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1、山东省日照市莒县2019 年中考数学一模试卷(解析版) 一、选择题(本题共12 个小题, 1-8 题每小题 3 分,9-12 题每小题 3 分,共 40 分) 1的倒数是() A3 BC 3 D 2下列计算正确的是() A += Bx6x3=x 2 C =2 Da2(a2)=a 4 3PM2.5 是指大气中直径 0.0000025 米的颗粒物,将 0.0000025用科学记数法 表示为() A2.510 7 B2.510 6 C 2510 7 D0.2510 5 4在函数 y=中,自变量 x 的取值范围是() AxBxCxDx 5不等式 5x12x+5 的解集在数轴上表示正确的是() ABC
2、D 6一个袋子中装有 3 个红球和 2 个黄球,这些球的形状、大小质地完全相同, 在看不到球的条件下, 随机从袋子里同时摸出2 个球,其中 2 个球的颜色相同的 概率是() ABC D 7如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图,小正方形的数字表示在该位置 的小立方块的个数,这个几何体的主视图是() ABC D 8小玲每天骑自行车或步行上学,她上学的路程为 2800 米,骑自行车的平均速 度是步行平均速度的4 倍,骑自行车比步行上学早到30 分钟设小玲步行的平 均速度为 x 米/分,根据题意,下面列出的方程正确的是() A B CD 9(4 分) 关于 x 的一元二次方程 kx2+3x1=0 有
3、实数根, 则 k 的取值范围是() AkBk且 k0 C kDk且 k0 10(4 分)下列命题中,原命题与逆命题均为真命题的有() 若| a| =| b| ,则 a2=b 2;若 ma2na2,则 mn; 垂直于弦的直径平分弦;对角线互相垂直的四边形是菱形 A1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个 11(4 分)如图, O 过点 B、C,圆心 O 在等腰直角三角形ABC的内部, BAC=90 ,OA=1,BC=6 ,则 O的半径为() A6 B13 C D2 12(4 分)函数 y=x 2+bx+c与 y=x的图象如图所示,有以下结论: b24c0; b+c+1=0; 3b+c+6=0;
4、当 1x3 时,x 2+(b1)x+c0 其中正确的个数为() A1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个 二、填空题(本题共4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13(4 分)如图,矩形ABCD的对角线 BD 经过坐标原点,矩形的边分别平行 于坐标轴,点 C在反比例函数 y=的图象上,若点 A 的坐标为( 4,2),则 k 的值为 14(4 分)如图,在 ?ABCD中,E在 AB上,CE 、BD交于 F,若 AE :BE=4 :3, 且 BF=2 ,则 BD= 15(4 分)如图,已知点A、B、C、D 均在以 BC为直径的圆上, ADBC ,AC 平分 BCD ,ADC=120 ,四边形
5、ABCD 的周长为10,则图中阴影部分的面积 为 16(4 分)如图,在矩形 ABCD中,点 E,F分别在边 AB,BC上,且 AE= AB, 将矩形沿直线 EF折叠,点 B恰好落在 AD边上的点 P处,连接 BP交 EF于点 Q, 对于下列结论: EF=2BE ;PF=2PE ;FQ=4EQ ;PBF是等边三角形其中 正确的是(填序号) 三、解答题(本题共6 小题,共 64 分)请将必要的文字说明、计算过程或推理 过程写在答题卡的对应位置. 17(10 分)某校组织了主题为 “ 让勤俭节约成为时尚 ” 的电子小组作品征集活 动,现从中随机抽取部分作品,按A,B,C,D 四个等级进行评价,并根
6、据结果 绘制了如下两幅不完整的统计图 (1)求抽取了多少份作品; (2)此次抽取的作品中等级为B的作品有,并补全条形统计图; (3)若该校共征集到800 份作品,请估计等级为A 的作品约有多少份 18(10 分)如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全 性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45 改为 30 已知原传送带 AB长为 4 米 (1)求新传送带 AC的长度; (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出 2 米的通道,试判断距离B点 4 米的 货物 MNQP 是否需要挪走,并说明理由(说明:(1)(2)的计算结果精确 到 0.1 米,参考数据:1.41,1.73,2.
7、24,2.45) 19(10 分)我国中东部地区雾霾天气趋于严重,环境治理已刻不容缓我市 某电器商场根据民众健康需要,代理销售某种家用空气净化器,其进价是200 元/台经过市场销售后发现:在一个月内,当售价是400 元/台时,可售出 200 台,且售价每降低 10 元,就可多售出 50 台若供货商规定这种空气净化器售价 不能低于 300 元/台,代理销售商每月要完成不低于450 台的销售任务 (1)试确定月销售量y(台)与售价x(元/ 台)之间的函数关系式;并求出自 变量 x 的取值范围; (2)当售价 x(元/ 台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利 润 w(元)最大?最大利润
8、是多少? 20(10 分)已知:如图,在 ABC中,BC=AC ,以 BC为直径的 O 与边 AB相 交于点 D,DE AC,垂足为点 E (1)求证:点 D 是 AB的中点; (2)判断 DE与O的位置关系,并证明你的结论; (3)若 O的直径为 18,cosB= ,求 DE的长 21(12 分)如图,在正方形ABCD中,对角线 AC与 BD相交于点 O,点 E是 BC上的一个动点,连接DE,交 AC于点 F (1)如图,当时,求的值; (2)如图当 DE平分 CDB时,求证: AF=OA; (3)如图,当点 E是 BC的中点时,过点 F作 FG BC于点 G,求证:CG= BG 22(12
9、 分)已知:在平面直角坐标系中,抛物线交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于点 C,且对称轴为 x=2,点 P(0,t)是 y 轴上的一个动点 (1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标 (2)如图 1,当 0t4 时,设 PAD的面积为 S,求出 S与 t 之间的函数关系 式;S是否有最小值?如果有,求出S的最小值和此时 t 的值 (3)如图 2,当点 P运动到使 PDA=90 时,RtADP与 RtAOC是否相似?若 相似,求出点 P 的坐标;若不相似,说明理由 2019 年山东省日照市莒县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题共12 个小题, 1-8 题每小题 3 分,9-
10、12 题每小题 3 分,共 40 分) 1的倒数是() A3 BC 3 D 【考点】 倒数 【分析】 根据乘积是 1 的两数互为倒数,即可得出答案 【解答】 解:根据题意得:( 3)=1, 可得的倒数为 3 故选 A 【点评】本题考查了倒数的性质:乘积是1 的两数互为倒数,可得出答案,属于 基础题 2下列计算正确的是() A += Bx 6x3=x2 C =2 Da 2(a2)=a4 【考点】 实数的运算;同底数幂的除法;单项式乘单项式 【分析】 原式各项计算得到结果,即可做出判断 【解答】 解:A、原式不能合并,错误; B、原式 =x 3,错误; C、原式 =2,正确; D、原式 =a4,错
11、误, 故选 C 【点评】 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键 3PM2.5 是指大气中直径 0.0000025 米的颗粒物,将 0.0000025用科学记数法 表示为() A2.510 7 B2.510 6 C 2510 7 D0.2510 5 【考点】 科学记数法 表示较小的数 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a10 n, 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一 个不为零的数字前面的0 的个数所决定 【解答】 解:0.0000025=2.510 6, 故选: B 【点评】 本题考查用科学记数法表示较小的数,
12、一般形式为a10 n,其中 1 | a| 10,n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定 4在函数 y=中,自变量 x 的取值范围是() AxBxCxDx 【考点】 函数自变量的取值范围 【分析】 根据函数表达式是二次根式时,被开方数非负,可得答案 【解答】 解:在函数 y=中,自变量 x 的取值范围是 x, 故选: B 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围,函数自变量的范围一般从三个方面 考虑:当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;当函数表达式是分式时, 考虑分式的分母不能为0;当函数表达式是二次根式时,被开方数非负 5不等式 5x12x+5 的解集在数轴上表示正确的
13、是() ABC D 【考点】 在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式 【分析】 先求出不等式的解集,再在数轴上表示出来即可 【解答】 解:移项得, 5x2x5+1, 合并同类项得, 3x6, 系数化为 1 得,x2, 在数轴上表示为: 故选 A 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集,把每个不等式的解集在数轴上 表示出来(,向右画;,向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如 果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不 等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“ ” ,“ ” 要用实心圆点表示; “ ” ,“ ” 要用空心圆点表示 6一个袋子中装有 3 个红球和
14、 2 个黄球,这些球的形状、大小质地完全相同, 在看不到球的条件下, 随机从袋子里同时摸出2 个球,其中 2 个球的颜色相同的 概率是() ABC D 【考点】 列表法与树状图法 【分析】 根据一个袋子中装有3 个红球和 2 个黄球,随机从袋子里同时摸出2 个球,可以列表得出,注意重复去掉 【解答】 解:一个袋子中装有3 个红球和 2 个黄球,随机从袋子里同时摸出2 个球, 其中 2 个球的颜色相同的概率是:= 故选: D 红 1红 2红 3黄 1黄 2 红 1 红 1 红 2红 1 红 3红 1 黄 1红 1 黄 2 红 2红 2 红 1红 2 红 3红 2 黄 1红 2 黄 2 红 3红
15、3 红 1红 3 红 2红 3 黄 1红 3 黄 2 黄 1黄 1 红 1黄 1 红 2黄 1 红 3黄 1 黄 2 黄 2 黄 2 红 1黄 2 红 2 黄 2 红 3黄 2 黄 1 【点评】 此题主要考查了列表法求概率,列出图表注意重复的(例如红1 红 1) 去掉是解决问题的关键 7如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图,小正方形的数字表示在该位置 的小立方块的个数,这个几何体的主视图是() ABC D 【考点】 由三视图判断几何体;简单组合体的三视图 【分析】 找到从正面看所得到的图形即可 【解答】解:从正面可看到,左边2 个正方形,中间 1 个正方形,右边 1 个正方 形 故选 D 【
16、点评】 本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图 8小玲每天骑自行车或步行上学,她上学的路程为 2800 米,骑自行车的平均速 度是步行平均速度的4 倍,骑自行车比步行上学早到30 分钟设小玲步行的平 均速度为 x 米/分,根据题意,下面列出的方程正确的是() A B C D 【考点】 由实际问题抽象出分式方程 【分析】根据时间 =路程速度,以及关键语 “ 骑自行车比步行上学早到30 分钟” 可得出的等量关系是: 小玲上学走的路程步行的速度小玲上学走的路程骑 车的速度 =30 【解答】 解:设小玲步行的平均速度为x 米/分,则骑自行车的速度为4x 米/分, 依题意,得 故选 A
17、 【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程,列分式方程解应用题与所有列方程 解应用题一样,重点在于准确地找出相等关系,这是列方程的依据 9关于 x 的一元二次方程kx2+3x1=0 有实数根,则 k 的取值范围是() AkBk且 k0 C kDk且 k0 【考点】 根的判别式 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围,进而可以得到关 于 k 的不等式,解得即可,同时还应注意二次项系数不能为0 【解答】 解:关于 x 的一元二次方程kx2+3x1=0有实数根, =b 24ac0, 即:9+4k0, 解得: k, 关于 x的一元二次方程kx2+3x1=0中 k0, 则 k 的取值范围是
18、 k且 k0 故选 D 【点评】本题考查了根的判别式, 解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二 次方程根的情况 10下列命题中,原命题与逆命题均为真命题的有() 若| a| =| b| ,则 a2=b 2;若 ma2na2,则 mn; 垂直于弦的直径平分弦;对角线互相垂直的四边形是菱形 A1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个 【考点】 命题与定理 【分析】先根据绝对值、 不等式的性质、 垂径定理和菱形的判定对四个命题进行 判断,再分别交换命题的题设和结论得到四个逆命题,然后判断逆命题的真假 【解答】 解:若 | a| =| b| ,则 a2=b2,此命题为真命题;它的逆命题为若a2=b2
19、, 则| a| =| b| ,此逆命题为真命题; 若 ma2na2,则 mn,此命题为真命题;它的逆命题为若 mn,则 ma2 na 2,此逆命题为假命题; 垂直于弦的直径平分弦, 此命题为真命题; 它的逆命题为平方弦的直径垂直于 弦,此逆命题为假命题; 对角线互相垂直的四边形是菱形,此逆命题为假命题, 它的逆命题为菱形的对 角线互相垂直,此逆命题为真命题 故选 B 【点评】本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题许多命题都 是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项, 一个命题可以写成 “ 如果 那么”形式 有些命题的正确性是用推理证实的,这 样的真命题叫
20、做定理也考查了逆命题 11如图, O过点 B、C,圆心 O在等腰直角三角形ABC的内部, BAC=90 , OA=1,BC=6 ,则 O的半径为() A6 B13 C D2 【考点】 垂径定理;勾股定理;等腰直角三角形 【分析】 过 O 作 ODBC,由垂径定理可知BD=CD= BC ,根据 ABC是等腰直 角三角形可知 ABC=45 ,故 ABD 也是等腰直角三角形,BD=AD ,再由 OA=1 可求出 OD的长,在 RtOBD中利用勾股定理即可求出OB的长 【解答】 解:过 O作 ODBC , BC是O 的一条弦,且 BC=6 , BD=CD= BC= 6=3, OD垂直平分 BC ,又
21、AB=AC , 点 A 在 BC的垂直平分线上,即A,O、D 三点共线, ABC是等腰直角三角形, ABC=45 , ABD也是等腰直角三角形, AD=BD=3 , OA=1, OD=AD OA=31=2, 在 RtOBD中, OB= 故选 C 【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线, 构造出直角 三角形是解答此题的关键 12函数 y=x 2+bx+c 与 y=x的图象如图所示,有以下结论: b24c0; b+c+1=0; 3b+c+6=0; 当 1x3 时,x 2+(b1)x+c0 其中正确的个数为() A1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个 【考点】 二次函数图象与
22、系数的关系 【分析】由函数 y=x 2+bx+c 与 x 轴无交点,可得 b24c0; 当 x=1时, y=1+b+c=1; 当 x=3时, y=9+3b+c=3; 当 1x3 时, 二次函数值小于一次函数值, 可得 x2+bx+c x,继而可求得答案 【解答】 解:函数 y=x 2+bx+c 与 x 轴无交点, b24ac0; 故错误; 当 x=1时,y=1+b+c=1, 故错误; 当 x=3时,y=9+3b+c=3, 3b+c+6=0; 正确; 当 1x3 时,二次函数值小于一次函数值, x 2+bx+cx, x 2+(b1)x+c0 故正确 故选 B 【点评】主要考查图象与二次函数系数之
23、间的关系关键是注意掌握数形结合思 想的应用 二、填空题(本题共4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13如图,矩形 ABCD的对角线 BD经过坐标原点,矩形的边分别平行于坐标轴, 点 C在反比例函数 y= 的图象上,若点 A 的坐标为( 4,2),则 k 的值为 8 【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】 根据矩形的性质和已知点A 的坐标,求出点C 的坐标,代入反比例函 数 y=,求出 k,得到答案 【解答】 解:点 A 的坐标为( 4,2), 根据矩形的性质,点C的坐标为( 4,2), 把( 4,2)代入 y=,得 k=8 故答案为: 8 【点评】本题考查的是反比例函数图象上的
24、点的坐标特征,根据矩形的性质, 求 出点 C的坐标是解题的关键,注意:函数图象上的点的坐标满足函数解析式 14如图,在 ?ABCD中,E在 AB上,CE 、BD交于 F,若 AE:BE=4 :3,且 BF=2 , 则 BD= 【考点】 平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质 【分析】 利用平行四边形的性质得出BEF DCF ,进而求出 DF的长,即可得 出答案 【解答】 解:四边形 ABCD是平行四边形, ABCD , BEF DCF , AE :BE=4 :3,且 BF=2 , =, 则=, 解得: DF=, 故 BD=BF +DF=2+= 故答案为: 【点评】此题主要考查了平行四边形的性
25、质以及相似三角形的判定与性质,得出 BEF DCF是解题关键 15如图,已知点 A、 B、C、D均在以 BC为直径的圆上, ADBC ,AC平分 BCD , ADC=120 ,四边形 ABCD的周长为 10,则图中阴影部分的面积为 【考点】 扇形面积的计算 【分析】连接 OA、 OD, 则阴影部分的面积等于梯形的面积减去三角形的面积根 据题目中的条件不难发现等边三角形AOD、AOB、COD ,从而求解 【解答】 解:设圆心为 O,连接 OA、OD ADBC ,AC平分 BCD ,ADC=120 , BCD=60 , AC平分 BCD , ACD=30 , AOD=2 ACD=60 ,OAC=
26、ACO=30 BAC=90 , BC是直径, 又OA=OD=OB=OC, 则AOD 、AOB 、COD都是等边三角形 AB=AD=CD 又四边形 ABCD的周长为 10cm, OB=OC=AB=AD=DC=2(cm) 阴影部分的面积 =S梯形SABC= (2+4)4=32= 故答案为 【点评】此题综合考查了梯形的面积, 三角形的面积以及等边三角形的判定和性 质作出辅助线构建等边三角形是解题的关键 16如图,在矩形 ABCD中,点 E,F分别在边 AB,BC上,且 AE= AB,将矩形 沿直线 EF折叠,点 B 恰好落在 AD边上的点 P 处,连接 BP交 EF于点 Q,对于 下列结论: EF=
27、2BE ;PF=2PE ;FQ=4EQ ;PBF是等边三角形其中正确 的是(填序号) 【考点】 相似三角形的判定与性质;含30 度角的直角三角形;翻折变换(折叠 问题) 【分析】 由条件可得 APE=30 ,则 PEF= BEF=60 ,可得 EF=2BE ,PF=PE , EF=2BE=4EQ,从而可判断出正确的结论 【解答】 解:由折叠可得 PE=BE ,PF=BF ,PEF= BEF ,EFB= EFP , AE= AB, BE=PE=2AE , APE=30 , PEF= BEF=60 , EFB= EFP=30 , EF=2BE ,PF=PE, 正确,不正确; 又EF BP, EF=
28、2BE=4EQ, 不正确; 又PF=BF ,BFP=2 EFP=60 , PBF为等边三角形, 正确; 所以正确的为, 故答案为: 【点评】本题主要考查矩形的性质和轴对称的性质、等边三角形的判定、 直角三 角形的性质等知识,综合性较强,掌握直角三角形中30 角所对的直角边是斜边 的一半是解题的关键 三、解答题(本题共6 小题,共 64 分)请将必要的文字说明、计算过程或推理 过程写在答题卡的对应位置. 17(10 分)( 2019?吉林)某校组织了主题为 “ 让勤俭节约成为时尚 ” 的电子小 组作品征集活动, 现从中随机抽取部分作品, 按 A,B,C ,D 四个等级进行评价, 并根据结果绘制了
29、如下两幅不完整的统计图 (1)求抽取了多少份作品; (2)此次抽取的作品中等级为B的作品有48,并补全条形统计图; (3)若该校共征集到800 份作品,请估计等级为A 的作品约有多少份 【考点】 条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图 【分析】 (1)根据 C的人数除以占的百分比,得到抽取作品的总份数; (2)由总份数减去其他份数,求出B的份数,补全条形统计图即可; (3)求出 A 占的百分比,乘以800 即可得到结果 【解答】 解:( 1)根据题意得: 3025%=120(份), 则抽取了 120 份作品; (2)等级 B的人数为 120(36+30+6)=48(份), 补全统计图,如图所示
30、: 故答案为: 48; (3)根据题意得: 800=240(份), 则估计等级为 A 的作品约有 240 份 【点评】此题考查了条形统计图,扇形统计图,以及用样本估计总体,弄清题意 是解本题的关键 18(10 分)(2010?兰州)如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传 送过程的安全性, 工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由 45 改为 30 已 知原传送带 AB长为 4 米 (1)求新传送带 AC的长度; (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出 2 米的通道,试判断距离B点 4 米的 货物 MNQP 是否需要挪走,并说明理由(说明:(1)(2)的计算结果精确 到 0.1 米,参考数据
31、:1.41,1.73,2.24,2.45) 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 (1)过 A 作 BC的垂线 AD在构建的直角三角形中,首先求出两个直 角三角形的公共直角边,进而在RtACD中,求出 AC的长 (2)通过解直角三角形,可求出BD、CD的长,进而可求出BC 、PC的长然后 判断 PC的值是否大于 2 米即可 【解答】 解:( 1)如图,作 ADBC于点 D RtABD中, AD=ABsin45=4=2 在 RtACD中, ACD=30 , AC=2AD=45.6 即新传送带 AC的长度约为 5.6 米; (2)结论:货物 MNQP应挪走 解:在 RtABD中,BD=ABcos
32、45 =4=2 在 RtACD中,CD=ACcos30 =2 CB=CD BD=22=2()2.1 PC=PB CB 42.1=1.92, 货物 MNQP应挪走 【点评】 应用问题尽管题型千变万化,但关键是设法化归为解直角三角形问题, 必要时应添加辅助线,构造出直角三角形在两个直角三角形有公共直角边时, 先求出公共边的长是解答此类题的基本思路 19(10 分)(2019?荆州)我国中东部地区雾霾天气趋于严重,环境治理已刻 不容缓我市某电器商场根据民众健康需要,代理销售某种家用空气净化器,其 进价是 200 元/台经过市场销售后发现:在一个月内,当售价是400 元/台时, 可售出 200 台,且
33、售价每降低 10 元,就可多售出 50 台若供货商规定这种空气 净化器售价不能低于300 元/台,代理销售商每月要完成不低于450 台的销售任 务 (1)试确定月销售量y(台)与售价x(元/ 台)之间的函数关系式;并求出自 变量 x 的取值范围; (2)当售价 x(元/ 台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利 润 w(元)最大?最大利润是多少? 【考点】 二次函数的应用 【分析】 (1)根据题中条件销售价每降低10 元,月销售量就可多售出50 台, 即可列出函数关系式; 根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300 元/台,代理销售商每月要完 成不低于 450 台的销售即可求出
34、x 的取值 (2)用 x 表示 y,然后再用 x来表示出 w,根据函数关系式,即可求出最大w; 【解答】 解:( 1)根据题中条件销售价每降低10 元,月销售量就可多售出50 台, 则月销售量 y(台)与售价 x(元/台)之间的函数关系式: y=200+50, 化简得: y=5x+2200; 供货商规定这种空气净化器售价不能低于300 元/台,代理销售商每月要完成不 低于 450 台, 则, 解得: 300x350 y 与 x 之间的函数关系式为: y=5x+2200(300x350); (2)W=(x200)( 5x+2200), 整理得: W=5(x320)2+72000 x=320在 3
35、00x350 内, 当 x=320时,最大值为 72000, 即售价定为 320 元/台时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w 最大, 最大利润是 72000 元 【点评】本题主要考查对于一次函数的应用和掌握,而且还应用到将函数变形求 函数极值的知识 20(10 分)(2011?安顺)已知:如图,在 ABC中,BC=AC ,以 BC为直径的 O与边 AB相交于点 D,DEAC ,垂足为点 E (1)求证:点 D 是 AB的中点; (2)判断 DE与O的位置关系,并证明你的结论; (3)若 O的直径为 18,cosB= ,求 DE的长 【考点】 切线的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;解直
36、角三角形 【分析】(1)连接 CD ,由 BC为直径可知 CD AB,又 BC=AC ,由等腰三角形的 底边“ 三线合一 ” 证明结论; (2)连接 OD,则 OD为ABC的中位线,ODAC,已知 DE AC,可证 DE OC, 证明结论; (3)连接 CD,在 RtBCD中,已知 BC=18 ,cosB= ,求得 BD=6,则 AD=BD=6 , 在 RtADE中,已知 AD=6,cosA=cosB= ,可求 AE,利用勾股定理求DE 【解答】 (1)证明:连接 CD , BC为O 的直径, CD AB, 又AC=BC , AD=BD ,即点 D是 AB的中点 (2)解: DE是O 的切线
37、证明:连接 OD,则 DO是ABC的中位线, DOAC , 又DE AC , DE DO即 DE是O 的切线; (3)解: AC=BC , B=A, cosB=cosA= , cosB=,BC=18 , BD=6 , AD=6 , cosA=, AE=2 , 在 RtAED中,DE= 【点评】本题考查了切线的判定与性质,勾股定理,圆周角定理,解直角三角形 的运用,关键是作辅助线,将问题转化为直角三角形,等腰三角形解题 21(12 分)(2013?包头)如图,在正方形ABCD中,对角线 AC与 BD相交于 点 O,点 E是 BC上的一个动点,连接DE,交 AC于点 F (1)如图,当时,求的值;
38、 (2)如图当 DE平分 CDB时,求证: AF=OA; (3)如图,当点 E是 BC的中点时,过点 F作 FG BC于点 G,求证:CG= BG 【考点】 相似形综合题 【分析】(1)利用相似三角形的性质求得EF与 DF的比值,依据 CEF和CDF 同高,则面积的比就是EF与 DF的比值,据此即可求解; (2)利用三角形的外角和定理证得ADF= AFD ,可以证得AD=AF ,在直角 AOD中,利用勾股定理可以证得; (3)连接 OE ,易证 OE是BCD的中位线,然后根据 FGC是等腰直角三角形, 易证 EGF ECD ,利用相似三角形的对应边的比相等即可证得 【解答】 (1)解:=, =
39、 四边形 ABCD是正方形, ADBC ,AD=BC , CEF ADF, =, = , =; (2)证明: DE平分 CDB , ODF= CDF , 又AC 、BD是正方形 ABCD的对角线 ADO=FCD=45 , AOD=90 ,OA=OD ,而 ADF= ADO+ODF , AFD= FCD +CDF , ADF= AFD ,AD=AF , 在直角 AOD中,根据勾股定理得: AD=OA, AF= OA (3)证明:连接 OE 点 O是正方形 ABCD的对角线 AC 、BD的交点 点 O是 BD的中点 又点 E是 BC的中点, OE是BCD的中位线, OE CD,OE= CD, OF
40、E CFD = , = 又FG BC ,CDBC, FG CD, EGF ECD , = 在直角 FGC中, GCF=45 CG=GF , 又CD=BC , = , = CG= BG 【点评】本题是勾股定理、 三角形的中位线定理、 以及相似三角形的判定与性质 的综合应用,理解正方形的性质是关键 22 (12 分) (2013?呼伦贝尔)已知:在平面直角坐标系中, 抛物线 交 x 轴于 A、B两点,交 y轴于点 C,且对称轴为 x=2,点 P(0,t)是 y 轴上 的一个动点 (1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标 (2)如图 1,当 0t4 时,设 PAD的面积为 S,求出 S与 t 之间的函
41、数关系 式;S是否有最小值?如果有,求出S的最小值和此时 t 的值 (3)如图 2,当点 P运动到使 PDA=90 时,RtADP与 RtAOC是否相似?若 相似,求出点 P 的坐标;若不相似,说明理由 【考点】 二次函数综合题 【分析】(1)根据二次函数的对称轴列式求出b 的值,即可得到抛物线解析式, 然后整理成顶点式形式,再写出顶点坐标即可; (2)令 y=0 解关于 x 的一元二次方程求出点A、B 的坐标,过点D 作 DE y 轴 于 E,然后根据 PAD的面积为 S=S梯形AOCESAOPSPDE,列式整理,然后利用 一次函数的增减性确定出最小值以及t 值; (3)过点 D 作 DFx
42、 轴于 F,根据点 A、D的坐标判断出 ADF是等腰直角三角 形,然后求出 ADF=45 ,根据二次函数的对称性可得BDF= ADF=45 ,从而 求出 PDA=90 时点 P 为 BD与 y 轴的交点,然后求出点P 的坐标,再利用勾股 定理列式求出 AD、 PD,再根据两边对应成比例夹角相等两三角形相似判断即可 【解答】 解:( 1)对称轴为 x=2, 解得 b=1, 所以,抛物线的解析式为y=x 2x+3, y=x2x+3=(x+2)2+4, 顶点 D 的坐标为( 2,4); (2)令 y=0,则x2x+3=0, 整理得, x 2+4x12=0, 解得 x1=6,x2=2, 点 A(6,0
43、),B(2,0), 如图 1,过点 D作 DE y 轴于 E, 0t4, PAD的面积为 S=S梯形AOEDSAOPSPDE, =(2+6)46t2(4t), =2t+12, k=20, S随 t 的增大而减小, t=4 时,S有最小值,最小值为 24+12=4; (3)如图 2,过点 D 作 DFx 轴于 F, A(6,0),D(2,4), AF= 2( 6)=4, AF=DF , ADF是等腰直角三角形, ADF=45 , 由二次函数对称性, BDF= ADF=45 , PDA=90 时点 P为 BD与 y 轴的交点, OF=OB=2 , PO为BDF的中位线, OP= DF=2, 点 P的坐标为( 0,2), 由勾股定理得, DP=2, AD=AF=4, =2, 令 x=0,则 y=3, 点 C的坐标为( 0,3),OC=3 , =2, =, 又 PDA=90 ,COA=90 , RtADP RtAOC 【点评】本题是二次函数综合题型, 主要利用了二次函数的对称轴,三角形的面 积二次函数的性质,相似三角形的判定,综合题,但难度不是很大,(2)利用 梯形和三角形的面积表示出ADP 的面积是解题的关键,( 3)难点在于判断出 点 P为 BD与 y 轴的交点
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