2018年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(含答案解析).pdf
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1、2018-2019 学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科) 一、填空题:本大题共14 小题,每小题 5 分,共 70 分请把答案填写在答题 卡相应位置上 1 (5 分)命题 “ 若 a=b,则| a| =| b| ” 的逆否命题是 2 (5 分)双曲线=1的渐近线方程是 3(5 分)已知复数为纯虚数,其中 i 是虚数单位,则实数 a 的值是 4 (5 分)在平面直角坐标系xOy中,点(4,3)到直线 3x4y+a=0的距离为 1, 则实数 a的值是 5 (5 分)曲线 y=x 4 与直线 y=4x+b 相切,则实数 b 的值是 6 (5 分)已知实数 x,y 满足条件则 z=2x+y
2、的最大值是 7 (5 分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线 C:y 2=4x的焦点为 F,P为抛物线 C上一点,且 PF=5 ,则点 P的横坐标是 8 (5 分)在平面直角坐标系xOy中,圆 O:x2+y2=r2(r0)与圆 M: (x3) 2+(y+4)2=4 相交,则 r 的取值范围是 9 (5 分)观察下列等式: (sin) 2+(sin ) 2= 12; (sin) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+sin( ) 2= 23; (sin) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+ +sin( ) 2= 34; (sin) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+ +sin( )
3、2= 45; 照此规律, (sin) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+ +(sin ) 2= 10 (5 分)若 “ ? xR,x2+ax+a=0” 是真命题,则实数a 的取值范围是 11 (5 分)已知函数 f(x)= (x 2+x+m)ex (其中 mR,e 为自然对数的底数)若 在 x=3 处函数 f (x)有极大值,则函数f (x)的极小值是 12 (5 分)有下列命题: “m 0” 是“ 方程 x2+my2=1 表示椭圆 ” 的充要条件; “a=1”是“ 直线 l1:ax+y1=0与直线 l2:x+ay2=0平行” 的充分不必要条件; “ 函数 f (x)=x3+mx 单调递
4、增 ” 是“m 0” 的充要条件; 已知 p,q 是两个不等价命题,则 “p 或 q 是真命题 ” 是“p 且 q 是真命题 ” 的必要 不充分条件 其中所有真命题的序号是 13 (5 分)已知椭圆 E:+=1(ab0)的焦距为 2c(c0) ,左焦点为 F,点 M 的坐标为( 2c,0) 若椭圆 E上存在点 P,使得 PM=PF ,则椭圆 E 离心率的取值范围是 14 (5 分)已知 t0,函数 f(x)=,若函数 g(x)=f(f(x) 1)恰有 6 个不同的零点,则实数t 的取值范围是 二、解答题:本大题共6 小题,共计 90 分请在答题卡指定区域内作答,解答 时应写出文字说明、证明过程
5、或演算步骤 15 (14 分)在平面直角坐标系xOy中,已知 ABC三个顶点坐标为A(7,8) , B(10,4) ,C (2,4) (1)求 BC边上的中线所在直线的方程; (2)求 BC边上的高所在直线的方程 16 (14 分)已知数列 an 满足 a1=1, (an3)an+1an+4=0(nN * ) (1)求 a2,a3,a4; (2)猜想 an 的通项公式,并用数学归纳法证明 17 (14 分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆 M 的圆心在直线 y=2x 上,且 圆 M 与直线 x+y1=0相切于点 P(2,1) (1)求圆 M 的方程; (2)过坐标原点 O 的直线 l 被圆 M
6、 截得的弦长为,求直线 l 的方程 18 (16 分)某休闲广场中央有一个半径为1(百米)的圆形花坛,现计划在该 花坛内建造一条六边形观光步道,围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF 和梯形 DEFC )构成的六边形 ABCDEF 区域,其中 A、B、C、D、E、F都在圆周上, CF为圆的直径(如图)设 AOF= ,其中 O 为圆心 (1)把六边形 ABCDEF 的面积表示成关于 的函数 f( ) ; (2)当 为何值时,可使得六边形区域面积达到最大?并求最大面积 19 (16 分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆 E:+=1(ab0)的离心 率为,两个顶点分别为A(a,0) ,B(a,0)
7、 ,点 M(1,0) ,且 3=, 过点 M 斜率为 k(k0)的直线交椭圆 E于 C,D两点,其中点 C在 x轴上方 (1)求椭圆 E的方程; (2)若 BC CD ,求 k 的值; (3)记直线 AD,BC的斜率分别为 k1,k2,求证:为定值 20 (16 分)已知函数 f(x)=axlnx(aR) (1)当 a=1 时,求 f(x)的最小值; (2)若存在 x 1,3 ,使+lnx=2成立,求 a 的取值范围; (3)若对任意的 x 1,+) ,有 f(x)f()成立,求 a 的取值范围 2018-2019 学年江苏省南京市高二 (上) 期末数学试卷(理 科) 参考答案与试题解析 一、
8、填空题:本大题共14 小题,每小题 5 分,共 70 分请把答案填写在答题 卡相应位置上 1 (5 分)命题 “ 若 a=b,则| a| =| b| ” 的逆否命题是若| a| | b| ,则 ab 【解答】解:命题“ 若 a=b, 则| a| =| b| ” 的逆否命题是命题 “ 若| a| | b| , 则 ab” , 故答案为: “ 若| a| | b| ,则 ab” 2 (5 分)双曲线=1的渐近线方程是y=2x 【解答】 解:双曲线标准方程为=1, 其渐近线方程是=0, 整理得 y=2x 故答案为 y=2x 3 (5 分)已知复数为纯虚数,其中 i 是虚数单位,则实数a 的值是2 【
9、解答】 解:=, 复数为纯虚数, , 解得 a=2 故答案为: 2 4 (5 分)在平面直角坐标系xOy中,点(4,3)到直线 3x4y+a=0的距离为 1, 则实数 a的值是5 【解答】 解:由题意,=1, a=5 故答案为 5 5 (5 分)曲线 y=x 4 与直线 y=4x+b 相切,则实数 b 的值是3 【解答】 解:设直线与曲线的切点为P(m,n) 则有:?,化简求: m=1,b=n4; 又因为点 P满足曲线 y=x 4,所以: n=1; 则:b=n4=3; 故答案为: 3 6 (5 分)已知实数 x,y 满足条件则 z=2x+y 的最大值是9 【解答】 解:实数 x,y 满足条件作
10、出不等式组对应的平面区域 如图: 由 z=2x+y 得 y=2x+z, 平移直线 y=2x+z, 则当直线 y=2x+z 经过点 A 时,直线的截距最大,此时z最大, 由可得 A(3,3) 此时 z=9, 故答案为: 9 7 (5 分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,P为抛物线 C上一点,且 PF=5 ,则点 P的横坐标是4 【解答】 解:抛物线 y2=4x=2px , p=2, 由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的, | PF | =x+1=5, x=4, 故答案为: 4 8 (5 分)在平面直角坐标系xOy中,圆 O:x2+y2=
11、r2(r0)与圆 M: (x3) 2+(y+4)2=4 相交,则 r 的取值范围是 3r7 【解答】 解:由题意,圆心距为5,| r2| 5r+2, 3r7 故答案为 3r7 9 (5 分)观察下列等式: (sin) 2+(sin ) 2= 12; (sin) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+sin( ) 2= 23; (sin) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+ +sin( ) 2= 34; (sin) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+ +sin( ) 2= 45; 照此规律, (sin) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+ +(sin ) 2= n(n+1)
12、【解答】 解:观察下列等式: (sin) 2+(sin ) 2= 12; (sin) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+sin( ) 2= 23; (sin) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+ +sin( ) 2= 34; (sin) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+ +sin( ) 2= 45; 照此规律( sin) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+ +(sin ) 2= n (n+1) , 故答案为:n(n+1) 10 (5 分)若“ ? xR,x 2+ax+a=0” 是真命题,则实数 a 的取值范围是(, 0 4,+) 【解答】 解:若 “ ? xR,x2+
13、ax+a=0” 是真命题, 则=a 24a0, 解得: a(, 0 4,+) , 故答案为:(, 0 4,+) 11 (5 分)已知函数 f(x)= (x2+x+m)ex(其中 mR,e 为自然对数的底数)若 在 x=3 处函数 f (x)有极大值,则函数f (x)的极小值是1 【解答】 解:f(x)=(x2+x+m)ex, f (x)=(x2+3x+m+1)ex, 若 f(x)在 x=3 处函数 f (x)有极大值, 则 f (3)=0,解得: m=1, 故 f(x)=(x2+x1)ex, f (x)=(x2+3x)ex, 令 f (x)0,解得: x0, 令 f (x)0,解得: x3,
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