2019年内蒙古包头市高考数学一模试卷(理科)含答案解析.pdf
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1、第 1 页(共 20 页) 2019 年内蒙古包头市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题(共12 小题,每小题5 分,满分60 分) 1已知集合A= 2, 1,0,1,2,3 ,B= x| x22x30 ,则 A B=( ) A 1,0 B 0,1,2C1,0,1D 2, 1,0 2设复数z 满足=i,则 z 的虚部为() A 2 B0 C 1 D1 3为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查, 事先已经了解到该地区小学、初中、 高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视 力情况差异不大在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是() A简单的随机抽样B按性别
2、分层抽样 C按学段分层抽样D系统抽样 4等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,已知 S4=a2+a3+9a1,a5=32,则 a1=() A B C2 D 2 5设函数f(x)=,若 f(a) 1,则 a 的取值范围是() A ( ,1)( 2,+)B (0, +)C (2,+)D ( , 0)( 2, +) 6某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为() AB32 CD 7已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和 B(2, 2) ,且圆心 C 在直线 l:xy+1=0 上, 则点 C 与坐标原点的距离为() A B5 C13 D25 8执行如图所示的程序框图,若输入的x,y,k 分别为
3、1,2,3,则输出的 N=() 第 2 页(共 20 页) A B C D 9已知 M 是球 O 的直径 CD 上的一点, CM=MD ,CD平面 , M 为垂足, 截球 O 所得截面的面积为 ,则球 O 的表面积为() A3B9 C D 10已知双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,点 P 在双曲线的 右支上,且 | PF1| =4| PF2| ,则此双曲线的离心率e 的最大值为() ABCD 11如图,已知AB 是圆 O 的直径, AB=2 ,点 C 在直径 AB 的延长线上, BC=1 ,点 P 是圆 O 上半圆上的动点,以PC 为边作等边三角形 PCD,且点 D 与圆心
4、分别在PC 的两侧,记 POB=x ,将 OPC 和 PCD 的面积之和表示成x 的函数 f(x) ,则 y=f( x)取最大值时x 的值为() A B C D 12定义在R 上的奇函数 f(x)满足 f( x4)=f(x)且在 0, 2 上为增函数,若方程f (x)=m(m0)在区间 8,8 上有四个不同的根x1 ,x 2 ,x 3 , x 4,则 x1 +x 2 +x 3 +x 4的值 为() A8 B 8 C0 D 4 二、填空题(共4 小题,每小题5 分,满分 20 分) 13设,是夹角为 60 的两个单位向量,若=+与 =2 3 垂直,则 = 14若 ,则目标函数z=x+2y 的取值
5、范围是 15已知( 1+ax) (1+x) 5 的展开式中x3的系数为5,则 a= 第 3 页(共 20 页) 16已知数列 an的前 n 项和为 Sn ,a 1=1,an0,anan+1=4Sn1,则 a10= 三、解答题(共5 小题,满分60 分) 17已知 a,b,c 分别为 ABC 的三个内角A,B,C 的对边, a=2 且( 2+b) (sinAsinB) =(cb)sinC (1)求角 A 的大小; (2)求 ABC 的面积的最大值 18随机观测生产某种们零件的某工厂20 名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如 下: 30,42,41, 36,44,48,37,25,45,4
6、3,31,49,34,33,43,38,32, 46,39, 36根据上述数据得到样本的频率分布表如下: 分组频数频率 25,302 0.10 (30,354 0.20 (35,405 0.25 (40,45m fm (45,50n fn (1)确定样本频率分布表中m,n,fm和 fn的值; (2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取3 人,至少有1 人的日加工零件数落在区间 (30,35的概率 19 如图,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD 中, ABC= DAB=90 , SA平面 ABCD , SA=AB=BC=2 , AD=1 , M
7、 为 SB 的中点,过点M、A、D 的截面 MADN 交 SC 于点 N (1)在图中作出截面MADN ,判断其形状并说明理由; (2)求直线CD 与平面 MADN 所成角的正弦值 20在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点分别是F1、 F2,过 F2的直线 x+y =0 交 C 于 A、B 两点,线段AB 的中点为(,) (1)求 C的方程; 第 4 页(共 20 页) (2)在 C 上是否存在点P,使 SPAB=S ?若存在,求出点P 的坐标;若不存在, 请说明理由 21已知函数f(x)=alnx+x 2 (a 为实常数) (1)若 a=2,求证:函数f(x)在(
8、1,+)上是增函数; (2)求函数f(x)在 1, e 上的最小值及相应的x 值; (3)若存在x 1,e ,使得 f(x)( a+2)x 成立,求实数a 的取值范围 请考生在22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做, 则按所做的第一题计分 选修 4-1: 几何证明选讲 22如图,直线AB 经过圆 O 上的点 C,并且 OA=OB ,CA=CB ,圆 O 交直线 OB 于点 E、 D,连接 EC,CD若 tanCED=, O 的半径为 3 (1)证明: BC 2=BD ?BE (2)求 OA 的长 选修 4-4:坐标系与参数方程 23已知曲线C: =2cos ,直线 l:(t 是参数)
9、(1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程; (2) 过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 45 的直线,交 l 于点 A, 求| PA| 的最大值与最小值 选修 4-5:不等式选讲 24已知函数f(x)=| x 1| 2| x+a| ,a0 (1)若 a=1 时,求不等式f(x) 1 的解集; (2)若 f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积小于6,求 a的取值范围 第 5 页(共 20 页) 2019 年内蒙古包头市高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共12 小题,每小题5 分,满分60 分) 1已知集合A= 2, 1,0,1,2,3 ,B= x| x22
10、x30 ,则 A B=( ) A 1,0 B 0,1,2C1,0,1D 2, 1,0 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 B 中不等式的解集确定出B,找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解:由 B 中不等式变形得: (x3) (x+1) 0, 解得: 1 x3,即 B= ( 1,3) , A= 2, 1,0,1,2,3 , A B= 0,1,2 , 故选: B 2设复数z 满足=i,则 z 的虚部为() A 2 B0 C 1 D1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 设 z=a+bi, a,bR,根据复数的运算法则,得到,解得即可 【解答】 解:设 z=a+bi,a,bR, =
11、i, 1z=i+zi, 1abi=i +aib, , a=0,b=1, 故选: C 3为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查, 事先已经了解到该地区小学、初中、 高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视 力情况差异不大在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是() A简单的随机抽样B按性别分层抽样 C按学段分层抽样D系统抽样 【考点】 分层抽样方法 【分析】 若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样 【解答】 解:我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样, 而事先已经了解到该地区小学、初中、 高中三个学段学生的视力情况
12、有较大差异,而男女生 视力情况差异不大 第 6 页(共 20 页) 了解某地区中小学生的视力情况,按学段分层抽样,这种方式具有代表性,比较合理 故选: C 4等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,已知 S4=a2 +a 3 +9a 1 ,a 5=32,则 a1 =( ) A B C2 D 2 【考点】 等比数列的前n 项和 【分析】 利用等比数列的通项公式即可得出 【解答】 解:设等比数列 a n 的公比为 q, S4=a2 +a 3 +9a 1 ,a 5=32, a 4=8a1即, =32, 则 a1=2=q 故选: C 5设函数f(x)=,若 f(a) 1,则 a 的取值范围是() A
13、( ,1)( 2,+)B (0, +)C (2,+)D ( , 0)( 2, +) 【考点】 分段函数的应用 【分析】 根据分段函数的表达式,分别对a 进行分类讨论即可得到结论 【解答】 解:若 a1,由 f(a) 1 得 l0g2a 1,即 a2,此时 a2, 若 a1,则由 f(a) 11 得 2 a 1,则 a0,即 a0,此时 a0 综上 a 2 或 a0, 即 a 的取值范围是(,0)( 2,+) , 故选: D 6某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为() A B32 C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知:该几何体是一个四棱锥,后底面与下面的侧面垂直
14、 【解答】 解:由三视图可知:该几何体是一个四棱锥,后底面与下面的侧面垂直 该几何体的体积V=424= 故选: D 第 7 页(共 20 页) 7已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和 B(2, 2) ,且圆心 C 在直线 l:xy+1=0 上, 则点 C 与坐标原点的距离为() A B5 C13 D25 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 设圆心为C( a,b) ,由圆心为C 的圆经过点A(1,1)和 B(2, 2) ,且圆心 C 在直线 l:xy+1=0 上,列出方程组,求出C 点坐标,由此能求出点C 与坐标原点的距离 【解答】 解:设圆心为C(a, b) , 则, 解得 a=3,b=
15、2, 点 C 与坐标原点的距离为d= 故选: A 8执行如图所示的程序框图,若输入的x,y,k 分别为 1,2,3,则输出的N=() A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序,依次写出每次循环得到的N,x,y,n 的值,当n=4 时不满足条件 3n,退出循环,输出N 的值为 【解答】 解:模拟执行程序,可得 x=1,y=2,k=3,n=1 满足条件3n, N=,x=2,y=,n=2 满足条件3n, N=,x=,y=,n=3 满足条件3n, N=,x=,y=,n=4 不满足条件3n,退出循环,输出N 的值为 故答案为: B 第 8 页(共 20 页) 9已知 M 是球 O 的直
16、径 CD 上的一点, CM=MD ,CD平面 , M 为垂足, 截球 O 所得截面的面积为 ,则球 O 的表面积为() A3B9C D 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 设球的半径为R,根据题意知由与球心距离为R 的平面截球所得的截面圆的面积 是 ,我们易求出截面圆的半径为1,根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形, 满足勾股定理,我们易求出该球的半径,进而求出球的表面积 【解答】 解:设球的半径为R, CM=MD ,平面与球心的距离为 R, 截球 O 所得截面的面积为 , d=R 时, r=1, 故由 R2=r 2 +d 2 得 R 2=12+( R) 2, R2= 球的表面积S=
17、4 R2= 故选: C 10已知双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,点 P 在双曲线的 右支上,且 | PF1| =4| PF2| ,则此双曲线的离心率e 的最大值为() A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由双曲线的定义可得 | PF 1| | PF2| =3| PF2| =2a,再根据点 P 在双曲线的右支上, | PF2| ca,从而求得此双曲线的离心率e的最大值 【解答】 解: P 在双曲线的右支上, 由双曲线的定义可得| PF1| | PF2| =2a, | PF1| =4| PF2| , 4| PF2| | PF2| =2a,即 | PF2| =
18、a, 根据点 P在双曲线的右支上,可得 | PF 2 | = aca,ac,即 e, 此双曲线的离心率e的最大值为, 故选: C 11如图,已知AB 是圆 O 的直径, AB=2 ,点 C 在直径 AB 的延长线上, BC=1 ,点 P 是圆 O 上半圆上的动点,以PC 为边作等边三角形PCD,且点 D 与圆心分别在PC 的两侧,记 第 9 页(共 20 页) POB=x ,将 OPC 和 PCD 的面积之和表示成x 的函数 f(x) ,则 y=f( x)取最大值时x 的值为() A B C D 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 由三角形面积公式可得SOPC=sinx,由余弦定理可得
19、PC2=12 +2 22?1?2?cosx=5 4cosx,从而求得SPCD= (54cosx) ,再利用三角恒等变换求最大值时的x 的值 【解答】 解: SOPC= OP?OC?sinx=sinx , PC 2=12 +2 2 2?1?2?cosx=54cosx, SPCD=PC2?sin=(54cosx) , 故 f(x)=sinx+(54cosx) , f(x)=sinxcosx+ =2sin(x )+, 故当 x=,即 x=时,有最大值; 故选 A 12定义在R 上的奇函数 f(x)满足 f( x4)=f(x)且在 0, 2 上为增函数,若方程f (x)=m(m0)在区间 8,8 上有
20、四个不同的根x1 ,x 2 ,x 3 , x 4,则 x1 +x 2 +x 3 +x 4的值 为() A8 B 8 C0 D 4 【考点】 根的存在性及根的个数判断;抽象函数及其应用 【分析】 由条件 “ f(x4)=f(x)” 得 f(x+8)=f(x) ,说明此函数是周期函数,又是奇 函数,且在 0,2 上为增函数, 由这些画出示意图,由图可解决问题 【解答】 解:此函数是周期函数,又是奇函数,且在 0,2上为增函数, 综合条件得函数的示意图,由图看出, 四个交点中两个交点的横坐标之和为2( 6) , 另两个交点的横坐标之和为22, 所以 x1+x2+x3+x4=8 故选 B 第 10 页
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