2019年全国高考数学一卷总体分析.pdf
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1、1 2019 年全国高考数学一卷总体分析 与 2019 年高考备考建议 株洲县第五中学阳志长 2019 年湖南高考数学使用新课标高考全国数学一卷. 与往年相比, 2019 年高考全国一卷数学试 题,试卷结构保持不变,考查内容基本一致,体现了高考的稳定性与延续性;注重基础知识,体现数 学思想,考查数学运算、应用、创新等能力. 突出对数学抽象、逻辑推理、数据分析等核心素养的重视 和“回归教材”,以及文理合卷等特点. 2019 年高考湖南省阅卷结果:文科数学平均分55 分,比 2019 年湖南省文科数学平均分67.96 分下降 12.96 分;理科数学79.9 ,比去年 78.82 升了 1.08
2、分, 这是预 料中的事情 . 今结合 2019 年高考试题、 在权衡 2019 年上期所做 20192019 年全国高考数学试卷(I ) 总体综合分析 (以下简称分析报告)报告得失的基础上,我们试图为大家提供备考2019 年数学 高考的方略,供一线数学教师参考. 一、考点分布 2019 年全国高考数学一卷考点分布 一级二级主题内容 文科理科 题 号 分 值 题 号 分 值 集合 集合之间的 关系与运算子、交、并、补1 5 1 5 函 数 函数的概念定义域、值域8 5 8 5 函数的性质 单调性8 5 8 5 奇偶性9 5 7 5 周期性6 5 1 2 5 图象与图象变 换 6 5 1 2 5
3、函数与方程函数的零点21 6 1 2+21 5+ 12 基本初等函数指、对、幂函数8+ 9+21 5 +5+12 7 +8+21 5+ 5+12 导数导数的应用7+ 12+21 5 +5+12 7 +21 5+ 12 三角变换三角公式125112 2 三 角 +14 +5 7 三角函数图 象与性质 正弦、余弦函数 图象与性质6 5 1 2 5 解三角形正、余弦定理4 5 1 7 12 向量向量表示与运 算 坐标表示、模、 运算 13 5 1 3 5 立体 几何 空间的几何体正投影与三视 图 7+ 18 5 +12 6 5 空间点、线、 面关系 位置关系与角11 +18 5 +12 1 1+18
4、 5+ 12 数 列 等差数列通项、前n项和17 6 3 5 等比数列通项、前n项和17 6 1 5 5 解 析 几 何 直线直线与圆的位 置关系 15 5 圆直线与圆的位 置关系 15 5 2 0 12 圆锥曲线 椭圆的定义与 性质、直线与椭圆的 关系 5 5 2 0 12 双曲线的标准 方程与性质5 5 定义、直线与抛 物线的位置关系20 1 2 1 0 5 不等 式 不等式的解法绝对值不等式24 1 0 2 4 10 不等式的应用线性规划16 5 1 6 5 复数复数的代数形 式 复数运算、模2 5 2 5 3 排列 组合 二项式定理应用1 4 5 概率 统计 概率 古典概型3 5 几何
5、概型4 5 统计 分布、数字特征 与期望等19 1 2 1 9 12 算法框图框图10 5 9 5 选修 4 1 几何证明选讲与圆有关的角、 线 22 1 0 2 2 10 选修 4 4 坐标系与参数 方程 直线与圆的极 坐标、参数方程23 1 0 2 3 10 选修 4 5 不等式选讲绝对值不等式 的解法、几何意义24 1 0 2 4 10 说明: 1. 未考的考点没有列出,其他考点和课标要求大家可以参考分析报告;2. 所列考点 是按照所考的主要知识点分类、有交汇,分值不能严格区分时、是按照大题分值标注的. 二、考查分析 (一)常考知识点 在分析报告 中,我们列出常考知识点:集合运算、 复数
6、的代数计算、函数基本性质 (单调性、 奇偶性、周期性等)、导数及其运用、三角函数(恒等变换、图像及性质、解三角形)、平面向量的 计算、 数列(等差、 等比的相关知识)、线性规划、 二项式定理 (理) 、程序框图、 概率(古典概型) 、 统计的基本知识、立体几何(空间点、线、面的位置关系)、圆锥曲线(定义、性质)等. 从上面列表 可以看出, 2019 年高考全国一卷基本上覆盖了高中数学的所有重要的知识点,预测是准确的. 2019 年高考数学全国一卷命题的基本思路仍然是:以选择题、填空题“小题”的形式覆盖知识 点,引导高中数学教师落实课程标准的基本要求,做好“保底”工作;以解答题“大题”的形式 着
7、重考查综合素养,提高区分度、强化选拔功能;文理同题(同宗题或姊妹题)略有增加,为高考数 学文理合卷进一步创造条件. (二)板块分析 1. 三角函数 该知识点在整个试卷中理科占有17 分、文科占有20 分,文科以四道小题、理科以一道小题一道 大题的形式呈现. 题目之间互补, 形成纵向 “问题链” ,主要考查三角恒等变换、三角函数图象与性质、 解三角形,估计2019 年不会有大的变化. 4 2. 数列 该知识点在整个试卷中理科占有10 分、文科占有12 分,理科以两道小题,文科以一道大题的形 式呈现 . 以特殊数列(等差数列、等比数列)为载体,考查求解数列的通项公式、前n项和,在解答题 中靠前,属
8、于容易题,在小题中靠后,属于较难题. 与三角“嵌套”,理科在解答题中考查三角、文科 在解答题中考查数列. 考查风格与2019 年相同,估计2019 年也不会有大的变化. 3. 概率统计 该知识点在整个试卷中文理都占有17 分的分值,试题以一大一小的形式呈现. 文科小题考查古典 概型,大题以实际问题为背景,考查函数解析式、频率、数字特征等知识;理科小题考查几何概型, 大题与文科同宗同源,考查离散型随机变量的分布列、数学期望等知识. 文理均重统计,考查风格与 2019 年基本相同,估计2019 年会有些变化,具体见后面专项分析. 4. 立体几何 该知识点在整个试卷中文理科都占有22 分的分值,试题
9、以一大两小的形式呈现. 小题考查三视 图、空间线、面关系. 大题分两小题设问,文科第1 问证明线段相等,第2 问求体积;理科第1 问证明 面面垂直,第二问求二面角的余弦值. 理科考查风格与2019 年相同,文科考查风格与2019 年有点不同, 大题“正投影”难住了较多考生,2019 年备考还要关注折叠问题. 5. 解析几何 该知识点在整个试卷中文理都占有22 分的分值, 试题以一大两小的形式呈现. 小题考查圆、 圆锥 曲线定义、标准方程、简单几何性质. 大题分两小题设问,文科第1 问考查坐标法,求线段的比值;第 2 问为存在性问题、考查直线与抛物线的位置关系.理科第 1 问为定值问题,求轨迹方
10、程;第2 问考查 直线与圆锥曲线的位置关系,与函数、不等式交汇在一起,属于较难题. 考查风格与2019 年相同,估 计 2019 年不会有大的变化. 6. 函数与导数 该知识点在整个试卷中理科占有22 分,试题以一大两小的形式呈现;文科占有27 分,试题以一 大三小的形式呈现. 与导数相关的知识,小题中有一题也有涉及(理科第7 题、文科第 9 题和 12 题). 大题分两小题设问,文科第1 问考查定义域、单调性;第2 问考查函数零点的相关知识;理科题考查 函数零点的相关知识;文理科都与不等式等知识交汇在一起,考查分类讨论、综合运用知识的能力, 属于难题 . 文理科此题属于姊妹题,考查风格与20
11、19 年相同,估计2019 年不会有大的变化. 三、热点透视 (一)三角问题 三角为数学的主干知识之一,一般情况下应该得满分. 纵观近 5 年全国卷,不确定因素较多、难 度较大、综合性较强,超出考生的想象. 例1( 2019 高考全国卷1 文科第14 题)已知是第四象限角,且 3 sin 45 ,则 5 tan_ 4 . 分析 1:由 tantan sincos 4 tan 4sincos 1tantan 4 ,为求tan 4 的值,可从题目条 件出发,求出sincos、sincos的值 . 解法 1:因为 3 sin 45 ,所以 3 2 sincos 5 ,且 7 2s in co s 2
12、5 . 又因为是 第四象限角,所以 sincos0,且 22 sincossincos 32 4sincos 25 ,故 4 2 sincos 5 ,结果填 4 3 . 本题考查三角函数的定义、符号和同角公式、和差角公式等知识,以及化归与转化、平方与开方 等 思 想 方 法 . 考 生 的 思维 障 碍 是 不 知 由sincos的 值 可 以 求 出sincos的 值 ; 错 点是 sincos的符号 . 其实,sincos、sincos、sincos“知一求二”;由单位圆和三 角函数线容易判断sincos或sincos的符号 . 单位圆是三角函数的“原点”,“能力立意” 的基本点是回归“原
13、点”,按照数学家当初建构数学概念那样广开思路,备考时需要重建、理解三角 公式体系:利用单位圆定义三角函数的坐标表示(数)和几何表示(形);由它的坐标表示可以概括 得到符号规律、特殊角的三角函数值;由它的几何表示可以简单推出同角公式;由单位圆的对称性和 它的坐标表示可以直接得到诱导公式;由向量的数量积和它的坐标表示可以简单推导和差角公式、二 倍角公式的“母公式”coscoscossinsin. 抓住了单位圆,就等于抓住了三角公 式的“命门”:公式记不清时,可以利用单位圆简单推出;符号拿不准时,可以利用单位圆作出判断; 特别是由单位圆推导公式的思路和方法,是解决相关问题的思想武器. 分析 2 :
14、由() 444 , 为求tan 4 的值,可从题目条件出发, 求出tan 4 的值 . 解 法2 : 因 为22 2 kkkZ, 所 以22 444 kk. 又 因 为 3 si n 45 ,所以 4 cos 45 ,且 3 tan 44 . 故tan 4 6 tan 42 tan 24 1 tan 4 ,结果填 4 3 . 这种解法明显优于第一种,更能体现命题者的意图. 课本在章头指出:“三角变换包括变换的对 象,变换的目标,以及变换的依据和方法等要素”. 另解盯住角,从未知与已知关系中寻求突破,用已 知角表示未知角、从中寻求三角变换的依据和方法,获得题目的更优解法. “角”是自变量,是三角
15、变 换的根本所在,因此三角变换思维起点是角:盯住未知与已知角的关系(互余、互补、和、差、倍、 分),以及角的取值范围;三角变换的基本思想是转化与化归思想;三角变换的基本策略是:找“差 异”,立足“化异为同”、消除差异找方法,正用、逆用、变用、联用以至活用公式. 备考时,要结合 具体题目的解答过程,回归课本,把握三角变换的特点和本质,实行方法创新,以“不变”驭“变”. 例 2 (2019 高考全国卷1 理科第 12 题)已知函数sinfxx(0, 2 ), 4 x为fx的零点, 4 x为yfx图象的对称轴,且fx在 5 , 18 36 单调,则的最 大值为 A.11 B. 9 C. 7 D. 5
16、 分析: 为求的最大值,可从题目条件出发,得到关于、的方程和不等式,再从特殊值、 一个周期内的图象特征出发筛选答案. 解法 1:因为 4 , 42 m m n 、nZ,所以 12 42 nm nm . 由 2 得 10nm. 由0得,0nm且为奇数 . 当0nm即 4 时,取11,这时sin 11 4 fxx ,由 3 11 242 x得, 5 4444 x. 因 为 55 184436 , 所 以fx在 区 间 5 , 1844 上 是 单 调 递 减 函 数 、 在 区 间 55 , 4436 上是单调递增函数,不合题意.同理,7、 5 不合题意,只有9符合题意 . 当1nm即 4 时,验
17、算知11、9、7 不合题意,只有5符合题意 . 综上所述,的最大值为9,结果选B. 7 解法 2:由题意知: 1 2 + 4 + + 42 k k 则21k,其中kZ . ( )f x 在 5 , 18 36 单调, 5 ,12 3618122 T . 接下来用排除法 若 11, 4 ,此时 ( )sin 11 4 f xx ,( )f x 在 3 , 18 44 递增,在 3 5 , 44 36 递减,不 满足( )f x 在 5 , 18 36 单调; 若 9, 4 ,此时 ( )sin 9 4 f xx,满足( )f x 在 5 , 18 36 单调递减,故选B 本题考查正弦函数图象和零
18、点、对称性、单调性等性质,以及数形结合、函数与方程、化归与转 化等思想方法.考生的思维障碍不是列方程组、求和的表述式,而是处理整数nm、nm,以 及验算fx在 5 , 18 36 上的单调性 . 其实,确定nm的取值后,取的值验算时,为了减少字母 运算带来的不便,可以考查函数在一个周期内的单调增区间或减区间,按照周期进行拓展、作出判断; 作为一个选择题,本题只需对 0nm 取 11、9 和对1nm 取 11三种情况作出判断就 可以作出选择.无论是正弦型函数,还是余弦型、正切型函数,无论是奇偶性、单调性、对称性,还是 求最值、 解方程、 不等式, 都可以按照三角函数曲线、从一个周期出发按照周期进
19、行拓展. 课本是按照 从一个周期出发进行拓展的思路探讨三角函数图象的,但是在后续例题列式、求解中带入了“k”, 备考时,要进行两种解题方式的比照,把握其共性,明确从三角函数图象出发、从一个周期出发思考 解决问题的道理,化解难点,达到必要的复习深度. 理科第 17 题考查三角形的内角和、周长、面积和正弦定理、余弦定理、诱导公式等知识,以及 配方、 函数与方程、 化归与转化等思想方法.属于中低档题,思路不是问题, 影响考生得分主要是表述 规范和隐含条件运用等问题. 其实,在三角形中常隐含了“内角和为”、“两边之和大于第三边”、 “大边对大角” 等条件, 解三角形时要特别注意发掘这些隐含条件,建构相
20、应的 “条件反射” . 备考时, 建议还要关注向量与三角的结合问题,以及建构三角函数模型解决“测量”、“潮汐”等问题 . 不管是 哪一类问题, 最终往往归结为 “化一” 、求三角函数在给定区间的最值问题,而隐含在其中的条件“给 定区间”,测量着备考高度. 8 模拟训练 1. 已知点 33 sin,cos 44 P 是以x轴正半轴为始边的角的终边上一点,且 0,2 ,则 A. 4 B. 3 4 C. 5 4 D. 7 4 2. 要得到函数) 4 2sin(3xy的图象,只需将函数xy2sin3的图象 A.向左平移 4 个单位 B.向右平移 4 个单位 C.向左平移 8 个单位 D.向右平移 8
21、个单位 3. 在ABC中,已知45B,22c, 3 34 b, 则C_. 4. 设当x时,函数( )sin2cosf xxx取得最大值,则 cos_. 5. 如图,平面四边形ABCD中,5AB,2 2AD, 3CD,30CBD,120BCD. 求 ()ADB; ()四边形ABCD的面积S. (二)数学思想 数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过 程中,能够迁移并广泛用于相关学科和社会生活. 因此,对数学思想和方法的考查必然要与数学知识的 考查结合进行, 通过对数学知识的考查,反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度. 考查时要从学 科整体意义和思想
22、价值立意,要有明确的目的,加强针对性,注重通性通法,淡化特殊技巧,有效地 检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度. 1. 数形结合的思想方法 (1)具体特征 从“形”入手,直观助思;从“数”突破,验证直觉. (2)考题解析 例 3 (2019 高考全国卷1 文理科第11 题)平面过正方体 1111 ABCDA B C D的顶点A, 11 /CB D平面,ABCDm平面, 11 ABB An平面,则m,n所成角的正弦值为 A B D C 9 A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 1 3 解法 1:如图所示:因为/ /平面 11 CB D ,设平面 11 CB D平面
23、1 ABCDm,则 1/ / mm. 又因为平面/ /ABCD平面 1111 A B C D, 平面 11 B D C 平 面 1111 A B CDBD, 所 以 111 / /B Dm,故 11/ / B Dm. 同理, 1/ / CDn. 故m、n的所成角的大小与 11 B D、 1 CD所成角的大小相等,即 11 CD B的大小 而 1111 B CB DCD,因此 11 3 CD B,即 11 3 sin 2 CD B 解法2:如图,在正方体ABCD 1111 A B C D的 下 方 补 两 个 相 同 的 正 方 体 . 因 为 11 / /ARB D, 1 / /AFD C,可
24、得平面ARF/ /平面 11 B CD. 由题设 可知 AR 、AF分别为m、n. 故m、n所成的角即为 1 B C、 11 B D所成的角,其角度为60. 故m、n所 成的角的正弦值为 3 2 . 本题考查线线、线面、面面关系,两异面直线所成角等知识,以及数形结合、化归与转化等思想 方法 . 考生的思维障碍在于根据题意作出图形助思. 显然,解2 的图形更有利于考生思考、解决问题. 求空间角包括求两条异面直线所成角、线面角和面面角,求解的基本路径是:“找(作)说 求” . “找”是关键,没有现成的就需要“作”,作线线角重点是“平移直线”;作线面角重点是“线 面垂直”;作面面角重点也是“线面垂直
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