2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标版)答案与解析.pdf
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1、2010 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标版) 参考答案与试题解析 一、选择题(共12 小题,每小题5 分,满分60 分) 1 ( 5 分)已知集合A=x R|x| 2 ,则 A B= () A (0,2)B0,2C0,2D0 ,1,2 【考点】 交集及其运算 【专题】 计算题 【分析】 先化简集合A 和 B,注意集合B 中的元素是整数,再根据两个集合的交集的意义 求解 【解答】 解: A=x R|x| 2,=x R|2 x 2, 故 A B=0 ,1,2 应选 D 【点评】 本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法,涉及绝对值不等式和幂函数 等知识,属于基础题 2 ( 5 分)已
2、知复数,是 z 的共轭复数,则=() ABC1 D2 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 因为,所以先求 |z|再求的值 【解答】 解:由可得 另解: 故选 A 【点评】 命题意图: 本题主要考查复数的运算,涉及复数的共轭复数知识,可以利用复数的 一些运算性质可以简化运算 3 ( 5 分)曲线y=在点( 1, 1)处的切线方程为() Ay=2x+1 By=2x 1 Cy=2x 3 Dy=2x2 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】 常规题型;计算题 【分析】 欲求在点( 1,1)处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求 出在 x=1 处的导函数值,再结合导数的
3、几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决 【解答】 解: y=, y =, 所以 k=y |x=1=2,得切线的斜率为 2,所以 k=2; 所以曲线y=f(x)在点( 1, 1)处的切线方程为: y+1=2 (x+1) ,即 y=2x+1 故选 A 【点评】 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程 等基础知识,考查运算求解能力属于基础题 4 (5 分)如图,质点P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0( ,) , 角速度为1,那么点P 到 x 轴距离 d 关于时间t 的函数图象大致为() ABC D 【考点】 函数的图象 【分析】 本题的求解可以利
4、用排除法,根据某具体时刻点P 的位置到到x 轴距离来确定答 案 【解答】 解:通过分析可知当t=0 时,点 P到 x 轴距离 d 为,于是可以排除答案A,D, 再根据当时,可知点P在 x 轴上此时点P到 x 轴距离 d 为 0,排除答案B, 故应选 C 【点评】 本题主要考查了函数的图象,以及排除法的应用和数形结合的思想,属于基础题 5 ( 5 分)已知命题p1:函数 y=2 x 2x 在 R 为增函数, p2:函数 y=2 x+2x 在 R 为减函数, 则在命题q1:p1p2,q2:p1 p2,q3: ( p1)p2和 q4:p1 ( p2)中,真命题是() Aq1,q3Bq2,q3Cq1,
5、q4Dq2,q4 【考点】 复合命题的真假;指数函数与对数函数的关系 【专题】 简易逻辑 【分析】 先判断命题p1是真命题, P2是假命题, 故 p1p2为真命题,( p2)为真命题, p1 ( p2)为真命题 【解答】 解:易知p1是真命题,而对p2:y=2xln2 ln2=ln2 () , 当 x 0,+)时,又 ln20,所以 y0,函数单调递增; 同理得当x ( ,0)时,函数单调递减,故p2是假命题 由此可知, q1真, q2假, q3假, q4真 故选 C 【点评】 只有 p1与 P2都是真命题时, p1 p2才是真命题 只要 p1与 p2中至少有一个真命题, p1p2就是真命题
6、6 (5 分)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000 粒,对于没有发芽的种子,每 粒需再补种2 粒,补种的种子数记为X,则 X 的数学期望为() A100 B200 C300 D400 【考点】 离散型随机变量的期望与方差;二项分布与n 次独立重复试验的模型 【专题】 计算题;应用题 【分析】 首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000 粒,即不发芽 率为 0.1,故没有发芽的种子数 服从二项分布,即 B(1000,0.1) 又没发芽的补种2 个,故补种的种子数记为X=2 ,根据二项分布的期望公式即可求出结果 【解答】解:由题意可知播种了1000 粒,没有发
7、芽的种子数 服从二项分布, 即 B (1000, 0.1) 而每粒需再补种2 粒,补种的种子数记为X 故 X=2 ,则 EX=2E =2 1000 0.1=200 故选 B 【点评】 本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质,考查解决应用问题的能力属 于基础性题目 7 ( 5 分)如果执行右面的框图,输入N=5 ,则输出的数等于() ABCD 【考点】 设计程序框图解决实际问题 【专题】 操作型 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是累加并输出S=的值 【解答】 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的
8、作用是累加并输出S=的值 S=1= 故选 D 【点评】 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处 理方法是: 分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型, 又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管 理) ? 建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型 解模 8 ( 5 分)设偶函数f(x)满足 f(x)=2 x 4(x 0) ,则 x|f (x2) 0= ( ) Ax|x 2 或 x 4 Bx|x 0 或 x4 Cx|x 0 或 x6 D x|x 2 或 x 2 【考点】 偶函数;其他不
9、等式的解法 【专题】 计算题 【分析】 由偶函数f(x)满足 f(x)=2x 4(x 0) ,可得 f(x) =f(|x|)=2|x|4,根据偶 函数的性质将函数转化为绝对值函数,再求解不等式,可得答案 【解答】 解:由偶函数f( x)满足 f(x)=2x4( x 0) ,可得 f(x)=f (|x|)=2 |x| 4, 则 f(x2)=f(|x2|)=2|x 2|4,要使 f(|x2|) 0,只需 2|x2|4 0,|x2|2 解得 x 4,或 x 0 应选: B 【点评】 本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力,解答本题的关键是 利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数,从而
10、简化计算 9 ( 5 分)若,是第三象限的角,则=() A BC2 D 2 【考点】 半角的三角函数;弦切互化 【专题】 计算题 【分析】将欲求式中的正切化成正余弦,还要注意条件中的角与待求式中角 的差别,注意消除它们之间的不同 【解答】 解:由,是第三象限的角, 可得, 则, 应选 A 【点评】 本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识 以及相应的运算能力 10 (5 分)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的 表面积为() A a 2 BCD 5 a 2 【考点】 球内接多面体 【专题】 计算题 【分析】 由题意可知上下底面中
11、心连线的中点就是球心,求出球的半径, 即可求出球的表面 积 【解答】 解:根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱, 上下底面中心连线的中点 就是球心,则其外接球的半径为, 球的表面积为, 故选 B 【点评】 本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空 间形象能力 11 (5 分)已知函数,若 a,b,c 互不相等, 且 f(a)=f( b) =f( c) ,则 abc 的取值范围是() A (1,10) B (5,6)C ( 10,12)D (20,24) 【考点】 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的图象;对数的运算性质;对数函数 的图像与性质 【专
12、题】 作图题;压轴题;数形结合 【分析】 画出函数的图象,根据f(a)=f(b)=f(c) ,不妨 a bc,求出 abc 的范围即可 【解答】 解:作出函数f( x)的图象如图, 不妨设 abc,则 ab=1, 则 abc=c (10, 12) 故选 C 【点评】 本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力 12 (5 分)已知双曲线E 的中心为原点,P(3,0)是 E 的焦点,过P的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且AB 的中点为N( 12, 15) ,则 E 的方程式为() ABCD 【考点】 双曲线的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题 【专题】 计算题;
13、圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 已知条件易得直线l 的斜率为1,设双曲线方程,及A,B 点坐标代入方程联立相 减得 x1+x2=24,根据 =,可求得a 和 b的关系,再根据c=3,求得 a 和 b, 进而可得答案 【解答】 解:由已知条件易得直线l 的斜率为k=kPN=1, 设双曲线方程为, A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则有, 两式相减并结合x1+x2=24,y1+y2=30 得 =, 从而 =1 即 4b2=5a2, 又 a 2+b2=9, 解得 a 2=4,b2=5, 故选 B 【点评】 本题主要考查了双曲线的标准方程考查了学生综合分析问题和解决问题的能力 二、填空题
14、(共4 小题,每小题5 分,满分 20 分) 13 (5 分)设 y=f( x)为区间 0,1上的连续函数,且恒有0 f(x) 1,可以用随机模拟 方法近似计算积分,先产生两组 (每组 N 个)区间 0,1上的均匀随机数x1, x2, xN和 y1,y2,yN,由此得到 N 个点( xi,yi) (i=1,2, ,N) ,再数出其中满足yi f (xi) (i=1, 2, ,N)的点数N1,那么由随机模拟方案可得积分的近似值 为 【考点】 模拟方法估计概率;定积分在求面积中的应用;几何概型 【专题】 计算题 【分析】 要求 f(x)dx 的近似值,利用几何概型求概率,结合点数比即可得 【解答】
15、 解:由题意可知得, 故积分的近似值为 故答案为: 【点评】 本题考查几何概型模拟估计定积分值,以及定积分在面积中的简单应用,属于基础 题 14 (5 分)正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥(其他正确答案 同样给分)(写出三种) 【考点】 简单空间图形的三视图 【专题】 阅读型 【分析】 三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形;圆锥; 四棱锥有两个侧面在正视图 为线段的情形,即可回答本题 【解答】 解:正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱(放倒的情形)、圆锥、 四棱锥等等 故答案为:三棱锥、圆锥、三棱柱 【点评】 本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图,考
16、查空间想象能力 15 (5 分)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 xy=1 相切于点B(2,1) ,则圆 C 的方程为(x 3) 2+y2=2 【考点】 圆的标准方程;直线与圆的位置关系 【专题】 压轴题 【分析】 设圆的标准方程,再用过点A(4,1) ,过 B,两点坐标适合方程,圆和直线相切, 圆心到直线的距离等于半径,求得圆的方程 【解答】 解:设圆的方程为(xa) 2+(y b)2=r2, 则, 解得,故所求圆的方程为(x3) 2+y2=2 故答案为:( x3)2+y 2=2 【点评】 命题意图:本题主要考查利用题意条件求解圆的方程,通常借助待定系数法求解 16 (5 分)在 ABC
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