等差数列知识点基础练习题.pdf
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1、等差数列知识点 1. 等差数列的定义:daa nn1 (d为常数)(2n) ; 2等差数列通项公式: * 11 (1)() n aanddnad nN,首项 : 1 a,公差 :d ,末项 : n a 推广:dmnaa mn )(从而 mn aa d mn ; 3等差中项 (1)如果a,A,b成等差数列,那么 A叫做a与b的等差中项即: 2 ba A或 baA2 (2)等差中项:数列 n a是等差数列 )2(2 11- naaa nnn21 2 nnn aaa 4等差数列的前n 项和公式: 1 () 2 n n n aa S 1 (1) 2 n n nad 2 1 1 () 22 d nad
2、n 2 AnBn (其中 A、B是常数,所以当d0时, Sn是关于 n的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数21n时, 1n a是项数为2n+1 的等差数列的中间项 121 211 21 21 2 n nn naa Sna(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数 乘以中间项) 5等差数列的判定方法 (1) 定义法: 若daa nn1 或daa nn 1 ( 常数 Nn) n a是等差数列 (2)等差中项:数列 n a是等差数列 )2(2 11- naaa nnn21 2 nnn aaa 数列 n a是等差数列bknan(其中bk,是常数)。 (4)数列 n a是等差数列 2 n SAnBn
3、, (其中 A 、B是常数)。 6等差数列的证明方法 定义法:若daa nn1 或daa nn 1 ( 常数 Nn) n a是等差数列 7. 提醒 : (1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5 个元素: 1 a、d、n、 n a及 n S, 其中 1 a、d称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个,便可求出其余2 个,即 知 3 求 2。 (2)设项技巧: 一般可设通项 1 (1) n aand 奇数个数成等差,可设为,2 , ,2ad ad a ad ad(公差为d) ; 偶数个数成等差,可设为,3 ,3ad ad ad ad, ( 注意;公差为2d) 8 等差数列的性质:
4、 (1)当公差0d时, 等差数列的通项公式 11 (1) n aanddnad是关于n的一次函数,且斜 率为公差 d; 前n和 2 11 (1) () 222 n n ndd Snadnan是关于n的二次函数且常数项 为 0. (2)若公差 0d ,则为递增等差数列,若公差 0d ,则为递减等差数列,若公差 0d,则为常数列。 (3)当m npq时, 则有 qpnm aaaa,特别地,当2mnp时,则有 2 mnp aaa. 注: 12132nnn aaaaaa, (4)若 n a、 n b为等差数列,则 12nnn abab,都为等差数列 (5) 若 n a是等差数列,则 232 , nnn
5、nn S SSSS,也成等差数列 (6)数列 n a为等差数列 ,每隔 k(k * N)项取出一项 ( 23 , mm kmkmk aaaa)仍为等差数 列 (7)设数列 n a是等差数列, d 为公差, 奇 S是奇数项的和, 偶 S是偶数项项的和, n S是 前 n 项的和 1. 当项数为偶数 n2 时, 121 13521 2 n nn n aa Saaaana 奇 22 24621 2 n nn n aa Saaaana 偶 11nnnn SSnanan aa 偶奇 11 nn nn Snaa Snaa 奇 偶 2、当项数为奇数12n时,则 21 (21)(1) 1n SSSnaSna
6、Sn SSaSnaSn n+1n+1奇偶奇 奇 n+1n+1奇偶偶 偶 (其中an+1是项数为 2n+1 的等差数列的中间项) (8) 、 n b的前n和分别为 n A、 n B,且( ) n n A f n B , 则 21 21 (21) (21) (21) nnn nnn anaA fn bnbB . (9) 等差数列 n a的前 n 项和 m Sn, 前 m 项和 n Sm, 则前 m+n 项和 m n Smn (10) 求 n S的最值 法一:因等差数列前n项是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注 意数列的特殊性 * nN。 法二: ( 1) “首正”的递减等差数列中
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