2019年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)含答案解析.pdf
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1、2019 年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科) 一、选择题(本大题包括12 小题,每小题5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确选项涂在答题卡上) 1复数 z1 ,z 2在复平面内对应的点关于直线 y=x 对称,且z1=3+2i,则 z1?z2=() A12+13i B13+12i C 13i D 13i 2设集合A= x| x 23x0 ,B=x| x| 2 ,则 A B= ( ) A x| 2x3B x| 2x0 Cx| 0x2D x| 2x3 3运行如图所示的程序框图,则输出的S 值为() ABCD 4若实数a,bR 且 ab,则下列不等式恒成
2、立的是( ) Aa2 b 2 B C2a 2 b Dlg(ab) 0 5几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为() A B C D 6已知变量X 服从正态分布 N(2,4),下列概率与P(X 0)相等的是() AP(X2)BP(X4) C P(0X4) D1 P(X4) 7已知 AB 为圆 O:(x1) 2 +y 2=1 的直径, 点 P为直线 xy+1=0 上任意一点, 则 的最小值为() A1 BC2 D 8 已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn , a 1 0 且 , 当 Sn取最大值时, n 的值为( ) A9 B10 C11 D12 9小明试图将一箱中的24 瓶啤酒全部取出,
3、每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤 酒,那么小明取出啤酒的方式共有种() A18 B27 C37 D212 10函数 与的图象关于直线x=a 对称,则a 可能是 () A B C D 11已知函数f(x)满足 f( x)+f(2x)=2,当 x( 0,1 时,f(x)=x 2,当 x( 1, 0 时, ,若定义在(1,3)上的函数g(x)=f (x) t(x+1)有三 个不同的零点,则实数t 的取值范围是() A BCD 12过双曲线x 2 =1 的右支上一点P,分别向圆 C1:( x+4) 2 +y 2=4 和圆 C 2:( x4) 2 +y 2=1 作切线,切点分别为 M, N,则
4、| PM| 2| PN|2 的最小值为() A10 B13 C16 D19 二、填空题(本大题包括4 小题,每小题5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线 上) . 13已知实数x,y 满足,则 y2x 的最小值为 _ 14已知向量=(1,), =(0,t2+1),则当时, | t | 的取 值范围是 _ 15 已知 a0,展开式的常数项为 15, 则 =_ 16已知数列 an中,对任意的 nN *若满足 a n +a n+1 +a n+2 +a n+3=s(s 为常数),则称该数列 为 4 阶等和数列,其中s 为 4 阶公和;若满足an?an+1?an+2=t(t 为常数),则称该
5、数列为3 阶等积数列,其中t 为 3 阶公积已知数列pn 为首项为1 的 4 阶等和数列,且满足 ; 数列 qn为公积为1 的 3 阶等积数列, 且 q1=q2=1, 设 Sn 为数列 pn?qn 的前 n 项和,则S2019=_ 三、解答题(本大题包括6 小题,共70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17( 12 分)( 2019?长春二模)已知函数 (1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间; (2)已知 ABC 的三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,其中 a=7,若锐角A 满足 ,且,求 ABC 的面积 18( 12 分)( 2019?长春二模)近年来我国电子商
6、务行业迎来篷布发展的新机遇,2019 年双 11 期间,某购物平台的销售业绩高达918 亿人民币与此同时,相关管理部门推出了 针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出200 次成功交易, 并对其评价进行 统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交 易为 80 次 (1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关? (2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5 次购物中,设对商品和服务全好评 的次数为随机变量 X: 求对商品和服务全好评的次数X 的分布列(概率用组合数算式表示); 求 X 的数学期望和方差 P(
7、K 2 k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (,其中 n=a+b+c+d) 19( 12 分)( 2019?长春二模)在四棱锥PABCD 中,底面 ABCD 是菱形, PD平面 ABCD ,点 D1为棱 PD 的中点,过 D1作与平面ABCD 平行的平面与棱PA,PB,PC 相交 于 A1,B1, C1, BAD=60 (1)证明: B1为 PB 的中点; (2)若 AB=2,且二面角A1AB C 的大小为 60 ,AC 、BD 的交点为 O,连接 B1O求
8、 三棱锥 B1ABO 外接球的体积 20( 12 分)( 2019?长春二模)椭圆的左右焦点分别为F1,F2, 且离心率为,点 P 为椭圆上一动点,F1PF2内切圆面积的最大值为 (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆的左顶点为A1,过右焦点F2的直线 l 与椭圆相交于A,B 两点,连结A1A, A1B 并延长交直线x=4 分别于 P,Q 两点,以 PQ 为直径的圆是否恒过定点?若是,请求出 定点坐标;若不是,请说明理由 21( 12 分)( 2019?长春二模)已知函数在点( 1,f(1)处的切线与 直线 y=4x+1 平行 (1)求实数a 的值及 f(x)的极值; (2)若对任意x1,x2,有
9、,求实数k 的取值范 围 请考生在22、 23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 选修 4-1: 几何证明选讲 22( 10 分)( 2019?长春二模)如图,已知圆O 外有一点P,作圆 O 的切线 PM,M 为切 点,过 PM 的中点 N,作割线 NAB ,交圆于A、 B 两点,连接PA 并延长,交圆O 于点 C, 连续 PB 交圆 O 于点 D,若 MC=BC (1)求证: APM ABP; (2)求证:四边形PMCD 是平行四边形 选修 4-4:坐标系与参数方程 23( 2019?长春二模)在直角坐标系xOy 中,曲线C1的参数方程为 (t 是参数), 以原点
10、O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 =8cos ( ) (1)求曲线C2的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线; (2)若曲线C1与曲线 C2交于 A,B 两点,求 | AB | 的最大值和最小值 选修 4-5:不等式选讲 24( 2019?长春二模)设函数f(x)=| x+2|+| xa| (a R) (1)若不等式f( x)+a0 恒成立,求实数a的取值范围; (2)若不等式恒成立,求实数a的取值范围 2019 年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题包括12 小题,每小题5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只
11、 有一项是符合题目要求的,请将正确选项涂在答题卡上) 1复数 z1 ,z 2在复平面内对应的点关于直线 y=x 对称,且z1=3+2i,则 z1?z2=() A12+13i B13+12i C 13i D 13i 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 求出复数的对称点的复数,利用复数的乘法运算法则求解即可 【解答】 解:复数z1在复平面内关于直线y=x 对称的点表示的复数z2=2+3i, 所以 z1?z2=(3+2i)( 2+3i)=13i 故选: D 【点评】 本题考查复数的乘法运算,以及复平面上的点与复数的关系,属于基础题 2设集合A= x| x 23x0 ,B=x| x| 2 ,则
12、 A B= ( ) A x| 2x3B x| 2x0 Cx| 0x2D x| 2x3 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 与 B 中不等式的解集分别确定出A 与 B,找出两集合的交集即可 【解答】 解:由题意可知A= x| 0x3 ,B=x| 2x2 , A B= x| 0x2 故选:C 【点评】 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键 3运行如图所示的程序框图,则输出的S 值为() A B C D 【考点】 循环结构 【分析】 模拟程序框图的运行过程,即可得出该程序运行后输出的是计算首项为,公比也 为的等比数列的前9 项和 【解答】 解:由算法流程图可知,输出结果是
13、首项为,公比也为的等比数列的前9 项和, 即为 故选: A 【点评】 本题考查了程序流程图中循环结构的认识与应用问题,是基础题目 4若实数a,bR 且 ab,则下列不等式恒成立的是() Aa2b2BC2a2bDlg(ab) 0 【考点】 不等关系与不等式 【分析】 举特值可排除ABD ,对于 C 可由指数函数的单调性得到 【解答】 解:选项A,当 a=1 且 b=2 时,显然满足ab 但不满足a 2 b 2,故错误; 选项 B,当 a= 1 且 b=2 时,显然满足ab 但=,故错误; 选项 C,由指数函数的单调性可知当ab 时, 2 a 2 b,故正确; 选项 D,当 a= 1 且 b=2
14、时,显然满足ab 但 lg(ab)=lg1=0 ,故错误 故选: C 【点评】 本题考查不等式的运算性质,特值法是解决问题的关键,属基础题 5几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为() ABCD 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知: 该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥,利用体积计算公式即可得 出 【解答】 解:由三视图可知:该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥, 所以其体积为 故选: C 【点评】 本题通过几何体的三视图来考查体积的求法,考查了推理能力与计算能力,属于基 础题 6已知变量X 服从正态分布 N(2,4),下列概率与P(X 0)相等的是() AP(X2)BP(X
15、4) C P(0X4) D1 P(X4) 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 由变量 X 服从正态分布N(2,4)可知, x=2 为其密度曲线的对称轴,即可求出答 案 【解答】 解:由变量X 服从正态分布N(2,4)可知, x=2 为其密度曲线的对称轴,因此P (X0)=P( X 4) 故选 B 【点评】 本题考查正态分布的概念,属于基础题, 要求学生对正态分布的对称性有充分的认 识 7已知 AB 为圆 O:(x1) 2+y2=1 的直径, 点 P为直线 xy+1=0 上任意一点, 则 的最小值为() A1 B C2 D 【考点】 平面向量数量积的运算;直线与圆的位置关系
16、 【分析】 运用向量加减运算和数量积的性质,可得 =( +)?(+)=| 2 r2,即为 d2r2,运用点到直线的距离公式,可得d 的最小值,进而得到结论 【解答】 解:由=(+) ?(+) = 2+ ?(+)+?=| 2r2, 即为 d2r2,其中 d 为圆外点到圆心的距离, r 为半径, 因此当 d 取最小值时,的取值最小, 可知 d 的最小值为=, 故的最小值为21=1 故选: A 【点评】 本题考查直线与圆的位置关系以及向量的数量积的运算,注意运用向量的平方即为 模的平方,以及点到直线的距离公式,属于中档题 8 已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn, a1 0 且 , 当 Sn取最
17、大值时, n 的值为() A9 B10 C11 D12 【考点】 等差数列的性质 【分析】 由题意,不妨设a6=9t,a5=11t,则公差d=2t,其中 t0,因此 a10=t,a11=t, 即可得出 【解答】 解:由题意,不妨设a6=9t,a5=11t,则公差d=2t,其中 t 0, 因此 a10=t,a11= t,即当 n=10 时, Sn 取得最大值 故选: B 【点评】 本题考查了等差数列的性质、单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 9小明试图将一箱中的24 瓶啤酒全部取出, 每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤 酒,那么小明取出啤酒的方式共有种() A18 B27 C37
18、 D212 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 由题可知,取出酒瓶的方式有3 类,根据分类计数原理可得 【解答】 解:由题可知,取出酒瓶的方式有3 类,第一类:取6 次,每次取出4 瓶,只有1 种方式; 第二类:取8 次,每次取出3 瓶,只有1 种方式; 第三类:取7 次, 3 次 4 瓶和 4 次 3 瓶,取法为,为 35 种; 共计 37 种取法 故选: C 【点评】 本题是一道排列组合问题,考查学生处理问题的方法,对学生的逻辑思维和抽象能 力提出很高要求,属于中档题 10函数与的图象关于直线x=a 对称,则a 可能是 () ABCD 【考点】 余弦函数的对称性 【分析】 根据函
19、数关于 x=a的对称函数为 ,利 用诱导公式将其化为余弦表达式,根据它与一样,求得a 的值 【解答】 解:由题意,设两个函数关于x=a 对称,则函数关于 x=a 的对 称函数为, 利用诱导公式将其化为余弦表达式为 , 令,则 故选: A 【点评】 本题主要考查三角函数图象,学生对三角函数图象的对称,诱导公式的运用是解决 本题的关键,属于基础题 11已知函数f(x)满足 f( x)+f(2x)=2,当 x( 0,1 时,f(x)=x 2,当 x( 1, 0 时,若定义在(1,3)上的函数g(x)=f (x) t(x+1)有三 个不同的零点,则实数t 的取值范围是() A BCD 【考点】 根的存
20、在性及根的个数判断 【分析】 由 g(x)=f(x) t(x+1)=0 得 f( x)=t(x+1),分别求出函数f(x)的解析 式以及两个函数的图象,利用数形结合进行求解即可 【解答】 解:由题可知函数在x( 1,1 上的解析式为, 又由 f(x)+f(2x)=2 可知 f(x)的图象关于(1, 1)点对称, 可将函数f(x)在 x( 1, 3)上的大致图象呈现如图: 根据 y=t( x+1)的几何意义,x 轴位置和图中直线位置为y=t(x+1)表示直线的临界位置, 其中 x 1,2)时, f(x)=( x2) 2+2,联立 ,并令 =0,可求得 因此直线的斜率t 的取值范围是 故选: D
21、【点评】 本题是最近热点的函数图象辨析问题,是一道较为复杂的难题作出函数的图象, 利用数形结合是解决本题的关键 12过双曲线x 2 =1 的右支上一点P,分别向圆 C1:( x+4) 2 +y 2=4 和圆 C 2:( x4) 2 +y 2=1 作切线,切点分别为 M, N,则 | PM| 2| PN|2 的最小值为() A10 B13 C16 D19 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得两圆的圆心和半径,设双曲线x 2 =1 的左右焦点为F1( 4,0),F2( 4, 0),连接PF1, PF2,F1M,F2N,运用勾股定理和双曲线的定义,结合三点共线时,距离 之和取得最小值,计算即可
22、得到所求值 【解答】 解:圆 C1:( x+4) 2 +y 2=4 的圆心为( 4,0),半径为 r1=2; 圆 C2:( x4) 2 +y 2=1 的圆心为( 4,0),半径为 r2=1, 设双曲线x 2 =1 的左右焦点为F1( 4,0), F2(4,0), 连接 PF1,PF2, F1M,F2 N,可得 | PM| 2| PN|2=( | PF 1| 2r 1 2)( | PF 2| 2r 2 2) =(| PF1| 2 4)( | PF2|21) =| PF1| 2| PF 2| 23=(| PF 1| | PF2| )( | PF1|+| PF2| ) 3 =2a(| PF1|+|
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