2019年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题含答案解析.pdf
《2019年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题含答案解析.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2019年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题含答案解析.pdf(12页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、1 2019 年福建省高中数学竞赛 暨 2019 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案 (考试时间: 2019年 5 月 22 日上午 9:0011:30,满分 160 分) 一、填空题(共10小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上) 1若函数( )3cos()sin() 63 f xxx(0)的最小正周期为,则( )f x在区间 0 2 ,上的最大值为。 【答案】2 3 【解答】 ()3 c o s ()s i n ()3 c o s ()s i n () 63662 fxxxxx 3cos()cos()4cos() 666 xxx,且( )f x的最
2、小正周期为。 2,( )4cos(2) 6 f xx。又0 2 x,时, 7 2 666 x, 2 66 x,即0x时,( )f x在区间0 2 ,上取最大值 2 3 。 2已知集合 2 320Ax xx, 1 3 Bxa x ,若AB,则实数 a的取值范 围为。 【答案】 1 () 2 , 【解答】12Axx。由 1 3 a x ,得 31 0 3 axa x 。 0a时,3Bx x。满足AB。 0a时,由 31 0 3 axa x ,得 1 ( 3) 0 3 x a x , 1 33Bxxx a 或。满足AB。 0a时,由 31 0 3 axa x ,得 1 (3) 0 3 x a x ,
3、 1 33Bxx a 。由满足AB, 得 1 31 a , 1 0 2 a。 2 综合得, 1 2 a。a的取值范围为 1 () 2 ,。 3函数 22 ( )ln2f xxxx零点的个数为。 【答案】1 【解答】()2l n2( 2 l nfxxxxxxx。 3 2 0xe时,( )0fx; 3 2 xe时,( )0fx。 ( )f x在区间 3 2 (0)e,上为减函数,在区间 3 2 ()e,上为增函数。 又 3 2 0xe时, 31 ln110 22 x, 2 ( )(ln1)20f xxx; 3 3 2 3 ()(1)20 2 f ee, 2 ( )220f ee。 函数( )f x
4、的零点个数为 1。 或:作图考察函数lnyx与 2 2 1y x 图像交点的个数。 4如图,在正方体 1111 ABCDABC D 中,二面角 1 BACD 的大小为。 【答案】120 【解答】设正方体棱长为1。作 1 BEAC 于E,连结DE。 由正方体的性质知, 11 ADCA BC。 1 D EA C ,BED为二面角 1 BACD 的平面角, 且 2 3 BEDE,2BD。 22 2 1 33 cos 2 22 2 33 BED。 二面角 1 BACD 的大小为120。 或:设AC、BD交于点O,由60BEO,得120BED。 C1 B1 D1 C A B D A1 E C1 B1 D
5、1 C A B D A1 (第 4 题) 3 5 在 空 间 四 边 形ABCD中 , 已 知2AB,3BC,4CD,5DA, 则 A CB D uu u r uu u r 。 【答案】7 【解答】以 AB uu u r , BC uu u r , CD uu u r 为基底向量。则 ADABBCCD uuu ruu u ruu u ruu u r 。 2 2 ()ADABBCCD uuu ruu u ruu u ruu u r , 即 2222 222ADABBCCDAB BCAB CDBC CD uuu ruu u ruuu ruu u ruu u r uuu ruu u r uuu ru
6、uu r uuu r 。 2 5491 62 (A BB CA B C DB CC D uuuruuuruuuruuuruuuruuur , 2A BB CA B C DB CC D uuuruuuruuuruuuruuuruuur 。 ()()A CB DA BB CB CC D uuuruuuruuuruuuruuuruuur 297AB BCAB CDBC CDBC BC uu u r uuu ruuu r uuu ruu u r uuu ruuu r uu u r 。 6已知直线l过椭圆C: 2 2 1 2 x y的左焦点F且交椭圆C于A、B两点。O为坐标原 点,若OAOB,则点O到直
7、线AB的距离为。 【答案】 6 3 【解答】(10 )F,。显然 x轴不符合要求。设直线AB方程为1xty。 由 2 2 1 1 2 xty x y ,得 22 (2)210tyty 的判别式大于0。设 11 ()A xy, 22 ()B xy,则 12 2 2 2 t yy t , 12 2 1 2 y y t 。 由OAOB,得 2 2 121212121212 22 (1)2 (1)(1)(1)()110 22 tt x xy ytytyy yty yt yyt tt 。 222 (1)220ttt, 2 1 2 t。 点O到直线AB的距离为 2 116 3 1 1 1 2 t 。 B
8、D C A 4 7已知zC,若关于 x 的方程 2 3 20 4 xzxi(i为虚数单位) 有实数根, 则复数 z的 模 z 的最小值为。 【答案】1 【解答】 设zabi( a,bR) , 0 xx 是方程 23 20 4 xzxi的一个实数根。 则 2 00 3 2()0 4 xabi xi。 2 00 0 3 20 4 210 xax bx L L L L L L 。 由得, 0 1 2 x b ,代入,得 2 113 20 424 a bb , 2 3410bab, 2 31 4 b a b 。 2 2 22222 2 312 51353 ()1 41 61 6888 b zabbb
9、bb ,当且仅当 5 5 b时等号 成立。 z 的最小值为 1。 ( 2 5 5 a, 5 5 b或 2 5 5 a, 5 5 b,即 2 55 () 55 zi ) 。 8将 16 本相同的书全部分给4 个班级,每个班级至少有一本书,且各班所得书的数量 互不相同,则不同的分配方法种数为。 (用数字作答) 【答案】216 【解答】将 16分解成 4 个互不相同的正整数的和有9 种不同的方式: 1612310,161249,161258,161267,161348, 161357,161456,162347,162356。 符合条件的不同分配方法有 4 4 9216A种。 5 9( )f x是定
10、义在R的函数,若(0)1008f, 且对任意xR, 满足(4)( )2(1)f xf xx, (12)( )6(5)f xf xx,则 (2016) 2016 f 。 【答案】504 【解答】对任意xR,(4)( )2(1)f xf xx, (12)( )(12)(8)(8)(4)(4)( )f xf xf xf xf xf xf xf x 2 (8) 12 (4)12(1)6306(5)xxxxx 又(12)( )6(5)f xf xx, (12)( )6(5)f xfxx。 (2016)(2016)(2004)(2004)(1992)(12)(0)(0)ffffffffL (20095)1
11、68 620096 19976 51008610081008 1008 2 L。 (2016)1008 504 20162 f 。 10当 x,y, z为正数时, 222 4xzyz xyz 的最大值为。 【答案】 17 2 【解答】 22 1616 2 1717 xzxz,当且仅当 4 17 xz时等号成立, 2211 2 1717 yzyz,当且仅当 1 17 yz时等号成立。 2222222 1 611 612 ()()22( 4) 1 71 61 71 7 17 xyzxzyzxzyzxzyz 。 222 41 7 2 x zy z xyz ,当且仅当 4 17 xz, 1 17 yz
12、,即4 117x y z: :时等号成 立。 222 4x zy z xyz 的最大值为 17 2 。 注 : 本 题利 用待 定系 数法 。 将 2 z拆 成两 项 2 z和 2 (1)z 。 由 22 2xzxz, 22 (1)2 1yzyz,以及 24 1 2 1 ,得 16 17 。由此得到本题的解法。 6 二、解答题(共5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题过程) 11已知数列 n a的前 n项和22 nn Sa( * nN) 。 (1)求 n a的通项公式 n a ; (2)设 11 (1) n n b an n , n T 是数列 n b的前 n项和,求正整数
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2019 全国 高中数学 联赛 福建 赛区 预赛 试题 答案 解析
链接地址:https://www.31doc.com/p-5539265.html