13.4最短路径问题教案.pdf
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1、第十三章轴对称 13.4 课题学习最短路径问题 【教材分析】 教 学 目 标 知识 技能 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用. 过程 方法 在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化 思想 . 情感 态度 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性. 重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题 难点 如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 【教学流程】 环节导 学 问 题师 生 活 动二次备课 情 境 引 入 如图所示,从A地到B地有三条路可供选择, 走哪条
2、路最近?你的理由是什么? 前面我们研究过一些关于“两点的所有连 线中,线段最短”、 “连接直线外一点与直线上 各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题, 我们称它们为最短路径问题现实生活中经常 涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学 知识探究数学史中著名的“将军饮马问题” 教师出示问题,引导学生思 考、回答,引入课题。 自 主 探 究 探究点一 探索最短路径问题 活动一: 相传,古希腊亚历山大里亚城里 有一位久负盛名的学者,名叫海伦有一天, 一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其 解的问题: 从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然后到B 地到河边什么地方饮马可 使他所走的路线全程最
3、短? 精通数学、 物理学的海伦稍加思索,利用 教师出示问题情境,激发学生 学习兴趣和探究欲望. 合 作 交 流 自 主 探 究 合 作 交 流 轴对称的知识回答了这个问题这个问题后 来被称为 “ 将军饮马问题” 你能将这个问题抽象为数学问题吗? 追问 1这是一个实际问题,你打算首先 做什么? 答: 将 A, B 两地抽象为两个点, 将河 l 抽 象为一条直线 追问2你能用自己的语言说明这个问 题的意思,并把它抽象为数学问题吗? 答: (1)从 A 地出发,到河边l 饮马,然 后到B 地;(2)在河边饮马的地点有无穷多 处,把这些地点与A,B 连接起来的两条线段 的长度之和,就是从A 地到饮马地
4、,再回到 B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出 使两条线段长度之和为最短的直线l 上的 点设C 为直线上的一个动点,上面的问题 就转化为: 当点 C 在 l 的什么位置时, AC 与 CB 的和最小 (如图 ) 问题 2: 如图, 点 A,B 在直线 l 的同侧, 点 C 是直线上的一个动点,当点 C 在 l 的什 么位置时, AC 与 CB 的和最小? 追问 3:对于问题 2,如何将点 B“ 移” 到 l 的另一侧B处,满足直线l 上的任意一点C, 都保持 CB 与 CB 的长度相等? 追问 4:你能利用轴对称的有关知识,找 到上问中符合条件的点B吗? 展示点评: 作法: (1)作点
5、 B 关于直线 l 的对称点 B; (2)连接 AB,与直线l 交于点 C. 则点 C 即为所求 追问 5、你能用所学的知识证明AC BC 最短吗? 让 学生将实际问题抽象为数 学问题, 即将最短路径问题抽 象为“线段和最小问题” 学生尝试回答, 并互相补 充, 最后达成共识 : 教师引导学生, 联想轴对 称知识解决,尝试作法,师生 共同矫正, 教师引导学生通过合作 交流完成证明; 证明:如图,在直线l 上任取一点C(与 点 C 不重合 ),连接 AC,BC ,B C.由轴对称 的性质知,BC B C,BC BC. AC BC AC BC AB , ACBC AC B C. 在 AB C 中,
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