2019年北京市朝阳区高考数学一模试卷(理科)含答案解析.pdf
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1、第 1 页(共 22 页) 2019 年北京市朝阳区高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项 1i 是虚数单位, =( ) A1i B 1i C1+i D 1+i 2已知全集U=R,函数 y=ln (x1)的定义域为 M,集合 N= x| x2x0 ,则下列结论 正确的是() AM N=N BM(?UN)=?C MN=U DM ? (?UN) 3“” 是“ ea e b” 的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 4执行如图所示的程序框图,输出的S 值为
2、() A42 B19 C8 D3 5在 ABC 中,角 A,B, C,的对边分别为a,b,c,若( a 2+c2 b2)tanB= ac,则角 B 的值为() AB或CD或 6某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是() 第 2 页(共 22 页) (注:结余 =收入支出) A收入最高值与收入最低值的比是3:1 B结余最高的月份是7 月 C1 至 2 月份的收入的变化率与4 至 5 月份的收入的变化率相同 D前 6 个月的平均收入为40 万元 7某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是() A B C1 D 8若圆 x 2+(y1)2=r2 与曲线( x1)y=
3、1 没有公共点,则半径r 的取值范围是() A0rB0rC0rD0r 二、填空题:本大题共6 小题,每小题5 分,共 30 分把答案填在答题卡上 9二项式( x2+) 5 的展开式中含x 4 的项的系数是 _(用数字作答) 10已知等差数列an(nN * )中, a1=1,a4=7,则数列 an的通项公式an=_; a2 +a 6 +a 10+ +a4n+10=_ 11在直角坐标系xOy 中,曲线C1的方程为 x 2+y2=2,曲线 C 2的参数方程为 (t 为参数)以原点O 为极点, x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线C1与 C2的交点 的极坐标为 _ 12不等式组所表示的平面区域为
4、 D若直线 y=a(x+1)与区域 D 有公共点, 则实数 a 的取值范围是 _ 13已知 M 为 ABC 所在平面内的一点,且若点 M 在 ABC 的内部 (不 含边界),则实数n 的取值范围是_ 14某班主任在其工作手册中,对该班每个学生用十二项能力特征加以描述每名学生的第 i (i=1, 2, , 12) 项能力特征用xi表示, , 若学生 A,B 的十二项能力特征分别记为A= (a1,a2, ,a12) ,B=(b1,b2, ,b12) ,则 第 3 页(共 22 页) A,B 两名学生的不同能力特征项数为_(用 ai ,b i表示) 如果两个同学不同能力特 征项数不少于7,那么就说这
5、两个同学的综合能力差异较大若该班有3 名学生两两综合能 力差异较大,则这3 名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为_ 三、解答题:本大题共6 小题,共80 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 15已知函数 , 0 ()若 =1,求 f(x)的单调递增区间; ()若,求 f(x)的最小正周期T 的表达式并指出T 的最大值 16为了解学生暑假阅读名著的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果 如表 1 2 3 4 5 男生1 4 3 2 2 女生0 1 3 3 1 () 从这班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生阅读名著本数之和为4 的概率? () 若从阅读名著不少于4
6、本的学生中任选4 人,设选到的男学生人数为X,求随机变量 X 的分布列和数学期望; () 试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小 (只 需写出结论) 17如图,在直角梯形AA1B1B 中, A1AB=90 ,A1B1AB ,AB=AA 1=2A1B1=2直角梯 形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到,且使得平面 AA 1C1C平面 AA1B1BM 为线段 BC 的中点, P 为线段 BB1上的动点 ()求证: A1C1AP; ()当点P 是线段 BB1中点时,求二面角PAM B 的余弦值; 1 ()是否存在点P,使得直线A1C平面 AMP ?请说
7、明理由 18已知函数f(x)=x+alnx,aR ()求函数f(x)的单调区间; ()当x 1,2时,都有f(x) 0 成立,求a 的取值范围; ()试问过点P(1,3)可作多少条直线与曲线y=f(x)相切?并说明理由 19已知点和椭圆 C: 第 4 页(共 22 页) ()设椭圆的两个焦点分别为F1 ,F 2,试求 PF1F2的周长及椭圆的离心率; ()若直线 l: 与椭圆 C 交于两个不同的点A,B,直线 PA,PB 与 x 轴分别交于M,N 两点,求证: | PM| =| PN| 20已知等差数列an的通项公式 设数列 bn 为等比数列,且 ()若b1=a1=2,且等比数列 b n的公比
8、最小, ()写出数列 b n 的前 4 项; ()求数列 kn的通项公式; ()证明:以b1=a2=5 为首项的无穷等比数列 b n有无数多个 第 5 页(共 22 页) 2019 年北京市朝阳区高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项 1i 是虚数单位, =( ) A1i B 1i C1+i D 1+i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 两个复数代数形式的乘除法,两个复数相除, 分子和分母同时乘以分母的共轭复数, 运算求得结果 【解答】 解:=1+i, 故选 C 2已知全
9、集U=R,函数 y=ln (x1)的定义域为 M,集合 N= x| x 2x0 ,则下列结论 正确的是() AM N=N BM(?UN)=?C MN=U DM ? (?UN) 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 分别解出关于M,N 的范围,然后判断即可 【解答】 解:由 x10,解得: x1, 故函数 y=ln (x1)的定义域为M=(1,+) , 由 x2x 0,解得: 0x1, 故集合 N= x| x2x0=(0,1) , ?UN= x| x1 或 x 0 , M? (?UN) , 故选: D 3“” 是“ e a eb” 的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必
10、要条件 D 既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 “” 等价于 ab,可得 “eaeb” ,反之不成立,例如取 a=2,b=1即可判 断出结论 【解答】 解: “” ? ab? “ ea e b” ,反之不成立,例如取 a=2,b=1 “” 是“ e aeb” 的充分不必要条件 故选: A 4执行如图所示的程序框图,输出的S 值为() 第 6 页(共 22 页) A42 B19 C8 D3 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,依次写出每次循环 得到的 S,i 的值,当i=4 时不满足条件i4,退出循环,输
11、出S 的值为 19 【解答】 解:模拟执行程序,可得 i=1,S=1 满足条件i 4,S=3,i=2 满足条件i 4,S=8,i=3 满足条件i 4,S=19,i=4 不满足条件i4,退出循环,输出S 的值为 19 故选: B 5在 ABC 中,角 A,B, C,的对边分别为a,b,c,若( a 2 +c 2 b 2)tanB= ac,则角 B 的值为() A B 或 C D 或 【考点】 余弦定理 【分析】 利用余弦定理表示出cosB,整理后代入已知等式,利用同角三角函数间基本关系 化简,求出sinB 的值,即可确定出B 的度数 【解答】 解: cosB= , a 2 +c 2 b 2=2a
12、ccosB, 代入已知等式得:2ac?cosBtanB=ac,即 sinB=, 则 B=或 故选: B 6某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是() 第 7 页(共 22 页) (注:结余 =收入支出) A收入最高值与收入最低值的比是3:1 B结余最高的月份是7 月 C1 至 2 月份的收入的变化率与4 至 5 月份的收入的变化率相同 D前 6 个月的平均收入为40 万元 【考点】 函数的图象与图象变化 【分析】 根据折现统计图即可判断各选项 【解答】 解:由图可知,收入最高值为90 万元,收入最低值为30 万元,其比是3:1,故 A 正确, 由图可知,结余最高为
13、7 月份,为8020=60,故 B 正确, 由图可知, 1 至 2 月份的收入的变化率为与4 至 5 月份的收入的变化率相同,故C 正确, 由图可知,前6 个月的平均收入为(40+60+30+30+50+60) =45 万元,故 D 错误, 故选: D 7某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是() ABC1 D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知:该几何体为如图所示的三棱锥,CB侧面 PAB利用体积计算公 式即可得出 【解答】 解:由三视图可知:该几何体为如图所示的三棱锥,CB侧面 PAB 该几何体的体积V= 1= 第 8 页(共 22 页) 故选: A 8若圆 x2
14、+(y1)2=r 2 与曲线( x1)y=1 没有公共点,则半径r 的取值范围是() A0rB0r C0rD0r 【考点】 圆与圆锥曲线的综合 【分析】 求得圆的圆心和半径,设圆与曲线y=相切的切点为(m,n) ,代入曲线的方 程,求出函数的导数和切线的斜率,由两点的斜率公式和两直线垂直的条件:斜率之积为 1,解方程可得切点,进而得到此时圆的半径,结合图象即可得到所求范围 【解答】 解:圆的圆心为(0,1) ,半径为 r, 设圆与曲线y=相切的切点为(m, n) , 可得 n= , y=的导数为 y=, 可得切线的斜率为, 由两点的斜率公式可得?()=1, 即为 n 1=m(m1) 2, 由可
15、得 n4n3n1=0, 化为( n2n 1) (n2+1)=0, 即有 n2n1=0,解得 n=或, 则有或 可得此时圆的半径r= 结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候, r 的范围是( 0,) 故选: C 第 9 页(共 22 页) 二、填空题:本大题共6 小题,每小题5 分,共 30 分把答案填在答题卡上 9二项式( x 2+ ) 5 的展开式中含x 4 的项的系数是10(用数字作答) 【考点】 二项式定理 【分析】 先求出二项式(x 2+ ) 5 的展开式中通项公式,令x 的系数等于4,求出 r 的值, 即可求得展开式中含x4的项的系数 【解答】 解:二项式( x2+) 5 的展开式
16、中通项公式为Tr+1=x 102r xr= x10 3r 令 103r=4,可得r=2, 展开式中含x 4 的项的系数是=10, 故答案为10 10已知等差数列 a n(nN * )中, a1=1,a4=7,则数列 a n的通项公式 an= 2n1; a2 +a 6 +a 10+ +a4n+10=(n+3) (4n+11) 【考点】 等差数列的前n 项和 【分析】 利用等差数列的通项公式求出首项和公差,由此能求出结果 【解答】 解:等差数列 an (nN*)中, a1=1,a4=7, a 4=1+3d=7, 解得 d=2, an=1+(n1) 2=2n1, a2=1+2=3,a6=1+5 2=
17、11,a6a2=8, a2+a6+a10+ +a4n+10= 3+8=(n+3) (4n+11) 故答案为: 2n1, (n+3) (4n+11) 11在直角坐标系xOy 中,曲线 C1的方程为 x 2 +y 2=2,曲线 C 2的参数方程为 (t 为参数)以原点O 为极点, x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线C1与 C2的交点 的极坐标为(,) 【考点】 简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系 【分析】将曲线 C2的参数方程代入曲线C1的方程,可得 t=1, 再由 x= cos , y= sin , tan =, 求得 , ,即可得到所求坐标 第 10 页(共 22 页) 【解答】
18、 解:将曲线C2的参数方程(t 为参数)代入 曲线 C1的方程为 x2 +y 2=2,可得 (2t) 2+t2=2, 解得 t=1, 可得交点的直角坐标为(1,1) , 由 x= cos ,y= sin ,tan =, 可得 = , tan =1,0 , 可得 = 可得交点的极坐标为(,) 故答案为:(,) 12不等式组所表示的平面区域为 D若直线 y=a(x+1)与区域 D 有公共点, 则实数 a 的取值范围是 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合进行求解 即可 【解答】 解:作出不等式组对应的平面区域图示: 因为 y=a(x+1
19、)过定点C( 1,0) 当 a0 时,直线y=a(x+1)与区域D 有公共点,满足条件 当 a0 时,当直线y=a(x+1)过点 A 时,由公共点, 由得,即 A(3,3) , 代入 y=a(x+1)得 4a=3, a=, 又因为直线y=a(x+1)与平面区域D 有公共点 此时 0 a 综上所述, a 故答案为: 第 11 页(共 22 页) 13已知 M 为 ABC 所在平面内的一点,且若点 M 在 ABC 的内部 (不 含边界),则实数n 的取值范围是(0,) 【考点】 向量在几何中的应用 【分析】 根据题意可作出图形,将,带入并进行向 量的数乘运算便可以得出,这样根据向量加法的平行四边形
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