; ( 2)若 函 数 y=-x+1 ( a x b, b a)的 边 界 值 是 2,且 这 个 函 数 的 最
6、大 值 也 是 2, 求 b 的 取 值 范 围 ; ( 3) 将 函 数y=x 2 ( -1 x m, m 0) 的 图 象 向 下 平 移m 个 单 位 , 得 到 的 函 数 的 边 界 值 是 t , 当 m在 什 么 范 围 时 , 满 足 3 4 t 1? 思路分析: ( 1) 根 据 有 界 函 数 的 定 义 和 函 数 的 边 界 值 的 定 义 进 行 答 题 ; ( 2) 根 据 函 数 的 增 减 性 、 边 界 值 确 定 a=-1 ; 然 后 由 “ 函 数 的 最 大 值 也 是 2” 来 求 b 的 取 值 范 围 ; ( 3) 需 要 分 类 讨 论 : m
7、1 和m 1 两 种 情 况 由 函 数 解 析 式 得 到 该 函 数 图 象 过 点 ( -1 , 1) 、 ( 0, 0) , 根 据 平 移 的 性 质 得 到 这 两 点 平 移 后 的 坐 标 分 别 是 ( -1 , 1-m ) 、 ( 0, -m) ; 最 后 由 函 数 边 界 值 的 定 义 列 出 不 等 式 3 4 1-m 1 或 -1 -m - 3 4 , 易 求 m取 值 范 围 : 0 m 1 4 或 3 4 m 1 考点五:阅读材料题型中的新定义 例 5 ( 2019 ?乐 山 )对 于 平 面 直 角 坐 标 系 中 任 意 两 点 P1( x1, y1)、
8、P2( x2,y2), 称 |x 1-x2|+|y1-y2| 为 P1、 P2两 点 的 直 角 距 离 ,记 作 : d( P1, P2)若P0( x0, y0) 是 一 定 点 , Q( x, y) 是 直 线 y=kx+b上 的 一 动 点 , 称d( P0, Q) 的 最 小 值 为P0 到 直 线 y=kx+b的 直 角 距 离 令 P0( 2, -3 ) , O 为 坐 标 原 点 则 : ( 1) d( O, P0) =_; ( 2) 若 P( a, -3 ) 到 直 线 y=x+1的 直 角 距 离 为 6, 则 a=_ 思路分析: ( 1) 根 据 题 中 所 给 出 的 两
9、 点 的 直 角 距 离 公 式 即 可 得 出 结 论 ; ( 2) 先 根 据 题 意 得 出 关 于 x 的 式 子 , 再 由 绝 对 值 的 几 何 意 义 即 可 得 出 结 论 四、中考真题演练 一、选择题 1( 2019 ?大 庆 ) 对 坐 标 平 面 内 不 同 两 点 A( x1, y1) 、 B( x2, y2) , 用 |AB| 表 示 A、 B 两 点 间 的 距 离( 即 线 段 AB 的 长 度 ),用 AB 表 示 A、 B 两 点 间 的 格 距 , 定 义 A、 B 两 点 间 的 格 距 为 AB =|x1-x2|+|y1-y2| ,则 |AB| 与 A
10、B 的 大 小 关 系 为 () A|AB| AB B |AB| AB C |AB| AB D |AB| AB 2( 2019 ?龙 岩 ) 定 义 符 号 mina , b 的 含 义 为 : 当 a b 时 mina , b=b ; 当 a b 时 mina , b=a 如 : min1 , -3=-3, min-4, -2=-4则min-x 2 +1, -x 的 最 大 值 是 () - 3 - A 51 2 B 51 2 C1 D 0 3( 2019 ?泰 州 )如 果 三 角 形 满 足 一 个 角 是 另 一 个 角 的 3 倍 ,那 么 我 们 称 这 个 三 角 形 为“ 智
11、慧 三 角 形 ”下 列 各 组 数 据 中 ,能 作 为 一 个 智 慧 三 角 形 三 边 长 的 一 组 是 () A1,2,3 B1, 1,2C1,1, 3 D1,2, 3 4( 2019 ?常 德 ) 阅 读 理 解 : 如 图 1, 在 平 面 内 选 一 定 点 O, 引 一 条 有 方 向 的 射 线 Ox,再 选 定 一 个 单 位 长 度 ,那 么 平 面 上 任 一 点 M的 位 置 可 由 MOx的 度 数 与 OM的 长 度 m确 定 ,有 序 数 对( , m)称 为 M点 的“ 极 坐 标 ”,这样 建 立 的 坐 标 系 称 为 “ 极 坐 标 系 ” 应 用
12、:在 图 2 的 极 坐 标 系 下 ,如 果 正 六 边 形 的 边 长 为 2,有 一 边 OA 在 射 线 Ox 上 , 则 正 六 边 形 的 顶 点 C 的 极 坐 标 应 记 为 () A( 60, 4)B( 45, 4)C( 60, 22) D( 50, 22) ( 2019 ?绍兴)若圆锥的轴截图为等边三角形,则称此圆锥为正圆锥,则正圆锥的侧面 展开图的圆心角是() A90B120C150D180 64( 2019 ? 乌鲁木齐)对平面上任意一点(a,b),定义f,g 两种变换: f(a,b)= (a,-b)如 f(1,2)=(1,-2); g(a,b)=(b, a)如 g(1
13、,2)=(2,1)据 此得 g(f(5,-9) =() A( 5,-9)B( -9,-5)C( 5,9)D( 9,5) 75( 2019 ?常德)连接一个几何图形上任意两点间的线段中,最长的线段称为这个几何 图形的直径, 根据此定义, 图 (扇形、菱形、直角梯形、 红十字图标) 中“ 直径 ” 最小的是 () ABCD 二、填空题 8( 2019 ?临 沂 )一 般 地 ,我 们 把 研 究 对 象 统 称 为 元 素 ,把 一 些 元 素 组 成 的 总 体 称 为 集 合 一 个 给 定 集 合 中 的 元 素 是 互 不 相 同 的 ,也 就 是 说 ,集 合 中 的 元 素 是 不 重
14、 复 出 现 的 如 一 组 数 1, 1, 2, 3, 4 就 可 以 构 成 一 个 集 合 ,记 为 A=1 , 2, 3, 4 类 比 实 数 有 加 法 运 算 ,集 合 也 可 以“ 相 加 ”定 义 :集 合 A 与 集 合 B 中 的 所 - 4 - 有 元 素 组 成 的 集 合 称 为 集 合 A 与 集 合 B 的 和 ,记 为 A+B若 A=-2 ,0,1,5,7 , B=-3 , 0, 1, 3, 5 , 则 A+B=_ 9( 2019 ?新 疆 ) 规 定 用 符 号 x表 示 一 个 实 数 的 整 数 部 分 ,例 如 3.69=3 13=1 , 按 此 规 定
15、 , 13-1 10 ( 2019 ?北 京 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ,对 于 点 P ( x,y),我 们 把 点 P ( -y+1 , x+1 ) 叫 做 点 P 伴 随 点 已 知 点A1的 伴 随 点 为A2, 点A2的 伴 随 点 为 A3, 点A3 的 伴 随 点 为 A4, , 这 样 依 次 得 到 点 A1, A2, A3, , An, 若 点 A1的 坐 标 为 ( 3, 1) , 则 点 A3的 坐 标 为 _, 点A2019的 坐 标 为 _; 若 点A1的 坐 标 为 ( a, b) , 对 于 任 意 的 正 整 数 n, 点 An均 在 x
16、轴 上 方 , 则 a, b 应 满 足 的 条 件 为 _ 11( 2019 ?荆 州 ) 我 们 知 道 , 无 限 循 环 小 数 都 可 以 转 化 为 分 数 例 如 : 将 0.3 转 化 为 分 数 时 , 可 设 0. 3=x, 则 x=0.3+ 1 10 x, 解 得 x= 1 3 , 即 0. 3= 1 3 仿 此 方 法 , 将 0.45 化 成 分 数 是 12 ( 2019 ?塘 沽 区 二 模 )如 图 1,把 一 张 标 准 纸 一 次 又 一 次 对 开 ,得 到“ 2 开 ” 纸 、“ 4 开 ”纸 、“ 8 开 ”纸 、“ 16 开 ”纸 、 ,已 知 标
17、准 纸 的 短 边 长 为 a( 说 明 : 标 准 纸“ 2 开 ”纸 、“ 4 开 ”纸 、“ 8 开 ”纸 、“ 16 开 ”纸 、 都 是 矩 形 ; 本 题 中 所 求 边 长 或 面 积 都 用 含 a 的 代 数 式 表 示 ) ( ) 如 图 2, 把 上 面 对 开 得 到 的 “ 16 开 ” 纸 按 如 下 步 骤 折 叠 : 第 一 步 : 将 矩 形 的 短 边 AB 与 长 边 AD 对 齐 折 叠 , 点 B 落 在 AD 上 的 点 B 处 , 铺 平 后 得 折 痕 AE; 第 二 步 : 将 长 边 AD 与 折 痕 AE 对 齐 折 叠 , 点 D 正 好
18、 与 点 E 重 合 , 铺 平 后 得 折 痕 AF 则 AD: AB 的 值 是; ( ) 求 “ 2 开 ” 纸 长 与 宽 的 比; ( ) 如 图 3, 由 8 个 大 小 相 等 的 小 正 方 形 构 成 “ L” 型 图 案 , 它 的 四 个 顶 点 E, F, G, H 分 别 在 “ 16 开 ” 纸 的 边 AB, BC, CD, DA 上 , 则 DG的 长 . 13 (2019?连云港)如图1,折线段AOB将面积为S的 O分成两个扇形,大扇形、小扇 形的面积分别为S1、S2,若 12 1 SS SS =0.618 ,则称分成的小扇形为“黄金扇形”生活中 的折扇(如图
19、2)大致是“黄金扇形”,则“黄金扇形”的圆心角约为 _ (精确到 0.1 ) 14 (2019 ?上海) 当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时, 我们称此三角形为“ 特 - 5 - 征三角形 ” ,其中称为 “ 特征角 ” 如果一个 “ 特征三角形 ” 的“ 特征角 ” 为 100 ,那么这个 “ 特 征三角形 ” 的最小内角的度数为 三、解答题 15 (2019?厦门) 当 m ,n 是正实数, 且满足 m+n=mn 时,就称点 P (m , m n )为“完美点”, 已知点 A(0,5)与点 M都在直线 y=-x+b 上,点 B,C是“完美点”,且点B在线段 AM上, 若 MC=3,AM
20、=42,求 MBC 的面积 16( 2019 ?白 银 ) 阅 读 理 解 : 我 们 把 ab cd 称 作 二 阶 行 列 式 , 规 定 他 的 运 算 法 则 为 ab cd =ad-bc 如 23 45 =25-3 4=-2 如 果 有 23 1 x x 0, 求 x 的 解 集 17 ( 2019 ?漳 州 )如 图 , ABC 中 , AB=AC, A=36 ,称 满 足 此 条 件 的 三 角 形 为 黄 金 等 腰 三 角 形 请 完 成 以 下 操 作 :( 画 图 不 要 求 使 用 圆 规 ,以 下 问 题 所 指 的 等 腰 三 角 形 个 数 均 不 包 括 ABC
21、) ( 1) 在 图 1 中 画 1 条 线 段 , 使 图 中 有 2 个 等 腰 三 角 形 , 并 直 接 写 出 这 2 个 等 腰 三 角 形 的 顶 角 度 数 分 别 是 _度 和 _ 度 ; ( 2) 在 图 2 中 画 2 条 线 段 , 使 图 中 有 4 个 等 腰 三 角 形 ; ( 3) 继 续 按 以 上 操 作 发 现 : 在 ABC 中 画n 条 线 段 , 则 图 中 有 _ 个 等 腰 三 角 形 , 其 中 有 _ 个 黄 金 等 腰 三 角 形 18( 2019 ?北京)对于平面直角坐标系xOy 中的点 P 和 C,给出如下的定义:若C 上 存在两个点A
22、、B,使得 APB=60 ,则称 P 为 C 的关联点已知点D( 1 2 , 1 2 ), E(0,-2), F(23,0) (1)当 O 的半径为1 时, 在点 D、E、F 中, O 的关联点是 过点 F 作直线 l 交 y 轴正半轴于点G,使 GFO=30 ,若直线 l 上的点 P(m,n)是 O 的关联点,求m 的取值范围; (2)若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r 的取值范围 - 6 - 19( 2019 ?山 西 ) 阅 读 以 下 材 料 , 并 按 要 求 完 成 相 应 的 任 务 几 何 中 , 平 行 四 边 形 、 矩 形 、 菱 形 、 正 方
23、形 和 等 腰 梯 形 都 是 特 殊 的 四 边 形 , 大 家 对 于 它 们 的 性 质 都 非 常 熟 悉 , 生 活 中 还 有 一 种 特 殊 的 四 边 形 - 筝 形 所 谓 筝 形 , 它 的 形 状 与 我 们 生 活 中 风 筝 的 骨 架 相 似 定 义 :两 组 邻 边 分 别 相 等 的 四 边 形 ,称 之 为 筝 形 ,如 图 ,四 边 形 ABCD 是 筝 形 , 其 中 AB=AD, CB=CD 判 定 : 两 组 邻 边 分 别 相 等 的 四 边 形 是 筝 形 有 一 条 对 角 线 垂 直 平 分 另 一 条 对 角 线 的 四 边 形 是 筝 形
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