2019年山西省高考数学一模试卷(理科)含答案解析.pdf
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1、2017 年山西省高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个 选项中,有且只有一项符合题目要求. 1设复数 z 满足 iz=1+2i,则 z 的共轭复数的虚部为() Ai Bi C1 D1 2已知实数集 R,集合,则 M(?RN) =() A 1,8)B(0,5C 1,5)D(0,8) 3已知函数 ,a为实数,若 f(2x)f(x),则 x 的 取值范围是() A(, 1B(, 1 C 1,+)D 1,+) 4若双曲线的中心在坐标原点O,过 C 的右顶点和 右焦点分别作垂直于x 轴的直线,交 C 的渐近线于 A,B 和 M,N,若
2、OAB 与OMN 的面积之比为 1:4,则 C 的渐近线方程为() Ay=x BCy=2x Dy=3x 5甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“ 三局两胜 ” 制,甲在每局比赛 中获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的情况下,比 赛进行了三局的概率为() ABCD 6 已知 P是圆 x 2+y2=R2 上的一个动点,过点 P 作曲线 C 的两条互相垂直的切线, 切点分别为 M,N,MN 的中点为 E若曲线 C: +=1(ab0),且 R2=a 2+b2,则点 E的轨迹方程为 若曲线 ,且 R2=a2b2,则点 E 的轨迹方程是( ) A B C D 7(+1) 7 的展开
3、式中 x3的系数为() A1 B1 C7 D7 8已知椭圆 与直线 y=x+3 只有一个公共点,且椭圆的 离心率为,则椭圆 C 的方程为() A B C D 9已知函数的部分图象如图所 示,将函数 y=f(x)的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象, 则函数 y=g(x)在区间上的最大值为() A3 B C D 10如图,在 ABC 中,AB=BC=,ABC=90 ,点 D 为 AC 的中点,将 ABD 沿 BD 折起到 PBD 的位置,使 PC=PD,连接 PC,得到三棱锥 PBCD, 若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是() AB3C5D7 11运行如图所示的程序
4、框图,输出的数称为“ 水仙花数 ” (算术符号 MOD 表 示取余数,如 11MOD2=1)下列数中的 “ 水仙花数 ” 是() “ 水仙花数 ” 是三位数; 152是“ 水仙花数 ” ; 407是“ 水仙花数 ” A0 B1 C2 D3 12已知函数 (其中 k 为正 整数, aR,a0),则 f(x)的零点个数为() A2k2 B2k C2k1 D与 a 有关 二、填空题:本大题共4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13命题 “ ? xN,x 21” 的否定为 14在ABC 中,已知 AB=2,AC=1,A=60 ,D 为 AB 的中点,则向量在 上的投影为 15在 ABC 中,内角
5、 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 ,则 AC 边上的高的最大值为 16某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 三、解答题:本大题共5 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验 算过程 . 17已知数列 an 满足,nN * ,等差数列 bn 满足 a1=2b1, a2=b2 (1)求 bn; (2)记 cn=a2n1b2n1+a2nb2n,求 cn; (3)求数列 anbn 前 2n 项的和 S2n 18某种多面体玩具共有12 个面,在其十二个面上分别标有数字 1,2,3, 12若该玩具质地均匀, 则抛掷该玩具后, 任何一个数字所在的面朝上的概率均 相等抛掷该玩
6、具一次,记事件A=“ 向上的面标记的数字是完全平方数(记能写 出整数的平方形式的数,如 9=32,9是完全平方数)” (1)甲、乙二人利用该玩具进行游戏,并规定: 甲抛掷一次, 若事件 A 发生,则向上一面的点数的6 倍为甲的得分; 若事件 A 不发生,则甲得 0 分;乙抛掷一次,将向上的一面对应的数字作为乙的得分; () 甲、乙二人各抛掷该玩具一次,求二人得分的期望; ()甲、乙二人各抛掷该玩具一次,求甲的得分不低于乙的概率; (2)抛掷该玩具一次,记事件B=“ 向上一面的点数不超过k(1k12)” ,若 事件 A 与 B 相互独立,试求出所有的整数 k 19在三棱柱 ABCA1B1C1中,
7、AC=BC=2,ACB=120 ,D 为 A1B1的中点 (1)证明: A1C平面 BC1D; (2)若 A1A=A1C,点 A1在平面 ABC 的射影在 AC 上,且 BC 与平面 BC1D 所 成角的正弦值为,求三棱柱 ABCA1B1C1的高 20已知抛物线 C:y 2=4x,直线 l:x=1 (1)若曲线 C 上存在一点 Q,它到 l 的距离与到坐标原点的距离相等,求Q 的 坐标; (2)过直线 l 上任一点 P 作抛物线的两条切线,切点记为A,B,求证:直线 AB 过定点 21已知函数 (1)若函数为减函数,求 a的取值范围; (2)若 f(x)0 恒成立,证明: a1b 请考生在第
8、22、23两题中任选一题作答,如果两题都做,则按照所做的第一题 给分;作答时,请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑 选修 4-4:参数方程 与极坐标系 22已知曲线 C1的参数方程为(ab0, 为参数),以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为 =r (r 0) (1)求曲线 C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程,并讨论两曲线公共点的 个数; (2)若 bra,求由两曲线 C1与 C2交点围成的四边形面积的最大值 选修 4-5:不等式选讲 23已知关于 x 的不等式 x| xm| 2m (1)当 m=0 时,求该不等式的解集; (2)当 x 2,
9、3 时,该不等式恒成立,求m 的取值范围 2017 年山西省高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题,每小题5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个 选项中,有且只有一项符合题目要求. 1设复数 z 满足 iz=1+2i,则 z 的共轭复数的虚部为() Ai Bi C1 D1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出 【解答】 解:iz=1+2i, iiz=i(1+2i),z=i+2 则 z 的共轭复数=2+i 的虚部为 1 故选: D 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义,考
10、查了推 理能力与计算能力,属于基础题 2已知实数集 R,集合,则 M(?RN) =() A 1,8)B(0,5C 1,5)D(0,8) 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 集合 M 与 N 中不等式变形后,分别求出解集确定出M 与 N,求出 M 与 N 补集的并集即可 【解答】 解:M= x| 0x27 ,N= x| x1 或 x5 ,?RN= x| 1x5 , M(?RN)=x| 0x5 , 故选 B 【点评】此题考查了交集及其运算,交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的 定义是解本题的关键 3已知函数 ,a为实数,若 f(2x)f(x),则 x 的 取值范围是() A(, 1B(,
11、 1 C 1,+)D 1,+) 【考点】 分段函数的应用 【分析】 根据分段函数的单调性即可判断 【解答】 解:由题意可得函数f(x)在 R 上为单调递增函数, f(2x)f(x), 2xx, 解得 x1, 故选: A 【点评】 本题考查函数的单调性的运用:解不等式,属于基础题 4若双曲线的中心在坐标原点O,过 C 的右顶点和 右焦点分别作垂直于x 轴的直线,交 C 的渐近线于 A,B 和 M,N,若 OAB 与OMN 的面积之比为 1:4,则 C 的渐近线方程为() Ay=x BCy=2x Dy=3x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由三角形的面积比等于相似比的平方,可得=,即可求出渐
12、近线方 程 【解答】 解:由三角形的面积比等于相似比的平方, 则=, =4, =, C 的渐近线方程为 y= x, 故选: B 【点评】 本题考查了双曲线的简单性质,属于基础题 5甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“ 三局两胜 ” 制,甲在每局比赛 中获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的情况下,比 赛进行了三局的概率为() A B C D 【考点】 条件概率与独立事件 【分析】 求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3 局的概率,即可得出结论 【解答】 解:由题意,甲获得冠军的概率为+ +=, 其中比赛进行了 3 局的概率为+=, 所求概率为=, 故选 B 【点评】 本题考
13、查条件概率,考查相互独立事件概率公式,属于中档题 6 已知 P是圆 x 2+y2=R2 上的一个动点,过点 P 作曲线 C 的两条互相垂直的切线, 切点分别为 M,N,MN 的中点为 E若曲线 C: +=1(ab0),且 R 2=a2 +b 2,则点 E 的轨迹方程为 若曲线 ,且 R 2=a2b2,则点 E 的轨迹方程是( ) A B C D 【考点】 类比推理 【分析】 由椭圆与双曲线的定义中的运算互为逆运算,即可得出结论 【解答】解:由于椭圆与双曲线的定义中的运算互为逆运算,即加法与减法互为 逆运算, 猜想双曲线对应的点E 的轨迹方程为, 故选 A 【点评】 本题考查类比推理,考查学生分
14、析解决问题的能力,正确类比是关键 7(+1) 7 的展开式中 x 3 的系数为() A1 B1 C7 D7 【考点】 二项式系数的性质 【分析】化(+1) 7= 1+ ( ) 7,利用展开式通项公式 Tr+1,求出( ) r 展开式中 x 3 项的系数即可 【解答】 解:(+1)7= 1+() 7 的展开式通项公式为: Tr+1=() r, 对于() r,通项公式为: Tm+1=(2) m , 令=3,得 r=6+3m; 根据 0mr7,r、m 为自然数,求得 m=0,r=6; (+1) 7 展开式中 x3项的系数为 (2) 0 =7 故选: D 【点评】 本题考查了二项式展开式中通项公式的灵
15、活应用问题,是基础题 8已知椭圆 与直线 y=x+3 只有一个公共点,且椭圆的 离心率为,则椭圆 C 的方程为() A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 将直线方程代入椭圆方程,由=0,求得 a 2 +b 2=9,由题意的离心率公 式,求得=,即可求得 a 和 b 的值,即可求得椭圆的方程 【解答】解:由题意可知:,整理得:(a 2+b2)x2+6a2 x+9a 2a2b2=0, 则=0,则 36a 24(a2 +b 2)(9a2 a 2b2)=0,整理得: a2 +b 2=9, 由题意的离心率 e=,则=, 由,解得: a 2=5,b2=4, 椭圆 C 的方程:, 故选 B 【
16、点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,直线与椭圆的位置关系, 考 查计算能力,属于中档题 9已知函数的部分图象如图所 示,将函数 y=f(x)的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象, 则函数 y=g(x)在区间上的最大值为() A3 BCD 【考点】 函数 y=Asin(x + )的图象变换 【分析】 利用函数的图象求出T,利用周期公式求出 ,利用函数的图象经过的 特殊点,集合 的范围,求出 得到函数的解析式,进而可求g(x)解析式, 利用正弦函数的性质即可得解 【解答】 解:由图象可知 T=4 ,从而 =, 将(,0),( 0,)在函数图象上,| | , 可得: =,A=3,
17、f(x)=3sin(), 可得: g(x)=3sin(x+) =3cos 由 x,可得:, , 可得: 3cos 3, 故选: C 【点评】 本题考查由 y=Asin(x + )的部分图象确定其解析式,函数y=Asin (x + )的图象变换,考查计算能力,属于基础题 10如图,在 ABC 中,AB=BC=,ABC=90 ,点 D 为 AC 的中点,将 ABD 沿 BD 折起到 PBD 的位置,使 PC=PD,连接 PC,得到三棱锥 PBCD, 若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是() AB3C5D7 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正
18、三角形,且 BD平面 PCD, 求出三棱锥 PBDC 外接球半径 R=,由此能示出该球的表面积 【解答】 解:由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形, 且 BD平面 PCD, 设三棱锥 PBDC 外接球的球心为 O, PCD外接圆的圆心为O1,则 OO1面 PCD, 四边形 OO1DB 为直角梯形, 由 BD=,O1D=1,及 OB=OD,得 OB=, 外接球半径为 R=, 该球的表面积 S=4 R 2=4 =7 故选: D 【点评】本题考查球的表面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意三棱 锥的外接球的性质的合理运用 11运行如图所示的程序框图,输出的数称为“ 水仙花数 ” (算
19、术符号 MOD 表 示取余数,如 11MOD2=1)下列数中的 “ 水仙花数 ” 是() “ 水仙花数 ” 是三位数; 152是“ 水仙花数 ” ; 407是“ 水仙花数 ” A0 B1 C2 D3 【考点】 程序框图 【分析】根据本程序框图的含义是:a表示一个数的个位数, b 表示其十位数, c 表示其百位数; 验证题目中的命题是否正确即可 【解答】解:本程序框图的含义是:a表示一个数的个位数, b 表示其十位数, c 表示其百位数; 对于, “ 水仙花数 ” 是三位数, 即 100m=i999,正确; 对于, 152是“ 水仙花数 ” , 由 1 3+53+23152,不正确; 对于, 4
20、07是“ 水仙花数 ” , 即 407=4 3+03+73,正确; 综上,正确的命题有2 个 故选: C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题的关键是分析出程序的含义,是 基础题 12已知函数(其中 k 为正 整数, aR,a0),则 f(x)的零点个数为() A2k2 B2k C2k1 D与 a 有关 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 函数 f(x)零点的个数等于方程xcosxsinx=sinx,x( k ,0) (0,k )解的个数; 设 y1=xcosxsinx,y2=sinx,利用导数研究两个函数的单调性与交点个数,即 可求出答案 【解答】 解:函数 f(x)=xcosxsin
21、xsinx,x( k ,0)( 0,k )的 零点的个数 等于方程 xcosxsinx=sinx,x( k ,0)( 0,k )解的个数; 设 y1=xcosxsinx,y2= sinx, y 1= xsinx,y1=xcosxsinx 在,(5 ,4 ),(3 ,2 ),( ,0),(0, ),(2 ,3 ), (4,5),上单调递减; 在,(4 ,3 ),( 2 , ),( ,2 ),(3 ,4 ),上单调递 增; 如图中实线所示; y2=a,由 y1=xcosxsinx 的图象可得: a0 时,y2=sinx 的图象,如图中虚线所示; 则函数 f(x)共有2k1个零点; 由函数图象的对称
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